硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析Word下载.docx
《硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析Word下载.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析Word下载.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/19/13f9809b-5d6b-4e3e-8d72-9eb6bb910671/13f9809b-5d6b-4e3e-8d72-9eb6bb9106711.gif)
其中是矩形面积,为曲边梯形的面积,所以为曲边三角形ACD的面积.故应选(C).
(3)在下列微分方程中,以(为任意的常数)为通解的是【】.
(A).(B).
(C).(D).
【答案】应选(D).
【详解】由,可知其特征根为
,,故对应的特征值方程为
所以所求微分方程为.应选(D).
(4)判定函数,间断点的情况【】.
(A)有一个可去间断点,一个跳跃间断点.(B)有一跳跃间断点,一个无穷间断点.
(C)有两个无穷间断点.(D)有两个跳跃间断点.
【答案】应选(A).
(5)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是【】.
(A)若收敛,则收敛(B)若单调,则收敛
(C)若收敛,则收敛.(D)若单调,则收敛.
【答案】应选(B).
【详解】若若单调,则由函数在内单调有界知,若单调有界,因此若收敛.故应选(B).
(6)设函数连续,,,若,则【】.
(A)(B)(C)(D)
【详解】利用极坐标,得
,所以.故应选(A).
(7)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵.若,则下列结论正确的是【】.
(A)不可逆,则不可逆.(B)不可逆,则可逆.
(C)可逆,则可逆.(D)可逆,则不可逆.
【答案】应选(C).
【详解】,.
故,均可逆.故应选(C).
(8)设,则在实数域上,与A合同矩阵为【】.
(A).(B).(C).(D).
【详解】
则,记,则
则,正负惯性指数相同.故选D.
二、填空题:
(9-14小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.)
(9)已知函数连续,且,则
【答案】应填.
(10)微分方程的通解是.
(11)曲线在点的切线方程为.
(12)曲线的拐点坐标为.
【答案】.
【详解】
(13)设,则.
(14)设3阶矩阵的特征值为.若行列式,则___________.
【答案】应填.
三、解答题(15-23小题,共94分).
(15)(本题满分9分)
求极限.
【详解1】
=
(或,或)
.
【详解2】
=(或)
(16)(本题满分10分)
设函数由参数方程确定,其中是初值问题的解,求.
【详解1】由得
,积分得.
由条件,得,即,
故.
方程组两端同时对求导得
所以,
从而
17(本题满分9分)计算.
【详解1】由于,故是反常积分.
令,有,.
【详解2】
,
所以.
(18)(本题满分11分)
计算,其中.
【详解】将区域分成如图所示得两个子区域和.于是
(19)(本题满分11分)
设是区间上具有连续导数的单调增加函数,且.对任意的,直线,曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体,若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍,求函数的表达式.
【详解】根据题意,因为
旋转体体积,侧面积.
所以.
上式两边同时对求导得
解得,.
由,得.
所以或.
(20)(本题满分11分)
(I)证明积分中值定理:
若函数在闭区间上连续,则至少存在一点,使得;
(II)若函数具有二阶导数,且满足,,则至少存在一点,使得.
【证法1】若函数在闭区间上连续,则必存在最大值和最小值.即
于是有
即
根据闭区间上连续函数的介值定理,在上至少存在一点,使得
因此而的证.
(II)存在,使得.
由,知.
由,利用微分中值定理,存在,使得
存在存在,使得
(21)(本题满分11分)
求函数在约束条件和下的最大值和最小值.
【详解1】作拉格朗日函数
令
解之得故所求得最大值为72,最小值为6.
【详解2】由题意知,在条件下的最值.
(22)(本题满分12分).
设元线性方程组,其中
,,.
(I)证明行列式;
(II)当为何值时,该方程组有惟一解,并求.
(III)当为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解.
(I)
【证法1】数学归纳法.记
以下用数学归纳法证明.
当时,,结论成立.
假设结论对小于的情况成立.将按第一行展开得
【注】本题
(1)也可用递推法.由得,.于是
【证法2】消元法.记
(II)
【详解】当时,方程组系数行列式,故方程组有惟一解.由克莱姆法则,将得第一列换成,得行列式为
所以,.
(III)
【详解】当时,方程组为
此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为,所以方程组有无穷多组解,其通解为
,其中为任意常数.
(23)(本题满分10分)
设为3阶矩阵,为的分别属于特征值的特征向量,向量满足,
()证明线性无关;
()令,求.
()
【证明】设有一组数,使得.
用左乘上式,得.
因为,,,
所以,
即.
由于是属于不同特征值得特征向量,所以线性无关,因此
,从而有.
故线性无关.
(II)由题意,.而由(I)知,线性无关,从而可逆.故
仅供个人用于学习、研究;
不得用于商业用途。
notforcommercialuse.
Nurfü
rdenpersö
nlichenfü
rStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.
Pourl'
é
tudeetlarechercheuniquementà
desfinspersonnelles;
pasà
desfinscommerciales.
толькодлялюдей,которыеиспользуютсядляобучения,исследованийинедолжныиспользоватьсявкоммерческихцелях.
以下无正文