线性代数期末复习提纲Word格式.docx

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3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算行列式的值。

4、知道并会用克莱姆法则。

第二部分矩阵

1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。

2、方阵的行列式。

3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。

4、阶矩阵可逆为非奇异（非退化）的矩阵。

为满秩矩阵。

只有零解

有唯一解

的行（列）向量组线性无关

的特征值全不为零。

可以经过初等变换化为单位矩阵。

可以表示成一系列初等矩阵的乘积。

5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。

6、矩阵秩的概念及其求法

（1）定义法；

（2）初等变换法；

（3）向量组法。

7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：

加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。

1、掌握矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵，正交矩阵）的特殊性质。

2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。

3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。

4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。

5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。

6、掌握分块矩阵的概念，运算以及分块矩阵求逆矩阵。

第三部分向量组的线性相关性

1、向量、向量组的线性表示：

设有单个向量，向量组：

，向量组：

，则

（1）向量可被向量组线性表示

（2）向量组可被向量组线性表示

（3）向量组与向量组等价的充分必要条件是：

（4）基本题型：

判断向量或向量组是否可由向量组线性表示？

如果能，写出表达式。

解法：

以向量组：

以及向量或向量组:

为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵，最终断定。

2、向量组的线性相关性

判别向量组的线性相关、线性无关的常用方法：

方法一：

（1）向量方程只有零解向量组线性无关；

（2）向量方程有非零解向量组线性相关。

方法二：

求向量组的秩

（1）秩小于个数s向量组线性相关

（2）秩等于个数s向量组线性无关。

（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，

则向量组线性无关以向量组为列向量的矩阵的行列式非零；

向量组线性相关以向量组为列向量的矩阵的行列式为零。

3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。

基本题型：

判断向量组的相关性以及求出向量组的极大无关组。

4、等价向量组的定义、性质、判定。

5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。

1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。

2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。

3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。

4、掌握向量空间及其基和维数的概念。

第四部分线性方程组

1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵的秩未知量个数n；

2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩未知量个数n.

3、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵的秩；

4、非齐次线性方程组有解增广矩阵秩系数矩阵的秩

特别地，1）增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n

非齐次线性方程组有唯一解；

2）增广矩阵的秩系数矩阵的秩未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。

1、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，

2、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。

3、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。

4、会求解非齐次线性方程组。

第五部分相似矩阵及二次型

1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。

2、向量的正交关系及正交向量组的含义。

3、施密特正交化方法。

4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。

（1）特征值求法：

解特征方程；

（2）特征向量的求法：

求方程组的基础解系。

5、相似矩阵的定义（）、性质（相似、、有相同的特征值）。

6、判断矩阵是否可以对角化以及对角化的步骤，找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。

7、用正交变换法化二次型为标准形的步骤:

（将实对称矩阵对角化）

（1）写出二次型的矩阵.

（2）求出的所有特征值

（3）解方程组（）求对应于特征值的特征向量

（4）若特征向量组不正交，则先将其正交化，再单位化，得标准正交的向量组，记，对二次型做正交变换,即得二次型的标准形

8、正定二次型的定义及其判定方法

常用判定二次型正定的方法：

（1）定义法

（2）特征值全大于零

（3）顺序主子式全大于零

1、掌握向量的内积、长度、夹角，正交向量组的性质，会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。

2、掌握方阵特征值、特征向量的概念、求法，

3、了解相似矩阵的概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵的方法。

4、掌握二次型的概念、会用正交变换化二次型为标准形。

5、了解二次型的分类，知道正定二次型等概念及其判定方法。

★★线性代数练习题

一、单项选择题

1、行列式中，元素的代数余子式是

（A）（B）（C）（D）

2、二阶行列式的值为

（A）（B）（C）（D）

3、设行列式，则k的取值为（）

（A）2（B）-2或3（C）0（D）-3或2

4、若行列式=1，则=

（A）1（B）2（C）0（D）

5、设a，b，c，d为常数，则下列等式成立的是

（A）（B）

（C）（D）

6、设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中

正确的是

（A）（B）

7、设均为阶可逆矩阵，则下列各式成立的是

（A）（B）

（C）（D）

8、设为3阶方阵，且行列式，则

（A）-8（B）-2（C）2（D）8

9、设为阶方阵且满足，则

（A）或（B）

（C）或（D）

10、设为阶可逆方阵，则下列各式必成立的是

（A）（B）

（C）（D）

11、设矩阵，，则

（A）（B）（C）（1,0,6）（D）7

12、设行矩阵,，且

则

（A）1（B）-1（C）2（D）-2

13、下列命题正确的是B.

（A）若矩阵满足，则有或

（B）若矩阵满足，则矩阵都可逆。

（C）若是阶矩阵的伴随矩阵，则

（D）若，则

14、设为三阶矩阵,,,则=

（A）4（B）1（C）16（D）

15、下列说法不正确的是

（A）相似矩阵有相同的特征值。

（B）阶矩阵可对角化的充要条件是它有个不同的特征值。

（C）元齐次线性方程组有非零解的充要条件是。

（D）正交的向量组一定是线性无关的。

16、维向量组线性无关的充要条件是

（A）存在一组不全为零的数使

（B）中任意两个向量线性无关

（C）中存在一个向量可由其它向量线性表出

（D）中任何一个都不能由其它向量线性表出

17、向量组，，，的秩为.

（A）（B）（C）（D）

18、设均为阶可逆矩阵，则分块矩阵的逆矩阵是.

（C）（D）

19、设，，且，则

（C）（D）

20、设A可逆，则的解是

（A）（B）（C）（D）

21、下列说法正确的是（）。

（A）任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。

（B）设方阵A是非奇异性的，A经过初等行变换得到阶梯阵B，则方阵B为奇异的。

（C）初等矩阵都是可逆的。

（D）矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。

22、设A，B都是可逆矩阵，则AB的逆是

23、设，则

（A）3（B）2（C）1（D）0

24、设是阶方阵,若,则的基础解系所含向量的个数为

（A）0（B）1（C）2（D）

25、二次型的矩阵是

（A）（B）（C）（D）

二、填空题

1.五阶行列式的展开式共有项.

2.行列式中元素的余子式=__________

3.四阶行列式的值是

4.矩阵中的元素=__________

5.若A，B为n阶矩阵，则=__________

6.设为3阶方阵，且，则

7.设矩阵，则

8.设，则

9.若A是可逆矩阵，则=__________

10.设矩阵，则

11．设，是两个可逆矩阵，则分块矩阵

12．设矩阵的秩，则

13．若向量组线性无关，且，则数

14.向量组，，，中不能由其余向量线性表示的是

15.向量组的秩为____________

16．在线性方程组中，若未知量的个数n=5，，则方程组的一般解中自由未知量的个数为_________

17．设4元线性方程组的系数矩阵的秩为3，且为其两个解，则的通解为

18．设向量组线性无关，则向量组（填线性相关，线性无关）。

19．设元线性方程组有解，则当时，有无穷多解。

20．若3阶方阵的特征值分别为1，-1，2，则的特征值为

21．已知阶矩阵的特征值都不为零，则的特征值为

22．设向量组，，，线性相关，则

23.若向量与向量正交，则

24．已知三阶矩阵的特征值为，其对应的特征向量分别是

，则

25.若方阵与相似，则的特征值为___________

26．若矩阵与相似,则

27．若二次型是正定的,则应满足的条件是

三、计算题

1、计算行列式

2、设，，求。

3、已知且，求矩阵X。

4、设，其中

求矩阵

5、求的秩。

6、求方阵的特征值与特征向量。

7、求向量组，，，，的一个极大无关组。

8、已知向量组，，，，，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。

9、判断线性方程组，当k为何值是有解？

10、设线性方程组的一般解为，为自由变量，

求的通解。

11、设为3×

4矩阵，，若非齐次线性方程组的三个解分别为：

＝，＝，＝，

求：

（1）齐次线性方程组的通解；

（2）非齐次线性方程组的通解.

12、求一个正交变换，把下面的二次型化为标准形

四、证明题

1．设，，证明：

是对称矩阵。

2.证明：

若向量是方阵的同时属于特征值的特征向量，则有

3．设是阶方阵的不同特征值，分别是的对应于的特征向量，证明：

不是的特征向量.

4．证明：

若矩阵相似于，则

线性代数模拟试题答案

1、A2、B3、B4、D5、B6、C7、A8、A9、C10、B11、A12、C13、B14、C15、B16、D17、C18、C19、C20、D21、C22、D23、B24、C25、B

1、5!

2、3、244、15、6、87、8、

9、

10、11、12、