与圆有关的专题综合讲义(八)Word格式文档下载.doc

与圆有关的专题综合讲义(八)Word格式文档下载.doc

《与圆有关的专题综合讲义(八)Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《与圆有关的专题综合讲义(八)Word格式文档下载.doc（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

（2）若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；

（3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？

若不发生变化，请求出其值；

若发生变化，请说明理由．

例4已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1，O2，P是AB的中点，

（1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在，上分别取点E、F，使∠AO1E=∠BO2F，则有结论：

①△PO1E≌△FO2P，②四边形PO1CO2是菱形，请给出结论②的证明；

（2）如图2，若

（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则

（1）中的两个结论还成立吗？

若成立，请给出证明；

（3）如图3，若PC是⊙O1的切线，求证：

AB2=BC2+3AC2．

例5如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，O）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°

，

（1）求点P的坐标；

（2）连BP、AP，在PB上任取一点E，连AE，将线段AE绕A点顺时针旋转90°

到AF，连BF，交AP于点G，当E在线段BP上运动时，（不与B、P重合），求；

例6如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2，其中O1和O2分别为两个半圆的圆心．F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点．

（1）连接O1F，O1D，DF，O2F，O2E，EF，证明：

△DO1F≌△FO2E；

（2）如图二，过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连接PQ，若∠ACB=90°

，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；

（3）如图三，过点A作半圆O2的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连接PA．证明：

PA是半圆O1的切线．

例7在平面直角坐标系xOy中，已知动点P在正比例函数y=x的图象上，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为圆心，m为半径的圆交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点（点D在点C的上方）．点E为平行四边形DOPE的顶点（如图）．

（1）写出点B、E的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）连接DB、BE，设△BDE的外接圆交y轴于点Q（点Q异于点D），连接EQ、BQ，试问线段BQ与线段EQ的长是否相等？

为什么？

（3）连接BC，求∠DBC﹣∠DBE的度数．

例8已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PB、PA、PC．

（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，求证：

点P、C、Q三点在同一直线上．

（2）如图②，若∠BAC=60°

，试探究PA、PB、PC之间的关系．

（3）若∠BAC=120°

时，

（2）中的结论是否成立？

若是，请证明；

若不是，请探究它们又有何数量关系．

例9已知，如图：

在平面直角坐标系中，点D是直线y=﹣x上一点，过O、D两点的圆⊙O1分别交x轴、y轴于点A和B．

（1）当A（﹣12，0），B（0，﹣5）时，求O1的坐标；

（2）在

（1）的条件下，过点A作⊙O1的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；

（3）若点D的横坐标为，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙O1的大小发生变化时，其结论：

AE﹣BE的值是否发生变化？

若不变，请求出其值；

若变化，请求出变化范围．

例10几何模型：

条件：

如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：

在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．

方法：

作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．

模型应用：

（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是　_________　；

（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°

，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图3，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值．

参考答案与试题解析

1．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．

（1）求s与t的函数关系式；

（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；

考点：

圆与圆的位置关系；

根据实际问题列二次函数关系式；

相切两圆的性质．1125860

分析：

（1）由于S四边形APQB=S△OAB﹣S△OPQ=OA•OB﹣OP•OQ，故用含t的代数式分别表示OP、OQ而求解；

（2）由勾股定理建立关于t的方程，求得t后，再求S；

（3）构造一个直角三角形，结合两圆内切的圆心距等于两圆半径之差和勾股定理，进行计算．

解答：

解：

（1）依题意，得AP=3t，CQ=t．

∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C，

∴OP=OA﹣AP=10﹣3t，

OQ=OC﹣CQ=OB﹣CQ

=×

10﹣t

=5﹣t，

∴S四边形APQB=S△OAB﹣S△OPQ=OA•OB﹣OP•OQ

10×

10﹣（10﹣3t）（5﹣t），

∴S四边形APQB=．

（2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5．

在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2，

∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=25，

∴t=2或t=5（舍去），

当t=2时，

s=

=44，当⊙P和⊙Q外切时，s=44．

（3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切．

当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4﹣1=3．

∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=9，

解得t=，

∴点P的坐标为（0，）．

点评：

本题难度较大，主要利用了数形结合的思想、勾股定理、两圆的位置关系、一元二次方程的解法等知识点求解，对各知识点要灵活应用．

　2．（2012•邗江区一模）已知：

正方形ABCD的边长为4，⊙O交正方形ABCD的对角线AC所在直线于点T，连接TO交⊙O于点S．

②求AS+AT的值；

（3）如图3，延长DA到点E，使AE=AD，当⊙O经过A、E两点时，连接ET、ES．根据

（1）、

（2）计算，通过观察、分析，对线段

AS、AT的数量关系提出问题并解答．

切线的判定与性质；

全等三角形的判定与性质；

勾股定理；

正方形的性质．1125860

（1）①根据正方形的性质得∠TAD=45°

，再根据圆周角定理和推论得∠SDT=90°

，∠TSD=∠TAD，易得△DST为等腰直角三角形，则DT=DS，DT⊥DS；

②由∠SDT=∠ADC=90°

得∠SDA=∠CDT，易证得△DAS≌△DCT，得AS=TC，所以AS﹣AT=TC﹣AT=AC=；

（2）同样可证得△DST为等腰直角三角形，得到DS=DT，而∠SAD=∠DCT=45°

，∠ASD=∠DTC，则△DAS≌△DCT，AS=TC，得AS﹣AT=TC﹣AT=AC=4；

（3）提出的问题是：

求AT﹣AS的值．在TA上截取TF=AS，连接EF，易证得△EST为等腰直角三角形，得到SE=TE，易证△EAS≌△EFT，得到∠SEA=∠TEF，AE=EF，

得到△AEF为等腰直角三角形，则AF=AE，而AE=AD=4，于是有AT﹣AS=AT﹣TF=AF=．

（1）①线段DT、DS的数量和位置关系分别是：

DT=DS，DT⊥DS．理由如下：

∵AC为正方形ABCD的对角线，

∴∠TAD=45°

∵TS为直径，

∴∠SDT=90°

又∵∠TSD=∠TAD，

∴∠TSD=45°

∴△DST为等腰直角三角形，

∴DT=DS，DT⊥DS；

②∵∠SDT=∠ADC=90°

∴∠SDA=∠CDT，

又∵TS为直径，

∴∠SAT=90°

∴∠SAD=45°

∴∠SAD=∠DCT，

而DA=DC，

∴△DAS≌△DCT，

∴AS=TC，

∴AS+AT=AC，

而正方形ABCD的边长为4，

∴AC=4，

∴AS+AT=；

（2）∵TS为直径，

，∠SDT=90°

∴∠SAC=90°

而∠CAD=45°

∴∠STD=45°

∴DS=DT，

又∵∠SAD=∠DCT=45°

，∠ASD=∠DTC，

∴AS﹣AT=TC﹣AT=AC=；

求AT﹣AS的值．解答如下：

在TA上截取TF=AS，连接EF，如图，

∵∠TAE=∠BAC=45°

∴△EST为等腰直角三角形，

∴SE=TE，

又∵∠ASE=∠ETF，

∴△EAS≌△EFT，

∴∠SEA=∠TEF，AE=EF，

而∠TES=90°

∴∠AEF=90°

∴△