平面向量的基本定理及坐标运算基础知识点+典型例题.docx
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平面向量的基本定理及坐标运算基础知识点+典型例题
平面向量的基本定理及坐标运算
知识讲解
一、平面向量的基本定理
1.平面向量基本定理：
如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使．
2.基底：
我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作．叫做向量关于基底的分解式．
注：
①定理中，是两个不共线向量；
②是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的；
③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．
3.平面向量基本定理的证明：
在平面内任取一点，作，，．
由于与不平行，可以进行如下作图：
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，
过点作的平行（或重合）直线，交直线于点，
于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数和
分别有，，
所以
证明表示的唯一性：
如果存在另对实数，使，则，
即，由于与不平行，如果与中有一个不等于，
不妨设，则，
由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，，即，．
4‘证明，，三点共线或点在线上的方法：
已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为……①，并且满足①式的点一定在上．
证明：
设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使，
∴
设点满足等式，则，即在上．
其中①式可称为直线的向量参数方程式
5.向量的中点的向量表达式：
点是的中点，则．可推广到中，若为边中点，则有存在．
二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：
1.向量的直角坐标：
如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
向量的坐标表示：
在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标．
3.向量的直角坐标运算：
设，，则
①；②；③
注：
①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；
②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
4.坐标含义：
若，，则向量；即：
一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．
5.用平面向量坐标表示向量共线条件：
设，，则就是两个向量平行的条件．
若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．
典型例题
一．选择题（共11小题）
1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（ ）
A．﹣B．﹣C．+D．+
【解答】解：
在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
=﹣=﹣
=﹣×（+）
=﹣，
故选：
A．
2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC中，点D在BC边上，且，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：
在△ABC中，点D在BC边上，且，
=+==+=，
所以x=，y=．
故选：
B．
3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：
∵，．
∴=，∴⇒
则λ+μ=．
故选：
D．
4．（2018•黄浦区一模）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：
作为基底不共线即可，
共线，
共线，
不共线，
共线，
故选：
C．
5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：
选项A，可得0×（﹣2）﹣0×1=0，故，不可作基底，故错误；
选项B，可得2×（﹣）﹣（﹣3）×=0，故，不可作基底，故错误；
选项C，可得3×10﹣5×6=0，故，不可作基底，故错误；
选项D，可得﹣1×7﹣2×5≠0，故不平行，故可作基底，故正确．
故选：
D．
6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知=，=，=3，用、表示，则等于（ ）
A．+B．+C．+D．+
【解答】解：
==；
故选：
D．
7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC中，BD=2CD，若，，则=（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：
=+=+=+（﹣）=+=，
故选：
C．
8．（2018•三明二模）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（ ）
A．B．2C．3D．4
【解答】解：
平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，
可得m=﹣4，
|+|=|（﹣1，﹣2）|=．
故选：
A．
9．（2018•梅河口市校级二模）若向量，，则=（ ）
A．B．5C．20D．25
【解答】解：
向量，，=（﹣3，4）
则==5．
故选：
B．
10．（2018•咸阳二模）设向量和满足：
，，则=（ ）
A．B．C．2D．3
【解答】解：
∵，；
∴，，两式相减得：
；
∴．
故选：
C．
11．（2018•东莞市模拟）已知，点B的坐标为（2，3），则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（5，9）
【解答】解：
，点B的坐标为（2，3），
设A（x，y），
∴（2﹣x，3﹣y）=（3，6），
即2﹣x=3，3﹣y=6，
解得x=﹣1，y=﹣3，
∴A（﹣1，﹣3），
故选：
A．
二．解答题（共9小题）
12．在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D．使得=+，若存在，说明D点位置：
若不存在，说明理由．
【解答】解：
∵E是AC的中点，
∴=（+），
则=+
=+•（+）
=+；
又∵=﹣=+﹣
=﹣
=（﹣）
=，
∴A，C，D三点共线，且D是线段AC的三等分点（靠近C的那个）．
13．已知△ABC中，对于任意实数t，=t（+），证明：
点P始终在∠ACB的平分线上．
【解答】证明：
都是单位向量，即长度为1，并且与同向，与同向，
如图，在AC上取|CD|=1，CB上取|CE|=1，作平行四边形CDFE；
则该平行四边形为菱形，
∴对角线CF为∠ACB的平分线，且，与共线；
∴点P始终在∠ACB的平分线上．
14．已知：
平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E为线段OB中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）．
（1）当以{，}为基底时，设=，=，
用，表示= ；
用，表示= ；
（2）设点MN分别为边DC，BC中点．
①当以{，}为基底时，设=，=，
用，表示，则= + ．
②当以{，}为基底时，设=，=，用，表示：
= ，= ，= ．
【解答】解：
（1）=；，，∴；
（2）①依题意；
②，；
⇒，，；
．
15．过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D、E，设=，=．
（1）用，表示向量；
（2）若=x，=y，且xy≠0，求+的值．
【解答】解：
（1）G为△ABC的重心；
∴；
（2）根据条件，；
∴
=
=；
又D，G，E三点共线；
∴；
∴．
16．如图，△ABC中，点E、F、G分别在边BC、AC、AB上，且===，设=，=．
（1）用、表示向量；
（2）证明：
++=0．
【解答】解：
（1）∵===，∴==（）=+．
（2）===，
==+=﹣（）=﹣+=﹣+，
==﹣﹣=﹣﹣．
∴++=﹣+﹣﹣=．
17．若AD与BE分别为△ABC的边，BC与AC上的中线AD交BE于点O，=，=，试用，表示．
【解答】解：
如图，B，D，C三点共线，所以向量∥，∴存在实数λ，使；
∴；
∴=；
同理，A，E，C三点共线，所以存在实数μ，使；
∴，解得λ=μ=2；
∴．
18．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（﹣2，3）．
（1）求+2﹣3；
（2）设=3，=﹣2，求及M、N点的坐标．
【解答】解：
（1）∵A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（﹣2，3），
∴=（﹣3，5），=（﹣4，2），=（1，1），
∴+2﹣3=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6），
（2）设M、N点的坐标为（x，y），（m，n），
∴=（x﹣3，y﹣2），=（m﹣3，n﹣2），=（﹣2，﹣4），
∵=3，=﹣2，
∴，或，
解得，或，
∴M、N点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1），
∴=（5，11）．
19．已知向量=（1，﹣3），=（3，0），求下列向量的坐标：
（1）+；
（2）﹣3．
【解答】解：
（1）∵向量=（1，﹣3），=（3，0），
∴+=（4，﹣3）．
（2）﹣3=（，﹣）﹣（9，0）=（﹣，﹣）．
20．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），=t1+t2．
（1）证明：
当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、P三点共线；
（2）试求当t1、t2满足什么条件时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．
【解答】证明：
（1）由题意知，t1=1，代入=t1+t2得，
=+t2，则﹣=t2，即=t2，
所以当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、P三点共线；
（2）设P的坐标是（x，y），
由O（0，0），A（1，2），B（4，5）得，=（1，2），=（3，3），
因为=t1+t2，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），
解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，
若四边形OABP能成为平行四边形，
如图所得，，
即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），
所以，得，解得，
所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．
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