高考理科数学考前集训平面向量解析版Word格式.docx

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数量积求夹角·

2015

平面向量的线性运算·

T7

平面向量共线定理的应用·

[真题自检]

1．（2016·

高考全国卷Ⅱ）已知向量a＝（1，m），b＝（3，－2），且（a＋b）⊥b，则m＝（　　）

A．－8　　　　　　　　B．－6

C．6D．8

解析：

法一：

因为a＝（1，m），b＝（3，－2），所以a＋b＝（4，m－2）．因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·

b＝0，所以12－2（m－2）＝0，解得m＝8.

法二：

因为（a＋b）⊥b，所以（a＋b）·

b＝0，即a·

b＋b2＝3－2m＋32＋（－2）2＝16－2m＝0，解得m＝8.

答案：

D

2．（2016·

高考全国卷Ⅲ）已知向量＝，＝，则∠ABC＝（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．120°

因为＝，＝，

所以·

＝＋＝.

又因为·

＝||||cos∠ABC＝1×

1×

cos∠ABC＝，

所以cos∠ABC＝.

又0°

≤∠ABC≤180°

，

所以∠ABC＝30°

.

A

3．（2015·

高考全国卷Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A.＝－＋

B.＝－

C.＝＋

D.＝－

＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝－＋AC.

4．（2017·

高考全国卷Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·

（＋）的最小值是（　　）

A．－2B．－

C．－D．－1

如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1，0），C（1,0），设P（x，y），则＝（－x，－y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），所以·

（＋）＝（－x，－y）·

（－2x，－2y）＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·

（＋）取得最小值，为－，选择B.

B

5．（2017·

高考全国卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为（　　）

A．3B．2

C.D．2

以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（0,0），B（1,0），C（1，2），D（0,2），可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝，因为P在圆C上，所以P，＝（1,0），＝（0,2），＝λ＋μ＝（λ，2μ），所以

λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3，tanφ＝2，选A.

6．（2017·

高考全国卷Ⅰ）已知向量a，b的夹角为60°

，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝__________.

易知|a＋2b|

＝

＝＝2.

2

　　平面向量的概念及线性运算

[方法结论]

1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；

在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2，常用方法有两种：

一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来破解；

二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．

[题组突破]

1．如图，在△OAB中，点B关于点A的对称点为C，D在线段OB上，且OD＝2DB，DC和OA相交于点E.若＝λ，则λ＝（　　）

A.　　　　　　　　　B.

C.D.

通解：

设＝a，＝b，由题意得＝－＝＋－＝＋－＝2a－b.因为＝λ＝λa，设＝μ＝2μa－μb，又＝＋，所以λa＝b＋2μa－μb＝2μa＋b，所以

，所以λ＝.

优解：

由题意知，AB＝AC，OD＝2DB，过点A作AF∥OB交CD于点F，则＝＝，即AF＝BD＝OD，故AE＝OE，则OE＝OA，又＝λ，故λ＝.

C

2．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）

A．2B.

以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则＝（1，），＝（－，1），＝（1,1），∵＝λ＋μ＝（λ－μ，＋μ），

∴，解得，∴λ＋μ＝，故选D.

由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝（λ－）＋（＋μ），又＝＋，

3．已知平面向量a＝（2,1），c＝（1，－1）．若向量b满足（a－b）∥c，（a＋c）⊥b，则b＝（　　）

A．（2,1）B．（1,2）

C．（3,0）D．（0,3）

设b＝（x，y），则a－b＝（2－x，1－y），a＋c＝（3,0），由（a－b）∥c可得，－（2－x）－（1－y）＝0，即x＋y－3＝0.由（a＋c）⊥b可得，3x＝0，则x＝0，y＝3，选D.

因为a＋c＝（3,0），且（a＋c）⊥b，逐个验证选项可知，选D.

[误区警示]

在运用向量共线定理时，向量a与b共线存在实数λ保持a＝λb成立的前提条件是b≠0.

　　平面向量的数量积

1．平面向量的数量积的运算的两种形式

（1）依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；

（2）利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．

2．夹角公式

cosθ＝＝.

3．模

|a|＝＝.

4．向量a与b垂直⇔a·

b＝0.

1．（2017·

洛阳模拟）已知向量a＝（1,0），|b|＝，a与b的夹角为45°

.若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为（　　）

A.　　　　　　　　B．－

C．1D．－1

依题意得|a|＝1，a·

b＝1×

×

cos45°

＝1，|d|＝＝＝1，c·

d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1，选D.

2．如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则·

＝（　　）

A．1B.

C.D．－

因为△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，所以＝＋，所以＝＝（＋），则＝－＝－，所以·

＝（－3）·

（＋）＝（2－32）＝.

以O为原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（图略），则A（0,1），B（2,0），C，所以＝＝，

＝，

故·

＝×

＝.

3．（2016·

珠海摸底）已知|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|，则向量a与b的夹角为（　　）

设a与b的夹角为θ，由已知可得a2＋2a·

b＋b2＝3（a2－2a·

b＋b2），即4a·

b＝a2＋b2，因为|a|＝|b|，所以a·

b＝a2，所以cosθ＝＝，θ＝60°

，选C.

由|a|＝|b|，且|a＋b|＝|a－b|可构造边长为|a|＝|b|＝1的菱形，如图，则|a＋b|与|a－b|分别表示两条对角线的长，且|a＋b|＝，|a－b|＝1，故a与b的夹角为60°

4．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1,0），B（0，－），C（－3,0），动点P满足||＝1，则|＋＋|的最小值是________．

由||＝1得点P（x，y）的轨迹方程为（x＋3）2＋y2＝1，又＝（1,0），＝（0，－），＝（x，y），故＋＋＝（1＋x，y－），|＋＋|的几何意义是点M（－1，）与圆（x＋3）2＋y2＝1上的点之间的距离．||＝＝，由数形结合可知|＋＋|的最小值即为点M（－1，）到圆（x＋3）2＋y2＝1上的点的最短距离，故|＋＋|的最小值为－1.

动点P的轨迹为以C为圆心的单位圆，设P（cosθ－3，sinθ）（θ∈[0,2π）），

则|＋＋|＝

，其中tanφ＝，所以|＋＋|的最小值为＝－1.

－1

1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点

（1）两个向量的夹角的定义；

（2）两个向量的夹角的范围；

（3）平面向量的数量积的几何意义；

（4）向量的数量积的运算及其性质等．

2．向量的数量积运算需要注意的问题

a·

b＝0时得不到a＝0或b＝0，根据平面向量数量积的性质有|a|2＝a2，但|a·

b|≤|a|·

|b|.

　　平面向量与其他知识的交汇问题

平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”：

一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．

交汇点一　平面向量与三角、解三角形的交汇

[典例1]　（2016·

青岛二中模拟）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，向量m＝（sinA，sinB），n＝（sinC，sinA），且m∥n.

（1）若cosA＝，b＋c＝6，求△ABC的面积；

（2）求sinB的取值范围．

因为m∥n，所以sin2A＝sinBsinC，结合正弦定理可得a2＝bc.

（1）因为cosA＝，所以＝，即＝，解得bc＝9.

从而△ABC的面积S△ABC＝bcsinA＝×

9×

＝，故△ABC的面积为.

（2）因为a2＝bc，所以cosA＝＝≥＝（当且仅当b＝c时，取等号）．

因为0<

A<

π，所以角A的取值范围是.

由正弦定理，知0<

sinB＝sinA≤，所以sinB的取值范围是.

[类题通法]

破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；

然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；

再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化，即可破解平面向量与“三角”相交汇题．

[演练冲关]

开封模拟）设a＝与b＝（－1,2cosθ）垂直，则cos2θ的值等于（　　）

A．－　　　　　　B．0

∵a＝与b＝（－1,2cosθ）垂直，∴a·

b＝0，即－＋2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ－1＝2cos2θ－－＝－.故选C.

2．已知向量a＝（1，sinωx），b＝（cos2ωx－1，cosωx）（ω>

0），设函数f（x）＝a·

b的最小正周期为π.

（1）求ω的值；

（2）求函数f（x）在上的单调区间．

（1）由题意知，f（x）＝a·

b＝cos2ωx－1＋sinωx·

cosωx＝cos2ωx＋sin2ωx－＝sin－，

因为函数f（x）的最小正周期为π，所以＝π，解得ω＝1.