袁聪原创专题2动点产生的直角三角形问题Word格式文档下载.docx

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以AB为直径作圆O，可知圆O上的点（除去与A,B重合的点）都能够与A,B构成直角三角形

总结：

这就是两垂一圆模型

问题2

熟练掌握判定直角的方法：

（1）两锐角互余

（2）勾股定理的逆定理：

若，则为直角三角形。

（3）相似法：

三垂直模型

（4）两条直线斜率：

，则二者互相垂直（水平线与铅直线除外）

问题3

熟练掌握直线与X轴的夹角与斜率的关系：

问题4

若A点的坐标为，B点的坐标为，则斜率

1.如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A（2,2）,点B（2,−3）.试问，坐标轴上是否存在一点P，使得△ABP为直角三角形?

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，说明理由。

2.如图所示,抛物线与x轴交于A（1,0）,B（−3,0）两点,与y轴交于点C（0,3）.

（1）求此抛物线的解析式。

（2）在BC直线上找点P，使得以点A，C，P为顶点的三角形是直角三角形，求点P的坐标。

3.如图,抛物线y=−12x2+bx+c与x轴分别相交于点A（−2,0）,B（4,0），与y轴交于点C，顶点为点P.

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点M、N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB、OC上向点B. 

C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H.

①当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标；

②是否存在这样的点F，使△PFB为直角三角形?

若存在，求出点F的坐标；

若不存在，请说明理由。

4.已知二次函数y=ax2的图象经过点（2,1）.

（1）求二次函数y=ax2的解析式；

（2）一次函数y=mx+4的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A（x1、y1）、B（x2、y2）两点。

①当m=1.5时（图①），求证：

△AOB为直角三角形；

5.如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过点A（2，0），B（3，3），BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（-4，0），点F与原点重合.

（1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴；

（2）△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式；

（3）点P是抛物线对称轴上一点，当△ABP是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P坐标.

6.抛物线y=14x2−32x+2与x轴交于A,B两点（OA<

OB），与y轴交于点C.

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间为t秒（0<

t<

2）.

①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D（如图所示）,当t为何值时,的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；

②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形?

若存在，请直接写出点F的坐标；

7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,直线y=kx+n（k≠0）经过B,C两点,已知A（1,0）,C（0,3），且BC=5.

（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形?

若存在，请求出点P的坐标；

8.如图,分别以菱形BCED的对角线BE、CD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2−6ax−16a（a<

0）过B. 

C两点,与x轴的负半轴交于点A,且∠ACB=90∘.点P是x轴上一动点,设点P的坐标为（m,0），过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线于点Q.

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究：

①填空：

MQ=___;

（用含m的化简式子表示,不写过程）

②当m为何值时，四边形CQBM的面积取得最大值，并求出这个最大值。

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形?

若存在，请直接写出点Q的坐标；

9.已知：

如图,抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3,0）、B（6,0）,与y轴的交点是C. 

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P（x,y）（0<

x<

6）是抛物线上的动点,过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.

①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少?

②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形?

10.已知：

直角三角形AOB中,∠AOB=90∘,OA=3厘米,OB=4厘米。

以O为坐标原点如图建立平面直角坐标系。

设P、Q分别为AB边,OB边上的动点,它们同时分别从点A. 

O向B点匀速运动,移动的速度都为1厘米每秒。

设P、Q运动的时间为t秒（0⩽t⩽4）.

（1）求△OPQ的面积S与（厘米2）与t的函数关系式；

并指出当t为何值时S的最大值是多少?

（2）当t为何值时，△BPQ和△AOB相似；

（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形；

（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；

②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，使△OPQ为正三角形，求出点Q的运动速度和此时的t值。