届北师大版 向量的概念及线性运算单元测试Word文件下载.docx

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⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成立．

2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；

若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

3．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（　　）

A.＝B.＋＝

C.－＝D.＋＝0

答案　C

解析　由－＝＝－，故C错误．

4．（2014·

新课标全国Ⅰ，文）设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝（　　）

A.B.

C.D.

解析　＋＝（＋）＋（＋）＝（＋）＝，故选A.

5．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则（　　）

A．a＝bB．a＝－b

C．|a|＝|b|D．以上都不对

6．设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是（　　）

A．e＝B．a＝|a|e

C．a＝－|a|eD．a＝±

|a|e

解析　对于A，当a＝0时，没有意义，错误；

对于B，C，D当a＝0时，选项B，C，D都对；

当a≠0时，由a∥e可知，a与e同向或反向，选D.

7．（2017·

安徽毛坦厂中学期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则＝（　　）

A.＋B.＋

C.＋D.＋

解析　连接AF，AE，由G为EF的中点，得＝（＋）＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＝＋.故选C.

8．（2017·

武汉调研测试）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝

（　　）

A.B.

C.D.

解析　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝，故选D.

9．（2014·

福建，文）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于（　　）

A.B．2

C．3D．4

解析　利用平面向量的平行四边形法则进行加法运算．

因为点M为平行四边形ABCD对角线的交点，所以点M是AC和BD的中点．由平行四边形法则知＋＝2，＋＝2，故＋＋＋＝4.

10．已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是（　　）

A．m＋n＝1B．m＋n＝－1

C．mn＝1D．mn＝－1

解析　由A，B，D共线可设＝λ，于是有i＋mj＝λ（ni＋j）＝λni＋λj.又i，j不共线，因此即有mn＝1.

11．（2017·

湖南常德）已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数k使得＋＝k成立，则k＝（　　）

A．2B．3

C．4D．5

答案　B

解析　由向量的运算法则可将＋＝k化成－＋－＋k＝0，所以k－2＝1，即k＝3.故选B.

12．（2016·

北京东城）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°

，∠B＝30°

，AB＝2，

BC＝2，点E在线段CD上，若＝＋μ，则μ的取值范围是（　　）

A．[0，1]B．[0，]

C．[0，]D．[，2]

解析　如图所示，过点C作CF⊥AB，垂足为F.在Rt△BCF中，∠B＝30°

，BC＝2，∴CF＝1，BF＝.∵AB＝2，∴AF＝.由四边形AFCD是平行四边形，可得CD＝AF＝＝AB.∵＝＋＝＋μ，∴＝μ.∵∥，＝，∴0≤μ≤.故选C.

13．如图所示，下列结论不正确的是________．

①＝a＋b；

②＝－a－b；

③＝a－b；

④＝a＋b.

答案　②④

解析　由a＋b＝，知＝a＋b，①正确；

由＝a－b，从而②错误；

＝＋b，故＝a－b，③正确；

＝＋2b＝a＋b，④错误．故正确的为①③.

14．设a和b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________．

答案　－4

解析　∵A，B，D三点共线，∴∥.∵＝2a＋kb，＝＋＝a－2b，∴k＝－4.故填－4.

15．（2015·

新课标全国Ⅱ，理）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．

答案　

解析　由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.

16.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

答案　2

解析　＝（＋）＝＋.

∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2，故填2.

17．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？

答案　当λ＝－2μ时共线

解析　∵d＝λ（2e1－3e2）＋μ（2e1＋3e2）＝（2λ＋2μ）e1＋（－3λ＋3μ）e2.

要使d与c共线，则应有实数k，使d＝kc.

即（2λ＋2μ）e1＋（－3λ＋3μ）e2＝2ke1－9ke2.

即得λ＝－2μ.

故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，若a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ＝________．

答案　－

解析　因为a与b共线，所以a＝xb，故λ＝－.

2．（2017·

唐山统考）在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝（　　）

解析　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝（＋）＝（＋＋）＝（＋＋）＝＋，故选B.

3．（2017·

河南许昌月考）在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则（　　）

A．m＋n是定值，定值为2B．2m＋n是定值，定值为3

C.＋是定值，定值为2D.＋是定值，定值为3

解析　过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝.由BD＝DC得＝，所以＝.因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3.故选D.

4．（2017·

山东栖霞高中）如图所示，已知△AOB，点C是点B关于点A的对称点，＝2，DC和OA交于点E，若＝λ，则实数λ的值为________．

解析　设＝a，＝b.由题意知A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则知＋＝2.∴＝2－＝2a－b，＝－＝（2a－b）－b＝2a－b.又∵＝－＝（2a－b）－λa＝（2－λ）a－b，∥，∴＝，∴λ＝.

5．（2017·

北京海淀期末）如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为（　　）

A.B．－

C．1D．－1

解析　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋，

即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.

6．（2017·

山东胶州期中）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，对角线AC，DB相交于点O.若＝a，＝b，则＝（　　）

A．－－B.＋

C.＋D.－

解析　∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△DOC∽△BOA且AO＝2OC，

则＝2＝，＝，而＝＋＝＋＝a＋b，

∴＝＝（a＋b）＝a＋b.

7.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且＝a，＝b，则＝________．

答案　b－a

解析　＝＋＋＝－a＋b＋a＝b－a.

8．（2015·

北京）在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；

y＝________．

答案　　－

解析　由题中条件得＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.

9．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形B．平行四边形

C．梯形D．以上都不对

解析　由已知＝＋＋＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2.

∴∥.又与不平行，∴四边形ABCD是梯形．

10．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是（　　）

解析　由已知的向量关系式2＋＝－，得2＋＝，即＝3，所以点P在AC上，且PC＝3AP，由相似的性质知，△PBC与△ABC在边BC上的高的比为3∶4，则△PBC与△ABC的面积比为3∶4，选A.

衡水中学调研卷）在△ABC中，P是BC边的中点，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为（　　）

A．等边三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．等腰三角形但不是等边三角形

解析　如图，由c＋a＋b＝0知，c（－）＋a－b＝（a－c）＋（c－b）

＝0，而与为不共线向量，∴a－c＝c－b＝0，∴a＝b＝c.故选A.

12．（2013·

江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

解析　＝＋＝＋＝＋（－）＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝.

13．设a，b是不共线的两个非零向量，

（1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，

求证：

A，B，C三点共线；

（2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值．

答案　

（1）略　

（2）±

4

解析　

（1）∵＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，

＝（a－3b）－（3a＋b）＝－2a－4b＝－2，∴与共线，且有公共端点B.

∴A，B，C三点共线．

（2）∵8a＋kb与ka＋2b共线，∴存在实数λ，使得（8a＋kb）＝λ（ka＋2b）．

∴（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0.

∵a与b不共线，∴⇒8＝2λ2⇒λ＝±

2.∴k＝2λ＝±

4.

14．如图所示，已知点G是△ABO的重心．

（1）求＋＋；

（2）若PQ过△ABO的重心G，且＝a，＝b，＝ma，＝nb，

＋＝3.

答案　

（1）＋＋＝0　

（2）略

解析　

（1）如图所示，延长OG交AB于M点，则M是AB的中点．

∴＋＝2.

∵G是△ABO的重心，∴＝－2.∴＋＋＝0.

（2）∵M是AB边的中点，∴＝（＋）＝（a＋b）．

又∵G是△ABO的重心，∴＝＝（a＋b）．

∴＝－＝（a＋b）－ma＝（－m）a＋b.

而＝－＝nb－ma，∵P，G，Q三点共线，

∴有且只有一个实数λ，使得＝λ.∴（－m）