第十一章 第5节Word下载.docx

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如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）＝.

4.古典概型的概率公式

P（A）＝.

[常用结论与微点提醒]

1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.

2.概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×

”）

（1）“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.（　　）

（2）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.（　　）

（3）从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.（　　）

（4）利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.（　　）

解析　对于

（1），发芽与不发芽不一定是等可能，所以

（1）不正确；

对于

（2），三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以

（2）不正确；

对于（4），应利用几何概型求概率，所以（4）不正确.

答案　

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）×

2.（必修3P127例3改编）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）

A.B.C.D.

解析　所有基本事件的个数为6×

6＝36，点数之和为5的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4个.

故所求概率为P＝＝.

答案　B

3.（2016·

北京卷）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）

解析　甲被选中的概率为P＝＝＝.

4.（2018·

长沙模拟）在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为（　　）

A.5B.6C.10D.11

解析　设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意－＝，解得n＝5.

所以原来口袋中小球共有2n＝10个.

答案　C

5.在集合中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cosx＝的概率是________.

解析　基本事件总数为10，满足方程cosx＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.

答案　

考点一　简单的古典概型的概率

【例1】

（1）（2017·

山东卷）从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（　　）

（2）（2018·

沈阳模拟）将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析　

（1）由题意得，所求概率P＝＝.

（2）A，B，C，D4名同学排成一排有A＝24种排法.当A，C之间是B时，有2×

2＝4种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为＝.

答案　

（1）C　

（2）B

规律方法　1.计算古典概型事件的概率可分三步：

（1）计算基本事件总个数n；

（2）计算事件A所包含的基本事件的个数m；

（3）代入公式求出概率P.

2.

（1）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.

（2）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.

【训练1】

（1）（2018·

湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模）同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为（　　）

昆明诊断）从集合A＝{－2，－1，2}中随机抽取一个数记为a，从集合B＝{－1，1，3}中随机抽取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为（　　）

解析　

（1）从四首歌中任选两首共有C＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方法有C＝3种，故所求的概率为P＝＝.

（2）（a，b）所有可能的结果为（－2，－1），（－2，1），（－2，3），（－1，－1），（－1，1），（－1，3），（2，－1），（2，1），（2，3），共9种.由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，当时，直线不经过第四象限，符合条件的（a，b）的结果为（2，1），（2，3），共2种，∴直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率P＝.

答案　

（1）B　

（2）A

考点二　复杂的古典概型的概率（典例迁移）

【例2】（经典母题）某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；

（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.

解　

（1）由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为＝，因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝.

（2）设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A，记“参赛女生有2人”为事件B，“参赛女生有3人”为事件C.

则P（B）＝＝，P（C）＝＝.

由互斥事件的概率加法公式，

得P（A）＝P（B）＋P（C）＝＋＝，

故所求事件的概率为.

【迁移探究1】求A中学至多有1人入选代表队的概率.

解　设“A中学至多有1人入选代表队”为事件A，“A中学无人入选代表队”为事件B，“A中学有1人入选代表队”为事件C，则

P（B）＝＝，P（C）＝＝，

由互斥事件的概率加法公式得P（A）＝P（B）＋P（C）＝＋＝，故所求事件的概率为.

【迁移探究2】求B中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率.

解　设“B中学入选代表队的女生人数多于男生人数”为事件A，则P（A）＝

＝，即B中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率为.

规律方法　1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.

2.注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.

【训练2】

（1）（2018·

亳州模拟）已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{（a，b）|a，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x2＋1有交点的概率是（　　）

兰州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P，Q，M，N分别是线段OA，OB，OC，OD的中点.在A，P，M，C中任取一点记为E，在B，Q，N，D中任取一点记为F.设G为满足向量＝＋的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为________.

解析　

（1）设A（a，b），则直线OA的方程为y＝x，由得x2－x＋1＝0，由题意得Δ＝－4≥0，即b≥2a或b≤－2a，由于点A的坐标可能取到的所有情况有：

（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16种，其中满足b≥2a或b≤－2a的情况有（1，2），（1，3），（1，4），（2，4），共4种，故所求的概率为P＝＝.

（2）易知基本事件的总数是4×

4＝16，在＝＋中，当＝＋，＝＋，＝＋，＝＋时，点G在平行四边形的边界上，而其余情况的点G都在平行四边形外，故所求的概率是1－＝.

答案　

（1）C　

（2）

考点三　古典概型与统计知识的交汇问题

【例3】（2018·

黄冈质检）已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：

若抽取学生n人，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设x，y分别表示数学成绩与物理成绩，例如：

表中物理成绩为A等级的共有14＋40＋10＝64（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人.已知x与y均为A等级的概率是0.07.

（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a，b的值；

（2）已知a≥7，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率.

解　

（1）由题意知＝0.07，解得n＝200，

∴×

100%＝30%，解得a＝18，

易知a＋b＝30，所以b＝12.

（2）由14＋a＋28>

10＋b＋34得a>

b＋2，又a＋b＝30且a≥7，b≥6，则（a，b）的所有可能结果为（7，23），（8，22），（9，21），…，（24，6），共18种，而a>

b＋2的可能结果为（17，13），（18，12），…，（24，6），共8种，则所求概率P＝＝.

规律方法　求解古典概型与统计交汇问题的思路

（1）依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼需要的信息.

（2）进行统计与古典概型概率的正确计算.

【训练3】从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：

kg）数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.由图中数据可知体重的平均值为________kg；

若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________.

解析　由频率分布直方图可知，体重在[40，50）内的男生人数为0.005×

10×

100＝5，同理，体重在[50，60），[60，70），[70，80），[80，90]内的人数分别为35，30，20，10，所以体重的平均值为＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内选取的人数分别为12×

＝6，12×

＝4，12×

＝2，则两人体重不在同一组内的概率为＝.

答案　64.5　

基础巩固题组

（建议用时：

40分钟）

一、选择题

1.集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是（　　）

A.B.C.D.

解析　从A，B中任意取一个数，共有C·

C＝6种情形，两数和等于4的情形只有（2，2），（3，1）两种，∴P＝＝.

2.（2018·

淮南一模）从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是（　　）

解析　从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数有10种不同的情况，而这2个数的和为偶数，则2个数全为偶数，或2个数全为奇数，共有1＋C