新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习Word格式.doc

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（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

如果，那么x叫做a的立方根。

2、运算名称

（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。

平方与开平方互为逆运算。

（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

开立方和立方互为逆运算。

3、运算符号

（1）正数a的算术平方根，记作“”。

（2）a（a≥0）的平方根的符号表达为。

（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。

4、运算公式

4、开方规律小结

（1）若a≥0，则a的平方根是，a的算术平方根；

正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；

0的平方根和算术平方根都是0；

负数没有平方根。

实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

（2）若a<

0，则a没有平方根和算术平方根；

若a为任意实数，则a的立方根是。

（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。

考点三、实数的性质

有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。

1、相反数

（1）实数a的相反数是-a；

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）

（2）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

（1）要正确的理解绝对值的几何意义，它表示的是数轴上的点到数轴原点的距离，数轴分为正负两半，那么不管怎样总有两个数字相等的正负两个数到原点的距离相等。

|a|≥0。

（2）若|a|=a，则a≥0；

若|a|=-a，则a≤0，零的绝对值是它本身。

（3）

3、倒数

（1）如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

实数a的倒数是1/a（a≠0）

（2）倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点四、实数的三个非负性及性质

1、在实数范围内，正数和零统称为非负数。

2、非负数有三种形式

（1）任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；

（2）任何一个实数a的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即（）。

3、非负数具有以下性质

（1）非负数有最小值零；

（2）非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

考点五、实数大小的比较

实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：

（1）正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

（2）实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

（3）两个数比较大小常见的方法有：

求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法。

（4）对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

常用有理数来估计无理数的大致范围，要想正确估算需记熟0～20之间整数的平方和0～10之间整数的立方．

考点六、实数的运算

（1）在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算

（2）有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立

（3）实数混合运算的运算顺序与有理数的运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减。

同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里。

（4）在实数的运算中，当遇到无理数时，并且需要求结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

二、典例剖析，综合拓展

知识点1：

算术平方根

1.的算术平方根为（）（A）（B）－（C）±

（D）（）2

算术平方根的定义：

2.的算术平方根可表示为，即=

算术平方根的表示方法：

（用含a的式子表示）

3.－有算术平方根吗？

8的算术平方根是－2吗？

算术平方根具有性，即⑴被开方数a0，⑵本身0，必须同时成立

4、已知的小数部分为，的小数部分为，则

跟踪练习：

①式子有意义，x的取值范围

②已知：

y=++3,求xy的值

③，求a+b的值

知识点2：

平方根

1.49的平方根是，算术平方根是，它的平方根可表示为；

2、的平方根是

3、快速地表示并求出下列各式的平方根

⑴1⑵|－5|⑶0.81⑷（－9）2

平方根的定义：

平方根的表示方法（用含a的式子表示）

平方根的性质：

4、如果一个数的平方根是和，求这个数

5.用平方根定义解方程

⑴16（x+2）2=81⑵4x2-225=0

6、下列说法正确的是（）

A、的平方根是B、表示6的算术平方根的相反数

C、任何数都有平方根D、一定没有平方根

知识点3：

立方根

1.－8的立方根是，表示为

立方根的定义：

立方根的表示方法：

（用含a的式子表示）

2.说出下列各式表示的意义并求值：

⑴=⑵－=⑶=⑷（）3=

3.如果有意义，x的取值范围为

立方根的性质：

4.用立方根的定义解方程

⑴x3-27=0⑵2（x+3）3=512

拓展提高：

1、已知，，

（1）；

（2）；

（3）0.03的平方根约为；

（4）若，则

2、已知，，，求

（1）；

（2）3000的立方根约为；

（3），则

知识点4：

重要公式

公式一:

∵===

===

∴=

有关练习：

1.==

2.如果=a-3，则a的取值范围是；

如果=3-a,则a的取值范围是

3.数a,b在数轴上的位置如图：

化简：

+|c+a|

b

a

C

公式二：

∵（）2=（）2=（）2=

∴=（a≥0）

综合公式一和二，可知，当满足a条件时，=

公式三：

∵===

===

∴=；

随堂练习：

当1＜a＜3时，+

公式四：

∵（）3=（）3=（）3=

∴=

综合公式三和四，可知，当满足a条件时，=

公式五：

=

知识点五：

实数定义及分类

无理数的定义：

实数的定义：

实数与上的点是一一对应的

1、判断下列说法是否正确：

（1）实数不是有理数就是无理数。

（）

（2）无限小数都是无理数。

（）

（3）无理数都是无限小数。

（）（4）根号的数都是无理数。

（）

一、选择题（每题3分,共36分）

1.下列等式正确的是（　）

（A）＝－3　（B）＝±

12　（C）＝－2　（D）－＝－5

2.算术平方根等于3的是（　）

（A）　　　　　（B）3　　　　　（C）9　　　　（D）

3.下列说法：

（1）任何数都有算术平方根；

（2）一个数的算术平方根一定是正数；

（3）a2的算术平方根是a；

（4）（－4）2的算术平方根是－4；

（5）算术平方根不可能是负数。

其中不正确的有（　　　）

（A）5个　　（B）4个　　（C）3个　　（D）2个

4.若一个数的平方根与它的立方根完全相同，则这个数是（　）

（A）0　　　　　（B）1　　　　　（C）－1　　　（D）±

1,　0

5.若=x，则实数x是（）

（A）负实数（B）所有正实数（C）0或1（D）不存在

6.若=-a，则实数a在数轴上的对应点，一定在（）

（A）原点左侧（B）原点右侧（C）原点或原点左侧（D）原点或原点右侧

6.在实数0．3，0，，，0．123456…中，无理数的个数是（）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

7.下列各式中，无意义的是（）

（A）. （B）.