两角和差正余弦公式的证明docxWord文件下载.docx
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于点。
从而点A,B,C和D的坐标分别为
,,°
由两点间距离公式得
▲C2=8（^S-功2十*（^5=2-2co<
a+/9
9
注意到JCM因此*«
79=口・0口・〃_鼻血—/>
。
注记：
这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。
注意，公式中的0和"
为任意角。
2.弟用余弦公式
仍然在单位圆的框架下，用平而内两点间距离公式和余弦定理表达同一线段，也可以得到我们希望的三角等式。
这就是
（方法2）如图所示，在坐标系勿中作单位圆°
并作角a和A使角a和P的始边均为g交口°
于点c,角a终边交口°
于点A,角戸终边交口°
从而点A,B的朋标为Jfe-A—/9。
山余弦定理得
从而有=coiacM^-nam/7
方法2中用到了余弦定理，它依赖于厶°
•是三角形的内角。
因此，还需要补充讨论角°
和〃的终边共线，以及厶O■大于囂的情形。
容易验证，公式在以上情形屮依然成立。
在上边的证明中，用余弦定理计算"
的过程也可以用勾股定理来进行。
也可以用向量法来证明。
则（ZA（cosa・sina）.（）fi（cossin/?
）.
由向械数址积的定义.有
（）A•ofi=\（）A\•\ofi\cos（a—z?
）=cos（a—z?
>
.由向秋数笊积的坐标表示.冇
（）A•T）ti—（wsa・sina）•（cossin；
i）
—cosacosp+sinasin
cos（a/?
）一cosacos沪sinasintl
（-）在三角形的框架下推导和差角正弦公式
除了在单位閲的框架下推导和差角的余弦公式，还町以在三角形中构造和角或差角來证明和差角的正弦公式。
1.和角正弦公式
（一）
ZO«
=aNOU=/>
则。
从而有
整理可得:
从而有:
注意到ID+/9=ftflKEac/7n（<
E+X9
在方法3中，用“和与底角a,卫相关的三角函数，从两个角度来表示
边上高妙，从而得到所希望的等式关系。
这一证明所用的图形是棊于钝角三角形的，对基于直角或锐角三角形的情形，证明过程类似。
利用方法3中的图形，我们用类似于恒等变形的方式，可以得到下面的
（方法4）如图所示，盹为3^的士边上的高，B为如边上的高。
zca=aWIN■尼则ZDO=a+/r
AE_JD
注意到Agmu,则有＜3一加,即。
ADO
架与方法3,4所用的图形框架是相同的。
（方法5）如图所示，6为MW的"
边上的高。
设
上dt■庐，则有Z40=»
-Ga+/O90由正弦定理可得
JCSCABd
a*j9n<
Eaa（s+/9
•其中d为se的外接圆直径。
、11=jICcbml+BCcbb0得rfflB（<
E+JB9=rfflB/Uaia-l-rfaBtfAnB^
从而冇
2.和角正弦公式
（二）
方法3,4和5利用的图形框架是将角«
戸放在三角形的两个底角上。
如果将这两
个角的和作为三角形的一个内角，将会有下面的几种证法（方法6〜11）。
zt^x=anc血r=/j则zarz=a.
ZK4C=a+X7
（方法6）如图所示，作血丄于D,交外接圆于E,连M和＜加。
设3C的外接圆肓径为d,则侑,
所以9C=BD^QJ
注意到>
c=rf"
（<
r+fl>
.从而=■■«
<
»
/?
+»
«
■■/J
（方法7）如图所示，砂为3C的&
边上的高，<
X为血边上的高。
Z4tX=aZMX=fl则厶设CK=h则
^ir=—ciK=h^flJC=Jhnc^^*=^X+>
E=*（m<
E+tMi^）
，,,
M==*e・a*・M9m<
E
o
乂JED=・C^g询
从而QBa+*B/9cwa=sccJU（a+J9
整理可得a^s+/9=ahacai^r+cKaBB/I
（方法8）如图所示，作妙丄OC于D,过D作M丄皿于F,QG丄应于g。
设厶OC=aBO"
则厶设<
M=r从而
XD-TKB.fiGD-rta^fl<
0=ADcnKa=rflB^*cnia
,9
CE=HF=<
2Dn.a=rcoi/7Ka
所以jU=>
G4-^E=7^ift^cnB<
E+cns
注意到宓则冇
我们用两种不同的方法计算得到了和角的正弦公式。
如果我们卅两种方法來计算皿，则可以得到和角的余弦公式。
由上图可得
从而可得=
方法6,7和8都是用角6应的三角函数从两个角度表示图形中的同一线段，从
而构造出我们所希望的等式关系。
（方法9）如图所示,设6为3C的
少边上的髙。
设ZC«
=a
Zd"
JC”，>
C=a?
4D=bcosaBD=acos/3
CD=bsina=asinJ3
因此s二皿=S2ADC+S=nBC
=-.4DJ3D+-BDJ2D
22
=—icosaZhsinZ?
+-<
7cosZlisina
=丄ab（sinacos0+cosasinP）
又因为S*sin厶S詁sin（a+Q
从而可得
sin（<
Z+0）=sinacosJ3+cosasinQ
方法9利用面积关系构造三角恒等式。
下面这两个证法的思路则有所不同。
AB=dcos（3BC=dsinJ3
s
CD=dsinaDA=dcosa
3
BD=〃sin（a+0）
由托勒密定理知
ACZBD=ABJ2D+ADHC
dTdsin（dz+（5）=rfcossina^dcosa~dsinJ3
整理即得
sin（a+0）=sinacos0+cosasinJ3
（方法io）如图所示，设血为ga的外接圆直径d,长度为&
则上DJf=a~i77,从而
AB-dcosJ3BC=dsinJ3
CD=dsinazDA=dcosa
BD=dsin（（z+P）
ACTED=ABHD+ADHC
dJJsin（cz+4=dcosySZc/sina^dcosCtZdsinf3
sin（tz+0）=sinacosJ3+cosasin{3
这一证明用到了托勒密定理：
若"
和是圆内接四边形的对角线，则冇
Af十血=&
coB/Dfa.<
Afaia#
（方法11）如图所示，6为SC的▲■边上的高。
NK3>
=/7则=设<
3>
=孔则
AB=AD+BD=7?
（tana+tan/7）
AC=hsecaBC=hsec/3
由正弦定理可得・
AB_AC_BCsin（（Z+P）sin-BsinA
即
从而
AB_,4C_BCsin（a+0）cos（3cosa
ABAC+BC
sin（（z+p）cosQ+cosa
血（tana+tanQ_/z（seca+sec/3）
sin（a+0）cosp+cosa
sin（（z+/?
）=sinacos（3+cosasin0
方法io和II将某一线段作为基本量，利用与角a,严相关的三角函数表示其它线段，再通过联系这些线段的几何定理（托勒密定理或正弦定理），构造出我们希望的等式关系。
3.差角正弦公式
0C
仍然还是在三角形中，我们可以在三角形的内角里构造出差角来。
方法12和13便是用这种想法來证明的。
CD=bsinJ3DE=bsin（a—J3）
J
DA=DEseca=bsin（cz—（3）seca
因此有
AC=CD+DA=i（sin0+sin（a—）S）seca）
注意到
BC=bcosJ3AC=BCtana=bcos0tana
sin/5+sin（tz—>
5）sec（z=cosJ3tana
整理可得
sin（a-0）=sinacosJ3-cosasin0
■■■■
A
（方法⑶如图所示，"
为ge的外接圆直径，长度为do设厶個=%
4L«
D=/r,则NCKD=“，ZG«
=«
-/»
0从而
AD=dcosaBD=dsina
BC—dsin（（z—/?
）AC—dcos（tz—p）
DE=ADtan（3-dcosatan0
BE=BCsec（3=dsin（a-/?
）sec（3
所以
BD=BE+DE=rf（sin（（z-J3）sec4-cosatan/J）
注意到BD=dsina^而
sina=sin（cr-p）sec（3^cosatan0
sin（（z-/?
）=sinacos0—cos&
sin0
方法12和13的基本思路仍然是用两种不同方法计算同一线段，借此来构造等式关系。
很显然，在这十二种证法中，方法1和2更具普遍性。
换言之，这两种方法中出现的角°
戸是任意角。
而其余方法中，角么和用则有一定的限制，它们都是三角形的内角（英至都是锐如）。
因此，对于方法3~13,我们需要将我们的结果推广到角。
和
R是任意角的情形。
具体而言，我们要证明：
如果公式对任意1成立，则对
任意角也成立。
容易验证,角么和Q中至少有一个是轴上角（即终边在处标轴上的角）,我们的公式是成立的。
下面证明，角a和戸都是彖限角（即终边在坐标系的某一象限中的
角）时，我们的公式也成立。
不妨设a为第二象限角，〃为第三象限角，从而有
c兀a71
a—ImTi^r—ay0<
a1<
—
2?
2,加wZ；
JI
0=（2n+l）兀+0].°
v0iv㊁空z
sina=cosaxcosa=—sin%
sin0=-sin
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