最新试题库含答案高等代数北大版第三版习题答案I.docx
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最新试题库含答案高等代数北大版第三版习题答案I
高等代数（北大版第三版）习题答案I
：
篇一：
高等代数（北大版）第3章习题参考答案
第三章线性方程组
1．用消元法解下列线性方程组：
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1）?
x1
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1?
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4
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1
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2
解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有
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1
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2?
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?
因为
rank（A）?
rank（B）?
4?
5，
所以方程组有无穷多解，其同解方程组为
?
x1?
x4?
1?
?
2x1?
x5?
?
2
，?
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2x?
03?
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x?
x?
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24
解得
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x1?
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x5
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1?
k?
k?
0?
k?
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2?
2k
其中k为任意常数。
2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
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1?
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9
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1?
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3
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322
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0
2
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3?
7?
27
1
2
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346
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34111
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16
3
1?
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16?
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51
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8?
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333
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033?
2529?
?
72?
1
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334?
51
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2529?
8
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1?
333
?
0000?
?
01?
因为
rank（A）?
4?
rank（A）?
3，
所以原方程无解。
3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有
?
1?
0?
?
1?
?
0
?
213?
7
3?
103
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4111
4?
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1?
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?
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215?
7
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4151
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3?
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4
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0020
0008
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8?
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3
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因为
rank（A）?
rank（A）?
4，
所以方程组有惟一解，且其解为
?
x1?
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x2?
?
x3?
x?
4
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6?
0
。
4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有
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1?
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27?
1717?
34
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1938
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2
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9?
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20
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即原方程组德同解方程组为
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x1?
7x2?
8x3?
9x4?
0
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?
17x2?
19x3?
20x4?
0
由此可解得
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?
x1?
?
?
x2?
?
x3?
x?
4
?
?
3171917
k1?
k1?
13172017
k2k2，
?
k1?
k2
其中k1,k2是任意常数。
5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有?
2?
3?
?
5?
?
2?
2?
7?
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10?
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10
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11000?
12?
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3?
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1000?
10001?
11?
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4?
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2?
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5?
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4?
2?
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1?
因为
rank（A）?
4?
rank（A）?
3，
所以原方程组无解。
6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有?
1?
3?
?
2
?
?
2?
?
5
22325
3
11?
11
1
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1?
?
1?
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1?
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2?
?
?
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?
?
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32245
55355
42132
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2122
2?
12
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0?
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1
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?
?
05000
07?
65
00100
10
0?
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2?
1?
?
?
，5?
0?
0?
?
即原方程组的同解方程组为
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5x2?
7x3?
2
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1?
6
，?
x?
x?
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34
5?
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x1?
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0
解之得
?
x1?
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x2?
?
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x3?
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x4?
?
k?
25?
75k
?
k?
?
15?
65k
，
其中k是任意常数。
2.把向量?
表成?
1,?
2,?
3,?
4的线性组合.。
1）?
?
（1,2,1,1）
?
1?
（1,1,1,1）,?
2?
（1,1,?
1,?
1）?
3?
（1,?
1,1,?
1）,?
4?
（1,?
1,?
1,1）2）?
?
（0,0,0,1）
?
1?
（1,1,0,1）,?
2?
（2,1,3,1）?
3?
（1,1,0,0）,?
4?
（0,1,?
1,?
1）解1）设有线性关系
?
?
k1?
1?
k2?
2?
k3?
3?
k4?
4
代入所给向量，可得线性方程组
篇二：
高等代数（北大版）第7章习题参考答案
第七章线性变换
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：
1）在线性空间V中，A?
?
?
?
?
其中?
?
V是一固定的向量；
2）在线性空间V中，A?
?
?
其中?
?
V是一固定的向量；3）在P中，A（x1,x2,x3）?
（x1,x2?
x3,x3）；
3
3
4）在P中，A（x1,x2,x3）?
（2x1?
x2,x2?
x3,x1）；
2
2
5）在P[x]中，Af（x）?
f（x?
1）；
6）在P[x]中，Af（x）?
f（x0）,其中x0?
P是一固定的数；7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A?
?
?
n?
n
n?
n
。
8）在P中，AX=BXC其中B,C?
P是两个固定的矩阵.解1）当?
?
0时,是;当?
?
0时,不是。
2）当?
?
0时,是;当?
?
0时,不是。
3）不是.例如当?
?
（1,0,0）,k?
2时,kA（?
）?
（2,0,0）,A（k?
）?
（4,0,0）,A（k?
）?
kA（?
）。
4）是.因取?
?
（x1,x2,x3）,?
?
（y1,y2,y3）,有A（?
?
?
）=A（x1?
y1,x2?
y2,x3?
y3）
=（2x1?
2y1?
x2?
y2,x2?
y2?
x3?
y3,x1?
y1）=（2x1?
x2,x2?
x3,x1）?
（2y1?
y2,y2?
y3,y1）=A?
+A?
，A（k?
）?
A（kx1,kx2,kx3）
?
（2kx1?
kx2,kx2?
kx3,kx1）?
（2kx1?
kx2,kx2?
kx3,kx1）
3
=kA（?
），
故A是P上的线性变换。
5）是.因任取f（x）?
P[x],g（x）?
P[x],并令u（x）?
f（x）?
g（x）则
A（f（x）?
g（x））=Au（x）=u（x?
1）=f（x?
1）?
g（x?
1）=Af（x）+A（g（x）），再令v（x）?
kf（x）则A（kf（x））?
A（v（x））?
v（x?
1）?
kf（x?
1）?
kA（f（x）），故A为P[x]上的线性变换。
6）是.因任取f（x）?
P[x],g（x）?
P[x]则.
A（f（x）?
g（x））=f（x0）?
g（x0）?
A（f（x））?
A（g（x）），A（kf（x））?
kf（x0）?
kA（f（x））。
7）不是，例如取a=1,k=I，则A（ka）=-i,k（Aa）=i,A（ka）?
kA（a）。
8）是，因任取二矩阵X,Y?
Pn?
n，则A（X?
Y）?
B（X?
Y）C?
BXC?
BYC?
AX+AY，A（kX）=B（kX）?
k（BXC）?
kAX，故A是P
n?
n
上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：
A4=B4=C4=E,AB?
BA,A2B2=B2A2，并检验（AB）2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=（x,y,z），则有1）因为
Aa=（x,-z,y）,A2a=（x,-y,-z），A3a=（x,z,-y）,A4a=（x,y,z），Ba=（z,y,-x）,B2a=（-x,y,-z），B3a=（-z,y,x）,B4a=（x,y,z），Ca=（-y,x,z）,C2a=（-x,-y,z），C3a=（y,-x,z）,C4a=（x,y,z），所以A4=B4=C4=E。
2）因为AB（a）=A（z,y,-x）=（z,x,y），BA（a）=B（x,-z,y）=（y,-z,-x），所以AB?
BA。
3）因为A2B2（a）=A2（-x,y,-z）=（-x,-y,z），B2A2（a）=B2（x,-y,-z）=（-x,-y,z），所以A2B2=B2A2。
4）因为（AB）2（a）=（AB）（AB（a））_=AB（z,x,y）=（y,z,x），A2B2（a）=（-x,-y,z），所以（AB）2?
A2B2。
3.在P[x]中，Af（x）?
f（x）,Bf（x）?
xf（x），证明:
AB-BA=E。
证任取f（x）?
P[x]，则有
（AB-BA）f（x）=ABf（x）-BAf（x）=A（xf（x））-B（f（x））=f（x）?
xf所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：
AkB-BAk=kAk?
1（k1）。
证采用数学归纳法。
当k=2时
A2B-BA2=（A2B-ABA）+（ABA-BA2）=A（AB-BA）+（AB-BA）A=AE+EA=2a，结论成立。
归纳假设k?
m时结论成立，即AmB-BAm=mAm?
1。
则当k?
m?
1时，有Am?
1B-BA
m?
1
m?
1
;
（x）-xf
（x）=f（x）
=（Am?
1B-AmBA）+（AmBA-BA
m?
1
）=Am（AB-BA）+（AmB-BAm）A=AmE+mA
A=（m?
1）Am。
即k?
m?
1时结论成立.故对一切k?
1结
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