高中排列组合知识点汇总及典型例题全Word格式文档下载.docx
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②;
③;
④
若
四.处理排列组合应用题1.①明确要完成的是一件什么事(审题)②有序还是无序③分步还是分类。
2.解排列、组合题的基本策略
(1)两种思路:
①直接法;
②间接法:
对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。
这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。
(2)分类处理:
当问题总体不好解决时,常分成若干类,再由分类计数原理得出结论。
注意:
分类不重复不遗漏。
即:
每两类的交集为空集,所有各类的并集为全集。
(3)分步处理:
与分类处理类似,某些问题总体不好解决时,常常分成若干步,再由分步计数原理解决。
在处理排列组合问题时,常常既要分类,又要分步。
其原则是先分类,后分步。
(4)两种途径:
①元素分析法;
②位置分析法。
3.排列应用题:
(1)穷举法(列举法):
将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来;
(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑;
(3).相邻问题:
捆邦法:
对于某些元素要求相邻的排列问题,先将相邻接的元素“捆绑”起来,看作一“大”元素与其余元素排列,然后再对相邻元素内部进行排列。
(4)、全不相邻问题,插空法:
某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素,然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。
(5)、顺序一定,除法处理。
先排后除或先定后插
解法一:
对于某几个元素按一定的顺序排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列,然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。
即先全排,再除以定序元素的全排列。
解法二:
在总位置中选出定序元素的位置不参加排列,先对其他元素进行排列,剩余的几个位置放定序的元素,若定序元素要求从左到右或从右到左排列,则只有1种排法;
若不要求,则有2种排法;
(6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时,可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列,最后再进行“小团体”内部的排列。
(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题,可归纳为一排考虑,再分段处理。
(8).数字问题(组成无重复数字的整数)
①能被2整除的数的特征:
末位数是偶数;
不能被2整除的数的特征:
末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征:
各位数字之和是3的倍数;
③能被9整除的数的特征:
各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征:
末两位是4的倍数。
⑤能被5整除的数的特征:
末位数是0或5。
⑥能被25整除的数的特征:
末两位数是25,50,75。
⑦能被6整除的数的特征:
各位数字之和是3的倍数的偶数。
4.组合应用题:
(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:
(2).“含”与“不含”用间接排除法或分类法:
3.分组问题:
均匀分组:
分步取,得组合数相乘,再除以组数的阶乘。
即除法处理。
非均匀分组:
分步取,得组合数相乘。
即组合处理。
混合分组:
分步取,得组合数相乘,再除以均匀分组的组数的阶乘。
4.分配问题:
定额分配:
(指定到具体位置)即固定位置固定人数,分步取,得组合数相乘。
随机分配:
(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数,先分组再排列,先组合分堆后排,注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。
5.隔板法:
不可分辨的球即相同元素分组问题
例1.电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
解:
分二步:
首尾必须播放公益广告的有A22种;
中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·
A44=48.从而应填48.
例3.6人排成一行,甲不排在最左端,乙不排在最右端,共有多少种排法?
解一:
间接法:
即
解二:
(1)分类求解:
按甲排与不排在最右端分类.
(1)甲排在最右端时,有种排法;
(2)甲不排在最右端(甲不排在最左端)时,则甲有种排法,乙有种排法,其他人有种排法,共有种排法,分类相加得共有+=504种排法
例.有4个男生,3个女生,高矮互不相等,现将他们排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列,有多少种排法?
分析一:
先在7个位置上任取4个位置排男生,有A种排法.剩余的3个位置排女生,因要求“从矮到高”,只有1种排法,故共有A·
1=840种.
1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有
解析1:
逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有种,选.
解析2:
至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:
甲型1台乙型2台;
甲型2台乙型1台;
故不同的取法有台,选.
2.从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛
(1)如果4人中男生和女生各选2人,有种选法;
(2)如果男生中的甲与女生中的乙必须在内,有种选法;
(3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,有种选法;
(4)如果4人中必须既有男生又有女生,有种选法
分析:
本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异,所以是组合问题.
(1)先从男生中选2人,有种选法,再从女生中选2人,有种选法,所以共有=60(种);
(2)除去甲、乙之外,其余2人可以从剩下的7人中任意选择,所以共有=21(种);
(3)在9人选4人的选法中,把甲和乙都不在内的去掉,得到符合条件的选法数:
=91(种);
直接法,则可分为3类:
只含甲;
只含乙;
同时含甲和乙,得到符合条件的方法数=91(种).
(4)在9人选4人的选法中,把只有男生和只有女生的情况排除掉,得到选法总数=120(种).
直接法:
分别按照含男生1、2、3人分类,得到符合条件的选法为=120(种).
1.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为( )
A.40 B.50 C.60 D.70
[解析] 先分组再排列,一组2人一组4人有C=15种不同的分法;
两组各3人共有=10种不同的分法,所以乘车方法数为25×
2=50,故选B.
2.有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A.36种B.48种C.72种D.96种
[解析] 恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共AA=72种排法,故选C.
3.只用1,2,3三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相邻出现,这样的四位数有( )
A.6个B.9个C.18个D.36个
[解析] 注意题中条件的要求,一是三个数字必须全部使用,二是相同的数字不能相邻,选四个数字共有C=3(种)选法,即1231,1232,1233,而每种选择有A×
C=6(种)排法,所以共有3×
6=18(种)情况,即这样的四位数有18个.
4.男女学生共有8人,从男生中选取2人,从女生中选取1人,共有30种不同的选法,其中女生有( )
A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人
[解析] 设男生有n人,则女生有(8-n)人,由题意可得CC=30,解得n=5或n=6,代入验证,可知女生为2人或3人.
5.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用8步走完,则方法有( )
A.45种B.36种C.28种D.25种
[解析] 因为10÷
8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步,一步两个台阶的有2步,那么共有C=28种走法.
6.某公司招聘来8名员工,平均分配给下属的甲、乙两个部门,其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门,另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门,则不同的分配方案共有( )
A.24种B.36种C.38种D.108种
[解析] 本题考查排列组合的综合应用,据题意可先将两名翻译人员分到两个部门,共有2种方法,第二步将3名电脑编程人员分成两组,一组1人另一组2人,共有C种分法,然后再分到两部门去共有CA种方法,第三步只需将其他3人分成两组,一组1人另一组2人即可,由于是每个部门各4人,故分组后两人所去的部门就已确定,故第三步共有C种方法,由分步乘法计数原理共有2CAC=36(种).
7.已知集合A={5},B={1,2},C={1,3,4},从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )
A.33B.34C.35D.36
[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C·
A=12个;
②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C·
A+A=18个;
③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C=3个.
故共有符合条件的点的个数为12+18+3=33个,故选A.
8.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A.72B.96C.108D.144
[解析] 分两类:
若1与3相邻,有A·
CAA=72(个),若1与3不相邻有A·
A=36(个)
故共有72+36=108个.
9.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余学校均只参观一天,那么不同的安排方法有( )
A.50种B.60种C.120种D.210种
[解析] 先安排甲学校的参观时间,一周内两天连排的方法一共有6种:
(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7),甲任选一种为C,然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观,安排方法有A种,按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C·
A=120种,故选C.
10.安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日,不同的安排方法共有________种.(用数字作答)
[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班,有A=20(种)排法,其余5人再进行排列,有A=120(种)排法,所以共有20×
120=2400(种)安排方法.
11.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有________种不同的排法.(用数字作答)
[解析] 由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有C·
C·
C=1260(种)排法.
12.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答).
[解析] 先将6名志愿者分为4组,共有种分法,再将4组人员分到4个不同场馆去,共有A种分法,故所有分配方案有:
·
A=1080种.
13.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花,要求相邻区域不同色,有________种不同的种法(用数字作答).
[解析] 5有4种种法,1有3种种法,4有2种种法.若1、3同色,2有2种种法,若1、3不同色,2有1种种法,∴有4×
3×
2×
(1×