平面向量的基本定理及坐标运算基础知识点+典型例题.docx

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平面向量的基本定理及坐标运算基础知识点+典型例题

平面向量的基本定理及坐标运算

知识讲解

一、平面向量的基本定理

1.平面向量基本定理:

如果和是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量,存在唯一的一对实数,,使.

2.基底:

我们把不共线向量,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记作.叫做向量关于基底的分解式.

注:

①定理中,是两个不共线向量;

②是平面内的任一向量,且实数对,是惟一的;

③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.

3.平面向量基本定理的证明:

在平面内任取一点,作,,.

由于与不平行,可以进行如下作图:

过点作的平行(或重合)直线,交直线于点,

过点作的平行(或重合)直线,交直线于点,

于是依据平行向量基本定理,存在两个唯一的实数和

分别有,,

所以

证明表示的唯一性:

如果存在另对实数,使,则,

即,由于与不平行,如果与中有一个不等于,

不妨设,则,

由平行向量基本定理,得与平行,这与假设矛盾,因此,,即,.

4‘证明,,三点共线或点在线上的方法:

已知、是直线上的任意两点,是外一点,则对直线上任意一点,存在实数,使关于基底的分解式为……①,并且满足①式的点一定在上.

证明:

设点在直线上,则由平行向量定理知,存在实数,使,

设点满足等式,则,即在上.

其中①式可称为直线的向量参数方程式

5.向量的中点的向量表达式:

点是的中点,则.可推广到中,若为边中点,则有存在.

二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算:

1.向量的直角坐标:

如果基底的两个基向量,互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解.

向量的坐标表示:

在直角坐标系中,一点的位置被点的位置向量所唯一确定.设点的坐标为,由平面向量基本定理,有,即点的位置向量的坐标,也就是点的坐标;反之,点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标.

3.向量的直角坐标运算:

设,,则

①;②;③

注:

①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差;

②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.

4.坐标含义:

若,,则向量;即:

一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标.

5.用平面向量坐标表示向量共线条件:

设,,则就是两个向量平行的条件.

若向量不平行于坐标轴,即,,则两个向量平行的条件是,相应坐标成比例.

典型例题

一.选择题(共11小题)

1.(2018•新课标Ⅰ)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  )

A.﹣B.﹣C.+D.+

【解答】解:

在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,

=﹣=﹣

=﹣×(+)

=﹣,

故选:

A.

 

2.(2018•城关区校级模拟)在△ABC中,点D在BC边上,且,则(  )

A.B.C.D.

【解答】解:

在△ABC中,点D在BC边上,且,

=+==+=,

所以x=,y=.

故选:

B.

 

3.(2018•资阳模拟)平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若,则λ+μ=(  )

A.B.2C.D.

【解答】解:

∵,.

∴=,∴⇒

则λ+μ=.

故选:

D.

 

4.(2018•黄浦区一模)已知向量,则下列能使成立的一组向量是(  )

A.B.

C.D.

【解答】解:

作为基底不共线即可,

共线,

共线,

不共线,

共线,

故选:

C.

 

5.(2018•吉林三模)下列各组向量中,可以作为基底的是(  )

A.,B.,

C.,D.,

【解答】解:

选项A,可得0×(﹣2)﹣0×1=0,故,不可作基底,故错误;

选项B,可得2×(﹣)﹣(﹣3)×=0,故,不可作基底,故错误;

选项C,可得3×10﹣5×6=0,故,不可作基底,故错误;

选项D,可得﹣1×7﹣2×5≠0,故不平行,故可作基底,故正确.

故选:

D.

 

6.(2018春•薛城区校级期末)如图,已知=,=,=3,用、表示,则等于(  )

A.+B.+C.+D.+

【解答】解:

==;

故选:

D.

 

7.(2018春•尧都区校级期末)如图所示,在△ABC中,BD=2CD,若,,则=(  )

A.B.C.D.

【解答】解:

=+=+=+(﹣)=+=,

故选:

C.

 

8.(2018•三明二模)已知平面向量=(1,2),=(﹣2,m),且∥,则|+|=(  )

A.B.2C.3D.4

【解答】解:

平面向量=(1,2),=(﹣2,m),且∥,

可得m=﹣4,

|+|=|(﹣1,﹣2)|=.

故选:

A.

 

9.(2018•梅河口市校级二模)若向量,,则=(  )

A.B.5C.20D.25

【解答】解:

向量,,=(﹣3,4)

则==5.

故选:

B.

 

10.(2018•咸阳二模)设向量和满足:

,,则=(  )

A.B.C.2D.3

【解答】解:

∵,;

∴,,两式相减得:

∴.

故选:

C.

 

11.(2018•东莞市模拟)已知,点B的坐标为(2,3),则点A的坐标为(  )

A.(﹣1,﹣3)B.(﹣3,﹣1)C.(1,3)D.(5,9)

【解答】解:

,点B的坐标为(2,3),

设A(x,y),

∴(2﹣x,3﹣y)=(3,6),

即2﹣x=3,3﹣y=6,

解得x=﹣1,y=﹣3,

∴A(﹣1,﹣3),

故选:

A.

 

二.解答题(共9小题)

12.在△ABC中,E为线段AC的中点,试问在线段AC上是否存在一点D.使得=+,若存在,说明D点位置:

若不存在,说明理由.

【解答】解:

∵E是AC的中点,

∴=(+),

则=+

=+•(+)

=+;

又∵=﹣=+﹣

=﹣

=(﹣)

=,

∴A,C,D三点共线,且D是线段AC的三等分点(靠近C的那个).

 

13.已知△ABC中,对于任意实数t,=t(+),证明:

点P始终在∠ACB的平分线上.

【解答】证明:

都是单位向量,即长度为1,并且与同向,与同向,

如图,在AC上取|CD|=1,CB上取|CE|=1,作平行四边形CDFE;

则该平行四边形为菱形,

∴对角线CF为∠ACB的平分线,且,与共线;

∴点P始终在∠ACB的平分线上.

 

14.已知:

平行四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,点E为线段OB中点,完成下列各题(用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量).

(1)当以{,}为基底时,设=,=,

用,表示=  ;

用,表示=  ;

(2)设点MN分别为边DC,BC中点.

①当以{,}为基底时,设=,=,

用,表示,则= + .

②当以{,}为基底时,设=,=,用,表示:

=  ,=  ,=  .

【解答】解:

(1)=;,,∴;

(2)①依题意;

②,;

⇒,,;

 

15.过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB,AC于点D、E,设=,=.

(1)用,表示向量;

(2)若=x,=y,且xy≠0,求+的值.

【解答】解:

(1)G为△ABC的重心;

∴;

(2)根据条件,;

=

=;

又D,G,E三点共线;

∴;

∴.

 

16.如图,△ABC中,点E、F、G分别在边BC、AC、AB上,且===,设=,=.

(1)用、表示向量;

(2)证明:

++=0.

【解答】解:

(1)∵===,∴==()=+.

(2)===,

==+=﹣()=﹣+=﹣+,

==﹣﹣=﹣﹣.

∴++=﹣+﹣﹣=.

 

17.若AD与BE分别为△ABC的边,BC与AC上的中线AD交BE于点O,=,=,试用,表示.

【解答】解:

如图,B,D,C三点共线,所以向量∥,∴存在实数λ,使;

∴;

∴=;

同理,A,E,C三点共线,所以存在实数μ,使;

∴,解得λ=μ=2;

∴.

 

18.已知A(1,﹣2),B(2,1),C(3,2),D(﹣2,3).

(1)求+2﹣3;

(2)设=3,=﹣2,求及M、N点的坐标.

【解答】解:

(1)∵A(1,﹣2),B(2,1),C(3,2),D(﹣2,3),

∴=(﹣3,5),=(﹣4,2),=(1,1),

∴+2﹣3=(﹣3,5)+2(﹣4,2)﹣3(1,1)=(﹣10,6),

(2)设M、N点的坐标为(x,y),(m,n),

∴=(x﹣3,y﹣2),=(m﹣3,n﹣2),=(﹣2,﹣4),

∵=3,=﹣2,

∴,或,

解得,或,

∴M、N点的坐标为(﹣3,﹣10),(2,1),

∴=(5,11).

 

19.已知向量=(1,﹣3),=(3,0),求下列向量的坐标:

(1)+;

(2)﹣3.

【解答】解:

(1)∵向量=(1,﹣3),=(3,0),

∴+=(4,﹣3).

(2)﹣3=(,﹣)﹣(9,0)=(﹣,﹣).

 

20.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5),=t1+t2.

(1)证明:

当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、P三点共线;

(2)试求当t1、t2满足什么条件时,O、A、B、P能组成一个平行四边形.

【解答】证明:

(1)由题意知,t1=1,代入=t1+t2得,

=+t2,则﹣=t2,即=t2,

所以当t1=1时,不论t2为何实数,A、B、P三点共线;

(2)设P的坐标是(x,y),

由O(0,0),A(1,2),B(4,5)得,=(1,2),=(3,3),

因为=t1+t2,所以(x,y)=t1(1,2)+t2(3,3),

解得x=t1+3t2,y=2t1+3t2,

若四边形OABP能成为平行四边形,

如图所得,,

即(1,2)=(4﹣t1﹣3t2,5﹣2t1﹣3t2),

所以,得,解得,

所以当t1=0、t2=1时,O、A、B、P能组成一个平行四边形.

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