江苏省泰州市学年度第二学期调研测试高三数学试题含附加题1Word格式文档下载.docx
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如图,在三棱锥P—
ABC中,PA⊥平面ABC,AB=AC,点D,E,F分別是AB,AC,BC的中点.
(1)求证:
BC∥平面PDE;
(2)求证:
平面PAF
⊥平面PDE.
16.(本小题满分14分)
已知函数,xR
.
(1)求函数的最大值,并写出相应的x的取值集合;
(2)若,(,),求sin2的值.
17.(本小题满分14分)
某温泉度假村拟以泉眼C为圆心建造一个半径为12米的圆形温泉池,如图所示,M,N是圆C上关于直径AB对称的两点,以A为四心,AC为半径的圆与圆C的弦AM,AN分别交于点D,E,其中四边形AEBD为温泉区,I、II区域为池外休息区,III、IV区域为池内休息区,设∠MAB=.
(1)当时,求池内休息区的总面积(III和IV两个部分面积的和);
(2)当池内休息区的总面积最大时,求AM的长.
18.(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆M:
(a>b>0)的左顶点为A,过点A的直线与椭圆M交于x轴上方一点B,以AB为边作矩形ABCD,其中直线CD过原点O.当点B为椭圆M的上顶点时,△AOB的面积为b,且AB=.
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)求矩形ABCD面积S的最大值;
(3)矩形ABCD能否为正方形?
请说明理由.
19.(本小题满分16分)
定义:
若一个函数存在极大值,且该极大值为负数,则称这个函数为“YZ函数”.
(1)判断函数是否为“YZ函数”,并说明理由;
(2)若函数(mR)是“YZ函数”,求实数m的取值范围;
(3)已知,x(0,),a,bR,求证:
当a≤﹣2,且0<b<1时,函数是“YZ函数”.
20.(本小题满分16分)
已知数列,,满足,.
(1)若数列是等比数列,试判断数列是否为等比数列,并说明理由;
(2)若恰好是一个等差数列的前n项和,求证:
数列是等差数列;
(3)若数列是各项均为正数的等比数列,数列是等差数列,求证:
数列是等差数列.
第II卷(附加题,共40分)
21.【选做题】本题包括A,B,C三小题,请选定其中两题作答,每小题10分共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
A.选修4—2:
矩阵与变换
已知列向量在矩阵M=对应的变换下得到列向量,求.
B.选修4—4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为,点P为曲线C上任一点,求点P到直线l距离的最大值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
如图,在多面体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,△ADE是等腰直角三角形,且∠ADE=,EF⊥平面ADE,EF=1.
(1)求异面直线AE和DF所成角的余弦值;
(2)求二面角B—DF—C的余弦值.
23.(本小题满分10分)
给定n(n≥3,n)个不同的数1,2,3,…,n,它的某一个排列P的前k(k,1≤k≤n)项和为,该排列P中满足的k的最大值为.记这n个不同数的所有排列对应的之和为.
(1)若n=3,求;
(2)若n=4l+1,l,①证明:
对任意的排列P,都不存在k(k,1≤k≤n)使得;
②求(用n表示).
2019~2020学年度第二学期调研测试
高三数学答案
一、填空题
1.2.3.4.5.
6.7.8.9.10.
11.12.13.14.
二、解答题
15.(本题满分14分)
证明:
(1)在中,因为分别是的中点,
所以,……………2分
因为,,
所以.……………6分
(2)因为,,
所以,
在中,因为,分别是的中点,
所以,……………8分
因为,所以,
又因为,,
所以,……………12分
因为,所以.……………14分
16.(本题满分14分)
解:
(1)因为,
所以……………2分
……………4分
当,即时,取最大值,
所以的最大值为,此时的取值集合为.………7分
(2)因为,则,即,
则,……………10分
所以
.……………14分
17.(本题满分14分)
(1)在中,因为,,
所以,,
所以池内休息区总面积.
……………4分
(2)在中,因为,,
所以,,
由得,……………6分
则池内休息区总面积,;
……………9分
设,,因为
,
又,所以,使得,
则当时,在上单调增,
当时,在上单调减,
即是极大值,也是最大值,所以,
此时.……………13分
答:
(1)池内休息区总面积为;
(2)池内休息区总面积最大时的长为.………14分
18.(本题满分16分)
(1)由题意:
,解得,
所以椭圆的标准方程为.……………4分
(2)显然直线的斜率存在,设为且,
则直线的方程为,即,
联立得,
解得,,所以,
直线的方程为,即,所以,
所以矩形面积,
所以当且仅当时,矩形面积的最大值为.……………11分
(3)若矩形为正方形,则,
即,则,
令,
因为,又的图象不间断,
所以有零点,所以存在矩形为正方形.
……………16分
19.(本题满分16分)
(1)函数是“YZ函数”,理由如下:
因为,则,
当时,;
当时,,
所以的极大值,
故函数是“YZ函数”.……………4分
(2)定义域为,,
当时,,函数单调递增,无极大值,不满足题意;
当时,当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以的极大值为,
由题意知,解得.……………10分
(3)证明:
,
因为,,则,
所以有两个不等实根,设为,
因为,所以,不妨设,
当时,,则单调递增;
当时,,则单调递减,
所以的极大值为,……………13分
由得,
所以函数是“YZ函数”.……………16分
(其他证法相应给分)
20.(本题满分16分)
(1)设等比数列的公比为,则,
当时,,数列不是等比数列,……………2分
当时,因为,所以,所以数列是等比数
列.……………5分
(2)因为恰好是一个等差数列的前项和,设这个等差数列为,公差为,
两式相减得,
因为,
所以数列是等差数列.……………10分
(3)因为数列是等差数列,所以,
又因为,所以,
即,则,
又因为数列是等比数列,所以,则,
即,
因为数列各项均为正数,所以,……………13分
则,
又因为数列是等差数列,所以,
化简得,将代入得
化简得,所以数列是等差数列.……………16分
数学Ⅱ(附加题)
21.A.[选修4-2:
矩阵与变换](本小题满分10分)
因为,所以,解得,……………4分
设,则,
即,解得,所以,……………8分
所以.……………10分
B.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
由题:
直线方程即为,
由,得直线的直角坐标方程为,……………4分
设点的坐标为,
点到直线的距离,……………8分
当,即时,取得最大值,
此时点的坐标为.……………10分
C.[选修4-5:
不等式选讲](本小题满分10分)
由柯西不等式,得
………………5分
所以.………………10分
22.(本小题满分10分)
因为平面平面,又,
即,因为,,平面,
由四边形为边长为2的正方形,
所以两两互相垂直.
以为坐标原点,为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.………2分
由平面且,
(1),,
则,
所以和所成角的余弦值为.……………5分
(2),,设平面的一个法向量为,
由,取,得,
平面的一个法向量为,
由二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为.……10分
23.(本小题满分10分)
(1)的所有排列为,
因为,所以对应的分别为,所以;
……………3分
(2)(i)设个不同数的某一个排列为,
因为,所以为奇数,
而为偶数,所以不存在使得;
……………5分
(ii)因为,即,
又由(i)知不存在使得,
所以;
所以满足的最大下标即满足
且,
考虑排列的对应倒序排列,
即,,
由题意知,
则;
……………8分
又,这个不同数共有个不同的排列,可以构成个对应组合,
且每组中,所以.……………10分