十年高考真题分类汇编 数学 专题09 不等式Word文件下载.docx

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∵3a=9,3b=3,∴3a>

3b,排除B;

∵y=x3是增函数,a>

b,∴a3>

b3,故C正确;

取a=1,b=-2,满足a>

b,但|a|<

|b|,排除D.故选C.

3.（2019·

天津·

理T2文T2）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为（　　）

A.2B.3C.5D.6

【解析】由得A（-1,1）.

∴zmax=-4×

（-1）+1=5.故选C.

4.（2019·

浙江·

T3）若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是（　　）

A.-1B.1C.10D.12

【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以（-1,1）,（1,-1）,（2,2）为顶点的三角形区域（包含边界）,由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点（2,2）时,z=3x+2y取得最大值zmax=3×

2+2×

2=10.

5.（2018·

理T2文T2）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为（　　）

A.6B.19C.21D.45

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

由解得点A的坐标为（2,3）.

由z=3x+5y,得y=-x+.

由图可知,当直线y=-x+过点A时,最大,即z最大.所以z的最大值zmax=3×

2+5×

3=21.

6.（2018·

北京·

理T8文T8）设集合A={（x,y）|x-y≥1,ax+y>

4,x-ay≤2},则（　　）

A.对任意实数a,（2,1）∈A

B.对任意实数a,（2,1）∉A

C.当且仅当a<

0时,（2,1）∉A

D.当且仅当a≤时,（2,1）∉A

【答案】D

【解析】若（2,1）∈A,则有化简得即a>

.

所以当且仅当a≤时,（2,1）∉A,故选D.

7.（2017·

理T5文T7）设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是（　　）

A.-15B.-9C.1D.9

【答案】A

【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B（-6,-3）处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.

8.（2017·

全国3·

文T5）设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是（　　）

A.[-3,0]B.[-3,2]

C.[0,2]D.[0,3]

【解析】画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A（0,3）处取得最小值z=0-3=-3,在点B（2,0）处取得最大值z=2-0=2.故选B.

9.（2017·

文T7）设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为（　　）

A.0B.1C.2D.3

【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A（3,0）,故zmax=3+0=3.

10.（2016·

理T2）若x,y满足则2x+y的最大值为（　　）

A.0B.3C.4D.5

【解析】由不等式组可作出如图的可行域（阴影部分）,将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.

由可得P点坐标为（1,2）,故zmax=2×

1+2=4.

11.（2016·

理T2）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　）

A.-4B.6C.10D.17

【解析】如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为（0,2）,（3,0）,（1,3）.由图可知,将z=2x+5y变形为y=-x+,可知当y=-x+经过点B时,z取最小值6.故选B.

12.（2016·

山东·

理T4文T4）若变量x,y满足则x2+y2的最大值是（　　）

A.4B.9C.10D.12

【解析】如图,不等式组表示的可行域是以A（0,-3）,B（0,2）,C（3,-1）为顶点的三角形区域,x2+y2表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.

13.（2016·

理T3）在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=（　　）

A.2B.4C.3D.6

【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为

矩形.又D（2,-2）,C（-1,1）,所以

14.（2016·

文T4）若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是（　　）

A.B.C.D.

【解析】作出可行域,如图阴影部分所示.

∵两平行直线的斜率为1,

∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直.

∴两平行线间的最短距离是AB的长度.

由得A（1,2）,

由得B（2,1）.

∴|AB|=,故选B.

15.（2015·

文T6）有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:

每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积（单位:

m2）分别为x,y,z,且x<

y<

z,三种颜色涂料的粉刷费用（单位:

元/m2）分别为a,b,c,且a<

b<

c.在不同的方案中,最低的总费用（单位:

元）是（　　）

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

【解析】不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6,

选项A,ax+by+cz=4+10+18=32;

选项B,az+by+cx=12+10+6=28;

选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29;

选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B.

16.（2015·

陕西·

理T9）设f（x）=lnx,0<

a<

b,若p=f（）,q=f,r=[f（a）+f（b）],则下列关系式中正确的是（　　）

A.q=r<

pB.p=r<

q

C.q=r>

pD.p=r>

【解析】因为0<

b,所以.

又因为f（x）=lnx在（0,+∞）上单调递增,

所以f>

f（）,即p<

q.

而r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb）

=ln（ab）=ln,

所以r=p,故p=r<

q.选B.

17.（2015·

福建·

理T5）若直线=1（a>

0,b>

0）过点（1,1）,则a+b的最小值等于（　　）

A.2B.3C.4D.5

【解析】∵直线=1过点（1,1）,∴=1.

又a,b均大于0,∴a+b=（a+b）=1+1+≥2+2=2+2=4.故选C.

18.（2015·

湖南·

文T7）若实数a,b满足,则ab的最小值为（　　）

A.B.2C.2D.4

【解析】由已知,可知a,b同号,且均大于0.

由≥2,得ab≥2.

即当且仅当,即b=2a时等号成立,故选C.

19.（2015·

重庆·

文T10）若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为（　　）

A.-3B.1C.D.3

【解析】如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<

2,即m>

-1.这时平面区域为三角形ABC.

由解得则A（2,0）.

由解得

则B（1-m,1+m）.

同理C,M（-2m,0）.

因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=·

（2+2m）·

由已知得,解得m=1（m=-3<

-1舍去）.

20.（2015·

理T6）已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=（　　）

A.3B.2C.-2D.-3

【解析】由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.

线性目标函数z=ax+y,

即y=-ax+z.

设直线l0:

ax+y=0.

当-a≥1,即a≤-1时,l0过O（0,0）时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;

当0≤-a<

1,即-1<

a≤0时,l0过B（1,1）时,z取得最大值,zmax=a+1=4,∴a=3（舍去）;

当-1<

-a<

0时,即0<

1时,l0过B（1,1）时,z取得最大值,zmax=2a+1=4,∴a=（舍去）;

当-a≤-1,即a≥1时,l0过A（2,0）时,z取得最大值,zmax=2a+0=4,∴a=2.

综上,a=2符合题意.

21.（2015·

文T10）变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于（　　）

A.-2B.-1C.1D.2

【解析】作出可行域,如图所示.

作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A（2,2）,

由题知直线mx-y=0必过点A（2,2）,即2m-2=0,得m=1.故选C.

22.（2015·

理T10文T11）某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（　　）

甲

乙

原料限额

A（吨）

3

2

12

B（吨）

1

8

A.12万元B.16万元

C.17万元D.18万元

【解析】设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知利润函数z=3x+4y.

画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B时,目标函数取得最大值.由解得得点B（2,3）.故利润函数的最大值为zmax=3×

2+4×

3=18（万元）.故选D.

23.（2014·

理T9）不等式组的解集记为D,有下面四个命题:

p1:

∀（x,y）∈D,x+2y≥-2,p2:

∃（x,y）∈D,x+2y≥2,

p3:

∀（x,y）∈D,x+2y≤3,p4:

∃（x,y）∈D,x+2y≤-1,

其中的真命题是（　　）

A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3

【解析】画出可行域如图阴影部分所示.

作直线l0:

y=-x,平移l0,当直线经过A（2,-1）时,x+2y取最小值,此时（x+2y）min=0.故p1:

∀（x,