塞瓦定理及应用文档格式.docx
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CB
若AA,BB,
由:
也，有
CC三线平行，可类似证明
对于图2-1
CBAC
BACB
Sapab
pca
（b）
（略）
（c）也有如下面积证法:
SaPBCSa
1，即证.
SaPABSapbc
（2）点P常称为塞瓦点.
（3）共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证.
首先，由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理.
如图
2-1（b）、
（c），分别对△ABA及截线CPC，对△AAC及截线BPB应用梅涅劳斯定理有
APAC
ABCBAP
CAPACB
BCBAPA
上述两式相乘，得
BACBAC
其次，由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理.
如图2-2，设A,B,C分别为△
ABC的三边BC,CA,AB所在直线上的点，且A
，直线CC与AA交于点Y，直线AA与BB交于点
点共线.令直线BB与CC交于点X
X
图2-2
分别视点C,A,
B,C,
A,B为塞瓦点，应用塞瓦定理，
即
对△BCB及点
C
（直线BA,
CX,
BA的交点），有BA
CA
BX
1
AB
XB
对△CAC及点
A
（直线CB,
AY,
CB的交点），有CB-
CY
1.
YC
“、」亠AC
AZ
对△ABA及点
B
（直线AC,
BZ,
AC的交点），有——
ZA
对△BBC及点
（直线BA,
BA,
CX的交点），有聖
BA
CA
“、」亠CY
AB
对△CCA及点
（直线CB.
CB,
AY的交点），有——
对△AAB及点
（直线AC
AC,
BZ的交点），有A
BACB
2
上述八式相乘，有
ACBA
BACBAC故
ACBACB
塞瓦定理的逆定理
分别是△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若
1ACBACB
则AA,BB,CC三直线共点或三直线互相平行.
证明若AA与BB交于点P，设CP与AB的交点为Ci，则由塞瓦定理，有
CBAC11,又已知有
AC11,由此得
AC1
AC,即AC1AC,亦即AC1AC,
BAC1B
GB
C1B
CBABAB
故C1
与C重合，从而
AA,
BB,
三线共点.
若AAIIBB，则CB
代入已知条件，有C-
由此知CCIIAA，故
AAIIBBIICC.
上述两定理可合写为：
设A,B,C分别是△ABC的BC,CA,AB所在直线上的点，则三直线AA,RACBAC
BB，CC平行或共点的充要条件是竺竺1.③
第一角元形式的塞瓦定理设A,B,C分别是△ABC的三边BC,CA,AB所在直线上的点，贝U
三直线AA
BB,CC平行或共点的充要条件是
sin/BAAsin/AAC证明由-BA
ACS^AAC
sin/ACC
sin/CCB
aba
sin/CBB/1.
sin/BBA
ABsin/BAACB
，BA
ACsin/AAC
sin/CBB
/?
ABsin/BBA
ACsin[ACC，三式相乘,
BCsin/CCB
再运用塞瓦定理及其逆定理，知结论成立.
第二角元形的塞瓦定理设A,B,
分别△ABC的三边BC,
CA,
AB所在直线上的点，0是不
在厶ABC的三边所在直线上的点，则
AA,BB,CC平行或共点的充要条件是
sin/BOAsin/AOCsin/COBsin/AOCsin/COBsin/BOA
证明注意到塞瓦定理及其逆定理，有
i少CBACACBACB
BOsin/BOA
COsin/AOC
BOACOB
aocroa
COsin/COB
AOsin/BOA
aoc
cob
AOsin/AOC
BOsin/COB
由此即证得结论.
注在上述各定理中，若米用有向线段或有向角，则①、②、③、④、⑤式的右端仍为1.特别要注
意的是三边所在直线上的点或者两点在边的延长线上，或者没有点在边的延长线上•④、⑤式中的角也可按①式的对应线段记忆.
推论设A,吕,G，分别是△ABC的外接圆三段弧BC,CA,AB上的点，贝UAA,,B^,CC1共点的充要条件是
BAiCBiACi
ACBACiB
证明如图2-3，设△ABC的外接圆半径为R,AAi交BC于A,BBi交CA于B,CCi交AB于C.由
A,Ci,B,Ai,C,
Bi六点共圆及正弦定理，有
BA,2Rsin/BAAisin/BAAAC2Rsin/AACsin/AAC
CBisin/CBBACi
B,Asin/BBAC,B
sin/ACCsin/CCB
三式相乘，并应用第一角元形式的塞瓦定理即证.
为了使读者熟练地应用塞瓦定理，针对图
2-4中的点A、B、C、D、E、F，将其作为塞瓦点，我
们写出如下式子:
图2-4
对△ACE及点D有对厶CDE及点A有对△ADE及点C有对△ABD及点F有
ABCG
BCGE
CFDB
FDBE
DGAF
GAFE
ACBE
EF
i,
FA
EG
GC
EB
BD
DH
CBEDHA
对△ACD及点E有对△ADF及点B有对△ABF及点D有对△BDF及点A有
AG
DF
1,
GD
FC
AH
DC
FE
HD
CF
AE
FH
HB
BE
1•
ED
【典型例题与基本方法】
1•恰当地选择三角形及所在平面上的一点，是应用塞瓦定理的关键
例1四边形两组对边延长分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行•证明：
另一条对角
线的延长线平分对边交点连线的线段.（1978年全国高中竞赛题）证明如图2-5,四边形ABCD的两组对边延长分别交于E,F,对角线BDIIEF,AC的延长线交EF
于G•
图2-5
对△AEF及点C，应用塞瓦定理，有
EGFDAB
GFDABE
ABAD
由BDIIEF，有——一一，代入上式,BEDF
得——1，即EGGF.命题获证.
GF
例2如图2-6，锐角△ABC中，AD是BC边上的高，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线
（1994年加拿大奥林匹克试题）
分别交AC,AB于E,F•求证：
ZEDHZFDH.
证法1对^ABC及点H，应用塞瓦定理，有^DCH1-过A作PQ//BC，延长DF,DE分别交PQ于P,Q，贝UDA丄PQ，且△APFs△BDF,
△AQEs△CDE，从而
AF
PA-
BD,
AQ
DC.
FB
CE
而由①，有
DC，故PAAQ
由此知AD为等腰△APQ底边PQ上的高，故ZEDHZFDH.
证法2对△ABC及点H应用塞瓦定理，有
AFBDCE
FBDCEA
DAFbDdcedfbDCSadea
ADsinZADFBDDCsinZEDCBDsinZFDBDCADsinZADE
tanZADFcotZADE.
即tanZADE
tanZADF,由锐角性质知
ZEDAZFDA.类似地，对△ABE及截线FHC或对△AFC
及截线BHE应用梅涅劳斯定理也可证得有
ZEDAZFDA.
注将此例中的平角ZBDC变为钝角，则有如下：
例3如图2-7,在四边形ABCD中，对角线AC平分ZBAD.在CD上取一点E,BE与AC相交于F,
延长DF交BC于G.求证：
ZGACZEAC.
（1999年全国高中联赛题）
连BD交AC于H，对△BCD及点F,应用塞瓦定理，有
CG
BHDE
HDEC
AH平分/BAD，由角平分线性质，可得
BH
AB，故CGABDE1.
ADGBADEC
过点C作AB的平行线交AG的延长线于I，过点C作AD的平行线交AE的延长线于J，则
CI,DEAD•所以CIABADi.
ABECCJABADCJ
从而，CICJ•
又CI
IIAB,CJIIAD，有/ACI180-/BAC180-/DAC/ACJ•
I
图2-7
因此，△ACIACJ，即有/IAC/JAC•故/GAC/EAC•
注由此例还可变出一些题目，参见练习题第4、5及19题.
例4如图2-8,BE是△ABC的中线，G在BE上，分别延长AG,CG交BC,AB于D,F，过D
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