数列通项公式方法大全很经典Word文档格式.docx

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（5）对数变换法

例5已知数列满足，，求数列的通项公式。

因为，所以。

在式两边取常用对数得⑩

设

将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则

，故

代入式，得

由及式，

得，

则，

所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此

则。

本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

（6）数学归纳法

例6已知数列满足，求数列的通项公式。

由及，得

由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当时，，所以等式成立。

（2）假设当时等式成立，即，则当时，

由此可知，当时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何都成立。

本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

（7）换元法

例7已知数列满足，求数列的通项公式。

令，则

故，代入得

即

因为，故

则，即，

可化为，

所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得

。

本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

（8）不动点法

例8已知数列满足，求数列的通项公式。

令，得，则是函数的两个不动点。

因为

所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。

本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。

例9已知数列满足，求数列的通项公式。

令，得，则是函数的不动点。

因为，所以

课后习题：

1．数列的一个通项公式是（）

A、B、C、D、

2．已知等差数列的通项公式为,则它的公差为（）

A、2B、3C、D、

3．在等比数列中,则（）

4．若等比数列的前项和为，且，，则

5．已知数列通项公式，则该数列的最小的一个数是

6．在数列{an}中，且，则数列的前99项和等于．

7．已知是等差数列，其中，公差。

（1）求数列的通项公式；

（2）数列从哪一项开始小于0？

（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．

8．已知数列的前项和为，

（1）求、、的值；

（2）求通项公式。

9．等差数列中，前三项分别为，前项和为，且。

（1）、求和的值；

（2）、求=;

数列

等差数列与等比数列的有关知识比较一览表

等差数列

等比数列

递

推

关

系

①（）

②（）

③（）

通

项

②（）

求

和

公

式

③（）

①求积公式（）

③（，）

主

要

性

质

①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则

.

②对任意c>

0,c1,为等比数列.

③.

④若、分别为两等差数列，则

为等差数列.

⑤数列为等差数列.

⑥若为正项等差自然数列，则为等差数列.

⑦为等差数列.

⑧，n>

2m，m、n.

⑨.

⑩若则.

①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则.

0,c1,若an恒大于0，则为等差数列.

④若、为两等比数列，则为等比数列.

⑤若an恒大于0，则数列为等比数列.

⑥若为正项等差自然数列，则为等比数列.

⑦为等比数列.

2m，m、n，.

⑩若

则.

重要性质

①若p、q，且,

②若且,则p、q.

①

=.

②若|q|<

1,则.

求数列{an}通项公式的方法

1．=+型

累加法：

=（－）+（－）+…+（－）+

=++…++

例1.已知数列{}满足=1，=+（n∈N+），求.

[解]=－+－+…+－+

=++…++1

==－1

∴=－1（n∈N+）

2．=p+q型（p、q为常数）

方法：

（1）+=，再根据等比数列的相关知识求.

（2）－=

再用累加法求.

（3）=+，先用累加法求再求.

例3.已知{}的首项=a（a为常数），=2+1（n∈N+，n≥2），求.

[解]设－λ=2（－λ），则λ=－1

∴+1=2（+1）

∴{}为公比为2的等比数列.

∴+1=（a+1）·

∴=（a+1）·

－1

3．型

累乘法：

=·

…·

例2.已知数列{}满足（n∈N+），=1，求.

[解]=·

=（n－1）·

（n－2）…1·

1=（n－1）！

∴=（n－1）！

（n∈N+）

4．=p+型（p为常数）

方法：

变形得=+，

则{}可用累加法求出，由此求.

例4.已知{}满足=2，=2+.求.

[解]=+1

∴{}为等差数列.

=

∴=n·

5．=p＋q型（p、q为常数）

特征根法：

（1）时，=·

+·

（2）时，=（+·

n）·

例5.数列{}中，=2，=3，且2=+（n∈N+，n≥2），求.

[解]=2－

∴∴

∴=（+·

=+·

n

∴

6．“已知，求”型

=－（注意是否符合）

例6.设为{}的前n项和，=（－1），求（n∈N+）

[解]∵=（－1）（n∈N+）

∴当n=1时，=（－1）

∴=3

当n≥2时，

=－

=（－1）－（－1）

∴=3∴=（n∈N+）

求数列{an}的前n项和的方法

（1）倒序相加法

（2）公式法

此种方法主要针对类似等差数列中

具有这样特点的数列．

此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式．

例：

等差数列求和

①

把项的次序反过来，则：

②

①+②得：

公式：

①等差数列：

②等比数列：

；

③1+2+3+……+n=；

（3）错位相减法

（4）分组化归法

此种方法主要用于数列的求和，其中为等差数列，是公比为q的等比数列，只需用便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．

此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．

试化简下列和式：

①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=

②若x≠1,则

两式相减得：

+…+

∴

求数列1，，，……，

+……+的和.

∵

（5）奇偶求和法

（6）裂项相消法

此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．

此方法主要针对

这样的求和，其中{an}是等差数列．

求和

当n=2k（kN+）时,

当，

综合得：

{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求

∵

（7）分类讨论

（8）归纳—猜想—证明

此方法是针对数列{}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.

此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出的表达式，然后用数学归纳法证明之.

已知等比数列{}中，=64，q=，设=log2，求数列{||}的前n项和.

==

∴=log2=

（1）当≤7时，≥0

此时，=－+

（2）当＞7时，<

此时，=－+42（≥8）

－+（≤7）

∴=

－+42（≥8）

求和=+++…+

，，，

，，…

=（待定系数法）

证明：

（1）当=1时，=1=

∴=1时成立.

（2）假设当=k时，=

则=k+1时，

=+

=

=k+1时，成立.

由

（1）、

（2）知，对一切n∈N*，

=.