硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析Word下载.docx

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其中是矩形面积，为曲边梯形的面积，所以为曲边三角形ACD的面积．故应选（C）.

（3）在下列微分方程中，以（为任意的常数）为通解的是【】．

（A）.（B）.

（C）.（D）.　

【答案】应选（D）.

【详解】由，可知其特征根为

，，故对应的特征值方程为

所以所求微分方程为．应选（D）.

（4）判定函数，间断点的情况【】．

（A）有一个可去间断点，一个跳跃间断点．（B）有一跳跃间断点，一个无穷间断点．

（C）有两个无穷间断点.（D）有两个跳跃间断点.

【答案】应选（A）.

（5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是【】．

（A）若收敛，则收敛（B）若单调，则收敛

（C）若收敛，则收敛.（D）若单调，则收敛.

【答案】应选（B）.

【详解】若若单调，则由函数在内单调有界知，若单调有界，因此若收敛．故应选（B）.

（6）设函数连续，，，若，则【】．

（A）（B）（C）（D）

【详解】利用极坐标，得

，所以．故应选（A）.

（7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵．若，则下列结论正确的是【】．

（A）不可逆，则不可逆.（B）不可逆，则可逆.

（C）可逆，则可逆.（D）可逆，则不可逆.

【答案】应选（C）.

【详解】，．

故，均可逆．故应选（C）.

（8）设，则在实数域上，与A合同矩阵为【】．

（A）.（B）.（C）.（D）.　

【详解】

则，记，则

则，正负惯性指数相同.故选D.

二、填空题：

（9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.）

（9）已知函数连续，且，则

【答案】应填．

（10）微分方程的通解是.

（11）曲线在点的切线方程为.

（12）曲线的拐点坐标为.

【答案】．

【详解】

（13）设，则.

（14）设3阶矩阵的特征值为．若行列式，则___________.

【答案】应填．

三、解答题（15－23小题，共94分）．

（15）（本题满分9分）

求极限．

【详解1】

＝

（或，或）

．

【详解2】

＝（或）

（16）（本题满分10分）

设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解，求．

【详解1】由得

，积分得．

由条件，得，即，

故．

方程组两端同时对求导得

所以，

从而

17（本题满分9分）计算．

【详解1】由于，故是反常积分．

令，有，．

【详解2】

，

所以．

（18）（本题满分11分）

计算，其中．

【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和．于是

（19）（本题满分11分）

设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且．对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式．

【详解】根据题意，因为

旋转体体积，侧面积．

所以．

上式两边同时对求导得

解得，．

由，得．

所以或．

（20）（本题满分11分）

（I）证明积分中值定理：

若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得；

（II）若函数具有二阶导数，且满足，，则至少存在一点，使得．

【证法1】若函数在闭区间上连续，则必存在最大值和最小值．即

于是有

即

根据闭区间上连续函数的介值定理，在上至少存在一点，使得

因此而的证．

（II）存在，使得．

由，知．

由，利用微分中值定理，存在，使得

存在存在，使得

（21）（本题满分11分）

求函数在约束条件和下的最大值和最小值．

【详解1】作拉格朗日函数

令

解之得故所求得最大值为72,最小值为6．

【详解2】由题意知，在条件下的最值．

（22）（本题满分12分）．

设元线性方程组，其中

，，．

（I）证明行列式；

（II）当为何值时，该方程组有惟一解，并求．

（III）当为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．

（I）

【证法1】数学归纳法．记

以下用数学归纳法证明．

当时，，结论成立．

假设结论对小于的情况成立．将按第一行展开得

【注】本题

（1）也可用递推法．由得，．于是

【证法2】消元法．记

（II）

【详解】当时，方程组系数行列式，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将得第一列换成，得行列式为

所以，．

（III）

【详解】当时，方程组为

此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为，所以方程组有无穷多组解，其通解为

，其中为任意常数．

（23）（本题满分10分）

设为3阶矩阵，为的分别属于特征值的特征向量，向量满足，

（）证明线性无关；

（）令，求．

（）

【证明】设有一组数，使得．

用左乘上式，得．

因为,，，

所以，

即．

由于是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此

，从而有．

故线性无关．

（II）由题意，．而由（I）知，线性无关，从而可逆．故

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