专题33 圆中的存在性综合问题解析版文档格式.docx

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∴AH＝BH＝AB＝2，

∴EH＝AH﹣AE＝1，

∴OH＝＝＝1，

∴OB＝＝＝，

即⊙O的半径为，

∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，

∴直线l是圆O的切线．

2、如图，直径为10的⊙O经过原点O，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB（OA＞OB）的长分别是方程x2+kx+48＝0的两根．

（1）求线段OA、OB的长；

（2）已知点C在劣弧OA上，连结BC交OA于D，当OC2＝CD•CB时，求C点的坐标；

（3）在⊙O上是否存在点P，使S△POD＝S△ABD？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

解：

（1）连接AB，

∵∠BOA＝90°

∴AB为直径，根与系数关系得OA+OB＝﹣k，OA×

OB＝48；

根据勾股定理，得OA2+OB2＝100，

即（OA+OB）2﹣2OA×

OB＝100，

解得：

k2＝196，

∴k＝±

14（正值舍去）．

则有方程x2﹣14x+48＝0，

x＝6或8．

又∵OA＞OB，

∴OA＝8，OB＝6；

（2）若OC2＝CD×

CB，则△OCB∽△DCO，

∴∠COD＝∠CBO，

又∵∠COD＝∠CBA，

∴∠CBO＝∠CBA，

所以点C是弧OA的中点．

连接O′C交OA于点D，根据垂径定理的推论，得O′C⊥OA，

根据垂径定理，得OD＝4，

根据勾股定理，得O′D＝3，

故CD＝2，即C（4，﹣2）；

（3）设直线BC的解析式是y＝kx+b，把B（0，6），C（4，﹣2）代入得：

．

则直线BC的解析式是：

y＝﹣2x+6，

令y＝0，

x＝3，

则OD＝3，AD＝8﹣3＝5，

故S△ABD＝×

5×

6＝15．

若S△ABD＝S△OBD，P到x轴的距离是h，

则×

3h＝15，解得：

h＝10．

而⊙O′的直径是10，因而P不能在⊙O′上，

故P不存在．

3、如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF上，且∠EBD＝∠A．

BD与⊙O相切；

（2）已知∠A＝30°

①若BE＝3，求BD的长；

②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．

如图1，作直径BG，连接GE，

则∠GEB＝90°

∴∠G+∠GBE＝90°

∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，

∴∠EBD＝∠G，

∴∠EBD+∠GBE＝90°

∴∠GBD＝90°

∴BD⊥OB，

∴BD与⊙O相切；

（2）解：

如图2，连接AG，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°

由

（1）知∠GBD＝90°

∴∠GBD＝∠ABC，

∴∠GBA＝∠CBD，

又∵∠GAB＝∠DCB＝90°

∴△BCD∽△BAG，

∴＝＝tan30°

＝，

又∵Rt△BGE中，∠BGE＝30°

，BE＝3，

∴BG＝2BE＝6，

∴BD＝6×

＝2；

四边形ABCD是平行四边形，理由如下，

由

（2）知＝，＝，

∴＝，

∵B，E为定点，BE为定值，

∴BD为定值，D为定点，

∵∠BCD＝90°

∴点C在以BD为直径的⊙M上运动，

∴当点C在线段OM上时，OC最小，

此时在Rt△OBM中，＝＝，

∴∠OMB＝60°

∴MC＝MB，

∴∠MDC＝∠MCD＝30°

＝∠A，

∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴∠ABC＝∠DCB＝90°

∴AB∥CD，

∴∠A+∠ACD＝180°

∴∠BDC+∠ACD＝180°

∴AC∥BD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

4、如图，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B两点分别作⊙O的切线PA、PB交于一点P，连接OP

∠APO＝∠BPO；

（2）若∠C＝60°

，AB＝6，点Q是⊙O上的一动点，求PQ的最大值．

连接OA、OB，

∵PA、PB是⊙O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

在RT△PAO和RT△PBO中，

∴RT△PAO≌RT△PBO（HL），

∴∠APO＝∠BPO；

∴∠PAB＝∠PBA＝∠C＝60°

，OP⊥AB，

∴△PAB为等边三角形，

延长PO交⊙O于Q，连接AQ、BQ，则此时PQ最大，

∵∠APB＝60°

∴∠APO＝∠BPO＝30°

∴PQ＝2×

AP＝2×

AB＝2×

×

6＝6．

5、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF．

△BEF是直角三角形；

△BEF∽△BCA；

（3）当AB＝6，BC＝m时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

∵∠EFB＝∠∠EDB，∠EBF＝∠EDF，

∴∠EFB+∠EBF＝∠EDB+∠EDF＝∠ADB＝90°

∴∠BEF＝90°

∴△BEF是直角三角形．

∵BC＝BD，

∴∠BDC＝∠BCD，

∵∠EFB＝∠EDB，

∴∠EFB＝∠BCD，

∵AC＝AD，BC＝BD，

∴AB⊥CD，

∴∠AMC＝90°

∵∠BCD+∠ACD＝∠ACD+∠CAB＝90°

∴∠BCD＝∠CAB，

∴∠BFE＝∠CAB，

∵∠ACB＝∠FEB＝90°

∴△BEF∽△BCA．

设EF交AB于J．连接AE．

∵EF与AB互相平分，

∴四边形AFBE是平行四边形，

∴∠EFA＝∠FEB＝90°

，即EF⊥AD，

∵BD⊥AD，

∴EF∥BD，

∵AJ＝JB，

∴AF＝DF，

∴FJ＝BD＝，

∴EF＝m，

∵△ABC∽△CBM，

∴BC：

MB＝AB：

BC，

∴BM＝，

∵△BEJ∽△BME，

∴BE：

BM＝BJ：

BE，

∴BE＝，

∵△BEF∽△BCA，

即＝，

解得m＝2（负根已经舍弃）．

6、

（1）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝3，BD＝4，则点D到直线AB的距离是　　

（2）如图，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E（E在B、C之间，且不与B、C重合）．探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ABC＝90°

，∠BCD为锐角．BD平分∠ABC，BD＝7，AB＝6．求⊙O的面积．

（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E．

∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，

∴DF＝DE，

∵BC是直径，

∴∠BDC＝90°

∴BC＝＝＝5，

∵S△BDC＝•BC•DE＝•BD•DC，

∴DE＝，

∴DF＝DE＝．

故答案为；

（2）如图②中，结论：

AB+BC＝2BE．

理由：

作DF⊥BA于F，连接AD，DC．

∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，

∴DF＝DE，∠DFB＝∠DEB＝90°

∵∠ABC+∠ADC＝180°

，∠ABC+∠EDF＝180°

∴∠ADC＝∠EDF，

∴∠FDA＝∠CDE，

∵∠DFA＝∠DEC＝90°

∴△DFA≌△DEC（ASA），

∴AF＝CE，

∵BD＝BD，DF＝DE，

∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），

∴BF＝BE，

∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE；

（3）如图③，连接AC，延长BC至H，使CH＝AB，

∵BD平分∠ABC，∠ABC＝90°

∴∠ABD＝∠CBD＝45°

∴AD＝CD，

∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，

∴∠DCH＝∠BAD，

又∵AD＝CD，AB＝CH，

∴△ABD≌△CHD（SAS）

∴BD＝DH＝7，∠ABD＝∠DHB＝45°

∴∠BDH＝180°

﹣∠DBH﹣∠DHB＝90°

∴BH＝＝＝14，

∵AB＝CH＝6，

∴BC＝8，

∵∠ABC＝90°

∴AC是直径，

∵AC＝＝＝10，

∴OC＝5，

∴⊙O的面积＝25π．

7、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°

，O是BC边上一点，以OB为半径的⊙O交AB于点E，交C于点D，连接CE，且CE＝CA．

CE是⊙O的切线．

（2）如图2，连接AD并延长交⊙O于点F，连接EF．

①如果∠BAC＝60°

，求证：

EF⊥BC．

②如果∠BAC≠60°

，EF⊥BC是否还成立？

如果成立，请给予证明；

如果不成立，请说明理由．

证明：

（1）如图1，连接EO，

∵∠ACB＝90°

∴∠A+∠B＝90°

∵CA＝CE，OE＝OB，

∴∠A＝∠CEA，∠B＝∠OEB，

∴∠CEA+∠OEB＝90°

∴∠CEO＝90°

∴CE⊥OE，且OE为半径，

∴CE是⊙O的切线；

（2）如图2，连接DE，

∵∠BAC＝60°

，AC＝CE，

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE＝AC，

∵∠CAB＝60°

，∠ACB＝90°

∴∠ABC＝30°

∴∠CFD＝∠ABC＝30°

∵DB是直径，

∴∠DEB＝90°

∴∠ACD＝∠AED＝90°

∵AD＝AD，AC＝AE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）

∴∠CAD＝∠EAD＝∠CAB＝30°

∵∠BEF＝∠DAE+∠DFE，

∴∠BEF＝60°

∴∠BHE＝180°

﹣∠CBE﹣∠BEF＝90°

∴EF⊥BC；

②仍然成立，

理由如下：

如图3，连接OE，DE，

∴点A，点C，点D，点E四点共圆，

∴∠CAD＝∠CED，

∵∠CEO＝90°

＝∠BED，

∴∠CED＝∠OEB，

∴∠CAD＝∠OEB，

∵∠OEB＝∠OBE＝∠DFE，

∴∠CAD＝∠DFE，

∴AC∥EF，

∴∠ACB＝∠EHB＝90°

∴EF⊥BC．

8、如图1，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在BC，BD上，且BE＝1，过三点C，E，F作⊙O交CD于点G．

（1）证明∠EFG＝90°

（2）如图2，连结AF，当点F运动至点A，F，G三点共线时，求△ADF的面积．

（3）在点F整个运动过程中，

①当EF，FG，CG中满足某两条线段相等，求所有满足条件的BF的长．

②连接EG，若＝时，求⊙O的半径（请直接写出答案）．