任意角的概念与弧度制教案.docx
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任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案
课程
数学
第7章
第7.1.1节任意角的概念
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标：
⑴了解角的概念推广的实际背景意义；
⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念．
能力目标：
（1）会判断角所在的象限；
（2）会求指定范围内与已知角终边相同的角；
（3）培养观察能力和计算技能．
教学重点
和难点
重点：
终边相同角的概念．
难点：
终边相同角的表示和确定．
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
（1）以丰富的生活实例为引例,引入学习新概念——角的推广；
（2）在演示——观察——思维探究活动中，使学生认识、理解终边相同的角；
（3）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力；
（4）在反思交流中，总结知识，品味学习方法．
教学备品
教学课件、学习演示用具（两个硬纸条一个扣钉）．
【教学过程】
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
7.1任意角的概念与弧度制
*创设情景兴趣导入
问题1
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？
问题2
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．
归纳
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．
介绍
质疑
提问
说明
总结
了解
思考
求解
讨论
交流
理解
利用
实际
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲
生活
实例
有助
于学
生理
解角
的推
广的
意义
10
*动脑思考探索新知
概念
一条射线由原来的位置，绕着它的端点，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置就形成角．旋转开始位置的射线叫角的始边，终止位置的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点．
规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图
（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图
（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．
（1）
（2）
类型
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．
表示
除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母、、、来表示角．
概念
数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．
如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
说明
仔细
分析
讲解
关键
点
引导
强调
引导
展示
强调
思考
理解
记忆
明确
领会
观察
理解
结合
图形
讲解
角的
图形
可以
加入
学生
的举
例
明确
角的
类型
完成
角的
推广
象限
角可
以引
导学
生一
步步
自然
得出
强调
特殊
情况
30
*运用知识强化练习
练习7-1
1．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
⑴60°；⑵−210°；⑶225°；⑷−300°．
提问
巡视
指导
思考
动手
求解
交流
反馈
学习
状态
巩固
知识
40
*动手操作实验观察
用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．
*问题引导实践探究
问题
在直角坐标系中作出390°、−330°和30°角，这些角的终边有何关系？
探究
390°=30°+1×360°；−330°=30°+（-1）×360°．
即390°、−330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．
推广
与30°角终边相同的角还有：
750°=30°+2×360°；-690°=30°+（-2）×360°；
1110°=30°+3×360°；-1050°=30°+（-3）×360°；
…………
所有与30°角终边相同的角的度数，与30°角的度数之差都恰好为360°的整数倍数．它们（包括30°角）都可以表示为30°+360°的形式．因此，与30°角终边相同的角的集合为｛︱｝．
演示
操作
质疑
提问
引导
分析
讲解
总结
动手
操作
思考
求解
领会
理解
明确
由具
体的
问题
实际
操作
引导
学生
一步
步的
体会
终边
相同
角的
含义
自然
得出
结论
50
*动脑思考探索新知
一般地，与角终边相同的角（包括角在内），都可以表示为的形式．
与角终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
｛︱｝．
说明
强调
理解
记忆
强调
概念
的关
键点
55
*巩固知识典型例题
例1写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在−360°～720°内的角写出来：
⑴60°；⑵−114°26′．
分析首先要写出与已知角终边相同的角的集合，然后选取整数的值，使得在指定的范围内．
解⑴与60°角终边相同的角的集合是
｛︱｝．
当时，；当时，；当时，．所以在−360°～720°之间与60°角终边相同的角为、和．
⑵与−114°26′角终边相同的角的集合是
｛︱｝．
当时，；
当时，；
当时，．
所以在−360°～720°之间与角终边相同的角为、和．
例2写出终边在轴上的角的集合．
分析在0°～360°范围内，终边在轴正半轴上的角为90°，终边在轴负半轴上的角为270°，因此，终边在轴正半轴、负半轴上所有的角分别是
，
，
其中．⑴式等号右边表示180°的偶数倍再加上90°；
（2）式等号右边表示180°的奇数倍再加上90°，可以将它们合并为180°的整数倍再加上90°．
解终边在轴上的角的集合是
｛︱｝．
当取偶数时，角的终边在轴正半轴上；当取奇数时，角的终边在轴负半轴上．
质疑
说明
讲解
说明
引领
分析
总结
讲解
引领
观察
思考
主动
求解
思考
理解
领会
求解
理解
明确
安排
与知
识点
对应
的例
题巩
固新
知
计算
部分
可以
教给
学生
完成
利用
观察
图像
加强
问题
的理
解
强调
规范
写法
70
*运用知识强化练习
教材练习5.1.2
1．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
⑴405°；⑵165°；⑶1563°；⑷5421°．
2．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在−360°～360°范围内的角写出来：
⑴45°；⑵−55°；⑶−220°45′；⑷1330°．
提问
巡视
指导
思考
动手
求解
交流
及时
了解
学生
知识
掌握
情况
80
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容？
重点和难点各是什么？
*自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？
你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
引导
提问
回忆
反思
交流
培养
学生
总结
反思
学习
过程
能力
85
*继续探索活动探究
（1）读书部分：
教材章节7.1.1；
（2）书面作业：
；练习7.1；
（3）实践调查：
生活中角的概念的推广实例．
说明
记录
90
课程
数学
第7章
第7.1.2节弧度制
授课时数
2
授课方法
讲授法
授课时间
授课班级
海乘1601/轮机1601
教学目的
知识目标：
⑴理解弧度制的概念；
⑵理解角度制与弧度制的换算关系.
能力目标：
（1）会进行角度制与弧度制的换算；
（2）会利用计算器进行角度制与弧度制的换算；
（3）培养学生的计算技能与计算工具使用技能．
教学重点
和难点
重点：
弧度制的概念，弧度与角度的换算．
难点：
弧度制的概念．
复习提问与
作业布置
P6练习2预习
教学思路、方法、手段
（1）由问题引入弧度制的概念；
（2）通过观察——探究，明晰弧度制与角度制的换算关系；
（3）在练习——讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能；
（4）在操作——实践中，培养计算工具使用技能；
（5）结合实例了解知识的应用．
教学备品
教学课件
【教学过程】
教学
过程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时间
*揭示课题
7.2..2弧度制
*回顾知识复习导入
问题
角是如何度量的？
角的单位是什么？
解决
将圆周的圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°．
1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）．
以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．
扩展
计算：
23°35′26″+31°40′43″
角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢？
介绍
质疑
引领
讲解
说明
了解
思考
明确
思考
了解
利用
复习
角度
制为
新知
识的
学习
做好
铺垫
5
*动脑思考探索新知
概念
将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1弧度或1rad．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
若圆的半径为，圆心角∠AOB所对的圆弧长为，那么∠AOB的大小就是．
规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．
分析
由定义知道，角的弧度数的绝对值等于圆弧长与半径的比，即（rad）．
半径为的圆的周长为，故
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