高三数学大一轮复习 专题五 圆锥曲线的综合问题教案 理 新人教A版Word文档格式.docx

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0）中，以P（x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝.

[难点正本　疑点清源]

1．直线和圆锥曲线问题解法的一般规律

“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

2．“点差法”的常见题型

求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>

0是否成立．

1．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝_______________.

答案　8

解析　由题意知（|AF1|＋|AF2|）＋（|BF1|＋|BF2|）＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，可得|AB|＋（|BF2|＋|AF2|）＝20，即|AB|＝8.

2．已知双曲线方程是x2－＝1，过定点P（2,1）作直线交双曲线于P1，P2两点，并使P（2,1）为P1P2的中点，则此直线方程是____________．

答案　4x－y－7＝0

解析　设点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则由x－＝1，x－＝1，得k＝＝＝＝4，从而所求方程为4x－y－7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x2－56x＋51＝0，Δ>

0，故此直线满足条件．

3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为（　　）

A.B.C．2D．3

答案　B

4．设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则·

等于（　　）

A.B．－C．3D．－3

解析　方法一　（特殊值法）

抛物线的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A（，1），B（，－1），

∴·

＝·

＝－1＝－.

方法二　设A（x1，y1），B（x2，y2），

则·

＝x1x2＋y1y2.

由抛物线的过焦点的弦的性质知：

x1x2＝＝，y1y2＝－p2＝－1.

题型一　圆锥曲线中的范围、最值问题

例1　已知抛物线C：

y2＝4x，过点A（－1,0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.

（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：

直线MQ经过抛物线C的焦点F；

（2）若λ∈，求|PQ|的最大值．

思维启迪：

（1）可利用向量共线证明直线MQ过F；

（2）建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．

（1）证明　设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，－y1）．

∵＝λ，∴x1＋1＝λ（x2＋1），y1＝λy2，

∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，

∴λ2x2＋1＝λ（x2＋1），λx2（λ－1）＝λ－1，

∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F（1,0），

∴＝（1－x1，y1）＝（1－λ，λy2）

＝λ＝λ，

∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.

（2）解　由

（1）知x2＝，x1＝λ，

得x1x2＝1，y·

y＝16x1x2＝16，

∵y1y2>

0，∴y1y2＝4，

则|PQ|2＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2

＝x＋x＋y＋y－2（x1x2＋y1y2）

＝2＋4－12

＝2－16，

λ∈，λ＋∈，

当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.

探究提高　圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

（2012·

四川）如图，动点M与两定点A（－1,0）、B（1,0）构成△MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程．

（2）设直线y＝x＋m（m>

0）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|<

|PR|.求的取值范围．

解　

（1）设M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；

当x＝1时，直线MB的斜率不存在．于是x≠1且x≠－1.

此时，MA的斜率为，MB的斜率为.

由题意，有·

＝4.化简可得，4x2－y2－4＝0.

故动点M的轨迹C的方程为4x2－y2－4＝0（x≠1且x≠－1）．

（2）由

消去y，可得3x2－2mx－m2－4＝0.（*）

对于方程（*），其判别式

Δ＝（－2m）2－4×

3（－m2－4）＝16m2＋48>

0，

而当1或－1为方程（*）的根时，m的值为－1或1.

结合题设（m>

0）可知，m>

0且m≠1.

设Q、R的坐标分别为（xQ，yQ），（xR，yR），

则xQ，xR为方程（*）的两根．

因为|PQ|<

|PR|，所以|xQ|<

|xR|，xQ＝，

xR＝.

所以＝＝＝1＋.

此时>

1，且≠2，

所以1<

1＋<

3，且1＋≠，

＝<

3，且＝≠.

综上所述，的取值范围是∪.

题型二　圆锥曲线中的定点、定值问题

例2　已知椭圆C经过点A，两个焦点为（－1,0）、（1,0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

可设直线AE的斜率来计算直线EF的斜率，通过推理计算消参．

（1）解　由题意，c＝1，可设椭圆方程为＋＝1.

因为A在椭圆上，所以＋＝1，解得b2＝3，b2＝－（舍去），所以椭圆方程为＋＝1.

（2）证明　设直线AE的方程为y＝k（x－1）＋，

代入＋＝1.

得（3＋4k2）x2＋4k（3－2k）x＋42－12＝0.

设E（xE，yE），F（xF，yF）．

因为点A在椭圆上，所以xE＝，

yE＝kxE＋－k.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代替k，

可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k，

所以直线EF的斜率

kEF＝＝＝，

即直线EF的斜率为定值，其值为.

探究提高　求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点P且离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：

y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左，右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标．

（1）解　设椭圆方程为＋＝1（a>

b>

0），

由e＝＝，得a＝2c，

∵a2＝b2＋c2，∴b2＝3c2，

则椭圆方程变为＋＝1.

又椭圆过点P，将其代入求得c2＝1，

故a2＝4，b2＝3，

即得椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）证明　设A（x1，y1），B（x2，y2），联立

得（3＋4k2）x2＋8mkx＋4（m2－3）＝0.

则①

又y1y2＝（kx1＋m）（kx2＋m）

＝k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2

＝.

∵椭圆的右顶点为A2（2,0），AA2⊥BA2，

∴（x1－2）（x2－2）＋y1y2＝0，

∴y1y2＋x1x2－2（x1＋x2）＋4＝0，

∴＋＋＋4＝0，

∴7m2＋16mk＋4k2＝0，解得m1＝－2k，m2＝－，

由①，得3＋4k2－m2>

当m1＝－2k时，l的方程为y＝k（x－2），直线过定点（2,0），与已知矛盾．

当m2＝－时，l的方程为y＝k，直线过定点，∴直线l过定点，定点坐标为.

题型三　圆锥曲线中的探索性问题

例3　已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2,3），且点F（2,0）为其右焦点．

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？

若存在，求出直线l的方程；

若不存在，说明理由．

可先假设l存在，然后根据与C有公共点和与OA距离等于4两个条件探求．

解　方法一　

（1）依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a>

0），且可知其左焦点为F′（－2,0）．

从而有解得

又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，

故椭圆C的方程为＋＝1.

（2）假设存在符合题意的直线l，设其方程为y＝x＋t.

由得3x2＋3tx＋t2－12＝0.

因为直线l与椭圆C有公共点，

所以Δ＝（3t）2－4×

3×

（t2－12）≥0，

解得－4≤t≤4.

另一方面，由直线OA与l的距离d＝4，得＝4，解得t＝±

2.

由于±

2∉[－4，4]，所以符合题意的直线l不存在．

方法二　

（1）依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1（a>

且有解得b2＝12，b2＝－3（舍去）．

从而a2＝16.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

（2）同方法一．

探究提高　解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设是否正确．

江西）已知三点O（0,0），A（－2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|＋|＝·

（＋）＋2.

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x0，y0）（－2<

x0<

2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l.问：

是否存在定点P（0，t）（t<

0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？

若存在，求t的值；

解　

（1）由＝（－2－x,1－y），＝（2－x,1－y），

|＋|＝，

·

（＋）＝（x，y）·

（0,2）＝2y，

由已知得＝2y＋2，

化简得曲线C的方程：

x2＝4y.

（2）假设存在点P（0，t）（t<

0）满足条件，

则直线PA的方程是y＝x＋t，

PB的方程是y＝x＋t.

曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x－，它与y轴的交点为F.

由于－2<

2，因此－1<

<

1.

①当－1<

t<

0时，－1<

－，存在x0∈（－2,2），使得＝，

即l与直线PA平行，故当－1<

0时不符合题意．

②当t≤－1时，≤－1<

，≥1>

，

所以l与直线PA，PB一定相交．

分别联立方程组

解得D，E的横坐标分别是xD＝，

xE＝，

则xE－xD＝（1－t）.

又|FP|＝－－t，