初中数学竞赛几何讲座共5讲Word格式文档下载.docx
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由BP＝CQ,可知
△DBP≌△AQC.
有DP＝AC,∠BDP＝∠QAC.
于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.
则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB＝DP.
所以AB＝AC.
这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆,使证明很顺畅.
例2如图2,四边形ABCD为平行四边形,
∠BAF＝∠BCE.求证：
∠EBA＝∠ADE.
如图2,分别过点A、B作ED、EC
的平行线,得交点P,连PE.
由ABCD,易知△PBA≌△ECD.有
PA＝ED,PB＝EC.
显然,四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有
∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.
由∠BAF＝∠BCE,可知
∠BAF＝∠BPE.
有P、B、A、E四点共圆.
于是,∠EBA＝∠APE.
所以,∠EBA＝∠ADE.
这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来.∠APE成为∠EBA与∠ADE相等的媒介,证法很巧妙.
2欲“送”线段到当处
利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.
例3在△ABC中,BD、CE为角平分线,P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：
PM＋PN＝PQ.
如图3,过点P作AB的平行线交BD
于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC
于K、G,连PG.
由BD平行∠ABC,可知点F到AB、BC
两边距离相等.有KQ＝PN.
显然,＝＝,可知PG∥EC.
由CE平分∠BCA,知GP平分∠FGA.有PK＝PM.于是,
PM＋PN＝PK＋KQ＝PQ.
这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM＝PK,就有PM＋PN＝PQ.证法非常简捷.
3为了线段比的转化
由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.
例4设M1、M2是△ABC的BC边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB、AC、AM1、AM2于P、Q、N1、N2.试证：
＋＝＋.
如图4,若PQ∥BC,易证结论成立.
若PQ与BC不平行,设PQ交直线BC
于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于
E.
由BM1＝CM2,可知BE＋CE＝M1E＋
M2E,易知
＝,＝,
＝,＝.
则＋＝＝＝＋.
所以,＋＝＋.
这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.
例5AD是△ABC的高线,K为AD上一点,BK交AC于E,CK交AB于F.求证：
∠FDA＝∠EDA.
如图5,过点A作BC的平行线,分
别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、
N、M.
显然,＝＝.
有BD·
AM＝DC·
AN.
（1）
由＝＝,有
AP＝.
（2）
AQ＝.（3）
对比
（1）、
（2）、（3）有
AP＝AQ.
显然AD为PQ的中垂线,故AD平分∠PDQ.
所以,∠FDA＝∠EDA.
这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.
4为了线段相等的传递
当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.
例6在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,并且∠MDN＝90°
.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求证：
AD2＝（AB2＋AC2）.
如图6,过点B作AC的平行线交ND
延长线于E.连ME.
由BD＝DC,可知ED＝DN.有
△BED≌△CND.
于是,BE＝NC.
显然,MD为EN的中垂线.有
EM＝MN.
由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM为直角三角形,∠MBE＝90°
.有
∠ABC＋∠ACB
＝∠ABC＋∠EBC＝90°
.
于是,∠BAC＝90°
所以,AD2＝＝（AB2＋AC2）.
这里,添加AC的平行线,将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.
例7如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,
分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB.
过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：
CD平
分EF.
如图7,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知
DB2＝FB2＝AB·
HB,
AD2＝AE2＝AG·
AB.
二式相减,得
DB2－AD2＝AB·
（HB－AG）,
或（DB－AD）·
AB＝AB·
（HB－AG）.
于是,DB－AD＝HB－AG,
或DB－HB＝AD－AG.
就是DH＝GD.
显然,EG∥CD∥FH.
故CD平分EF.
这里,为证明CD平分EF,想到可先证CD平分GH.为此添加CD的两条平行线EG、FH,从而得到G、H两点.证明很精彩.
经过一点的若干直线称为一组直线束.
一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.
如图8,三直线AB、AN、AC构成一组直线束,DE是与BC平行的直线.于是,有
＝
＝,
即＝或＝.
此式表明,DM＝ME的充要条件是
BN＝NC.
利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.
例8如图9,ABCD为四边形,两组对边延长
后得交点E、F,对角线BD∥EF,AC的延长
线交EF于G.求证：
EG＝GF.
如图9,过C作EF的平行线分别交AE、
AF于M、N.由BD∥EF,可知MN∥BD.易知
S△BEF＝S△DEF.
有S△BEC＝S△ⅡKG－*5ⅡDFC.
可得MC＝CN.
所以,EG＝GF.
例9如图10,⊙O是△ABC的边BC外的旁
切圆,D、E、F分别为⊙O与BC、CA、AB
的切点.若OD与EF相交于K,求证：
AK平
分BC.
如图10,过点K作BC的行平线分别
交直线AB、AC于Q、P两点,连OP、OQ、
OE、OF.
由OD⊥BC,可知OK⊥PQ.
由OF⊥AB,可知O、K、F、Q四点共圆,有
∠FOQ＝∠FKQ.
由OE⊥AC,可知O、K、P、E四点共圆.有
∠EOP＝∠EKP.
显然,∠FKQ＝∠EKP,可知
∠FOQ＝∠EOP.
由OF＝OE,可知
Rt△OFQ≌Rt△OEP.
则OQ＝OP.
于是,OK为PQ的中垂线,故
QK＝KP.
所以,AK平分BC.
综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.
练习题
1.四边形ABCD中,AB＝CD,M、N分别为AD、BC的中点,延长BA交直线NM于E,延长CD交直线NM于F.求证：
∠BEN＝∠CFN.
（提示：
设P为AC的中点,易证PM＝PN.）
2.设P为△ABC边BC上一点,且PC＝2PB.已知∠ABC＝45°
∠APC＝60°
.求∠ACB.
过点C作PA的平行线交BA延长线于点D.易证△ACD∽△PBA.答：
75°
）
3.六边开ABCDEF的各角相等,FA＝AB＝BC,∠EBD＝60°
S△EBD＝60cm2.求六边形ABCDEF的面积.
设EF、DC分别交直线AB于P、Q,过点E作DC的平行线交AB于点M.所求面积与EMQD面积相等.答：
120cm2）
4.AD为Rt△ABC的斜边BC上的高,P是AD的中点,连BP并延长交AC于E.已知AC:
AB＝k.求AE:
EC.
过点A作BC的平行线交BE延长线于点F.设BC＝1,有AD＝k,DC＝k2.答：
5.AB为半圆直径,C为半圆上一点,CD⊥AB于D,E为DB上一点,过D作CE的垂线交CB于F.求证：
＝.
过点F作AB的平行线交CE于点H.H为△CDF的垂心.）
6.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C＝4:
2:
1,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.求证：
＋＝.
在BC上取一点D,使AD＝AB.分别过点B、C作AD的平行线交直线CA、BA于点E、F.）
7.分别以△ABC的边AC和BC为一边在△ABC外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点.求证：
P点到边AB的距离是AB的一半.
8.△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G.求证：
FH＝HG.
过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点M、N.）
9.AD为⊙O的直径,PD为⊙O的切线,PCB为⊙O的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求证：
OM＝ON.
过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、F.过O作BP的垂线,G为垂足.AB∥GF.）
第二讲巧添辅助妙解竞赛题
在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.
1挖掘隐含的辅助圆解题
有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.
1.1 作出三角形的外接圆
例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC
上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝
∠A.求证：
BD＝2CD.
分析：
关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.
容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能
直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆
于F,则可得EB＝EF,从而获取.
如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F,连结CF与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:
CF＝BD:
DC.
又∠BEF＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.
故EB＝EF.
作∠BEF的平分线交BF于G,则BG＝GF.
因∠GEF＝∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF＝F
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