高等数学同济第五版第7章答案文档格式.docx
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5.求平行于向量a=（6,7,-6）的单位向量.
平行于向量a=（6,7,-6）的单位向量为或.
6.在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限？
A（1,-2,3）;
B（2,3,-4）;
C（2,-3,-4）;
D（-2,-3,1）.
解A在第四卦限,B在第五卦限,C在第八卦限,D在第三卦限.
体各顶点的坐标分别为
,,,
,,.
12.求点M（4,-3,5）到各坐标轴的距离.
解点M到x轴的距离就是点（4,-3,5）与点（4,0,0）之间的距离,即
点M到y轴的距离就是点（4,-3,5）与点（0,-3,0）之间的距离,即
点M到z轴的距离就是点（4,-3,5）与点（0,0,5）之间的距离,即
13.在yOz面上,求与三点A（3,1,2）、B（4,-2,-2）和C（0,5,1）等距离的点.
解设所求的点为P（0,y,z）与A、B、C等距离,则
由题意,有
即
解之得y=1,z=-2,故所求点为（0,1,-2）.
14.试证明以三点A（4,1,9）、B（10,-1,6）、C（2,4,3）为顶点的三角形是等腰三角直角三角形.
解因为
所以,.
因此∆ABC是等腰直角三角形.
15.设已知两点和M2（3,0,2）.计算向量的模、方向余弦和方向角.
解;
;
,;
,.
16.设向量的方向余弦分别满足
（1）cosα=0;
（2）cosβ=1;
（3）cosα=cosβ=0,问这些向量与坐标轴或坐标面的关系如何？
解
（1）当cosα=0时,向量垂直于x轴,或者说是平行于yOz面.
（2）当cosβ=1时,向量的方向与y轴的正向一致,垂直于zOx面.
（3）当cosα=cosβ=0时,向量垂直于x轴和y轴,平行于z轴,垂直于xOy面.
17.设向量r的模是4,它与轴u的夹角是60︒,求r在轴u上的投影.
解.
18.一向量的终点在点B（2,-1,7）,它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4,-4,7.求这向量的起点A的坐标.
解设点A的坐标为（x,y,z）.由已知得
解得x=-2,y=3,z=0.点A的坐标为A（-2,3,0）.
19.设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k.求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.
解因为a=4m+3n-p=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k,
所以a=4m+3n-p在x轴上的投影为13,在y轴上的分向量7j.
习题7-2
1.设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求
（1）a⋅b及a⨯b;
（2）（-2a）⋅3b及a⨯2b;
（3）a、b夹角的余弦.
解
（1）a⋅b=3⨯1+（-1）⨯2+（-2）⨯（-1）=3,
.
（2）（-2a）⋅3b=-6a⋅b=-6⨯3=-18,
a⨯2b=2（a⨯b）=2（5i+j+7k）=10i+2j+14k.
（3）.
2.设a、b、c为单位向量,且满足a+b+c=0,求a⋅b+b⋅c+c⋅a.
解因为a+b+c=0,所以（a+b+c）⋅（a+b+c）=0,
即a⋅a+b⋅b+c⋅c+2a⋅b+2a⋅c+2c⋅a=0,
于是.
3.已知M1（1,-1,2）、M2（3,3,1）和M3（3,1,3）.求与、同时垂直的单位向量.
为所求向量.
4.设质量为100kg的物体从点M1（3,1,8）沿直线称动到点M2（1,4,2）,计算重力所作的功（长度单位为m,重力方向为z轴负方向）.
解F=（0,0,-100⨯9.8）=（0,0,-980）,.
W=F⋅S=（0,0,-980）⋅（-2,3,-6）=5880（焦耳）.
5.在杠杆上支点O的一侧与点O的距离为x1的点P1处,有一与成角θ1的力F1作用着;
在O的另一侧与点O的距离为x2的点P2处,有一与成角θ1的力F1作用着.问θ1、θ2、x1、x2、|F1|、|F2|符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
解因为有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零,再注意到对力矩正负的规定可得,使杠杆保持平衡的条件为
x1|F1|⋅sinθ1-x2|F2|⋅sinθ2=0,
即x1|F1|⋅sinθ1=x2|F2|⋅sinθ2.
6.求向量a=（4,-3,4）在向量b=（2,2,1）上的投影.
7.设a=（3,5,-2）,b=（2,1,4）,问λ与μ有怎样的关系,能使得λa+μb与z轴垂直?
解λa+μb=（3λ+2μ,5λ+μ,-2λ+4μ）,
λa+μb与z轴垂⇔λa+μb⊥k
⇔（3λ+2μ,5λ+μ,-2λ+4μ）⋅（0,0,1）=0,
即-2λ+4μ=0,所以λ=2μ.当λ=2μ时,λa+μb与z轴垂直.
8.试用向量证明直径所对的圆周角是直角.
证明设AB是圆O的直径,C点在圆周上,则,.
因为,
所以,∠C=90︒.
9.设已知向量a=2i-3j+k,b=i-j+3k和c=i-2j,计算:
（1）（a⋅b）c-（a⋅c）b;
（2）（a+b）⨯（b+c）;
（3）（a⨯b）⋅c.
解
（1）a⋅b=2⨯1+（-3）⨯（-1）+1⨯3=8,a⋅c=2⨯1+（-3）⨯（-2）=8,
（a⋅b）c-（a⋅c）b=8c-8b=8（c-b）=8[（i-2j）-（i-j+3k）]=-8j-24k.
（2）a+b=3i-4j+4k,b+c=2i-3j+3k,
（3）,
（a⨯b）⋅c=-8⨯1+（-5）⨯（-2）+1⨯0=2.
10.已知,,求∆OAB的面积.
解根据向量积的几何意义,表示以和为邻边的平行四边形的面积,于是∆OAB的面积为
因为,,
所以三角形∆OAB的面积为
12.试用向量证明不等式:
其中a1、a2、a3、b1、b2、b3为任意实数,并指出等号成立的条件.
解设a=（a1,a2,a3）,b=（b1,b2,b3）,则有
于是,
其中当=1时,即a与b平行是等号成立.
习题7-3
1.一动点与两定点（2,3,1）和（4,5,6）等距离,求这动点的轨迹方程.
解设动点为M（x,y,z）,依题意有
（x-2）2+（y-3）2+（z-1）2=（x-4）2+（y-5）2+（z-6）2,
即4x+4y+10z-63=0.
2.建立以点（1,3,-2）为球心,且通过坐标原点的球面方程.
解球的半径,
球面方程为
（x-1）2+（y-3）2+（z+2）2=14,
即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0.
3.方程x2+y2+z2-2x+4y+2z=0表示什么曲面?
解由已知方程得
（x2-2x+1）+（y2+4y+4）+（z2+2z+1）=1+4+1,
即,
所以此方程表示以（1,-2,-1）为球心,以为半径的球面.
4.求与坐标原点O及点（2,3,4）的距离之比为1:
2的点的全体所组成的曲面的方程,它表示怎样曲面？
解设点（x,y,z）满足题意,依题意有
化简整理得
它表示以为球心,以为半径的球面.
5.将zOx坐标面上的抛物线z2=5x绕x轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
解将方程中的z换成得旋转曲面的方程y2+z2=5x.
6.将zOx坐标面上的圆x2+z2=9绕z轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
解将方程中的x换成得旋转曲面的方程x2+y2+z2=9.
7.将xOy坐标面上的双曲线4x2-9y2=36分别绕x轴及y轴旋转一周,求所生成的旋转曲面的方程.
解双曲线绕x轴旋转而得的旋转曲面的方程为
4x2-9y2-9z2=36.
双曲线绕y轴旋转而得的旋转曲面的方程为
4x2+4z2-9y2=36.
8.画出下列方程所表示的曲面:
（1）;
（2）;
（3）;
（4）y2-z=0;
（5）z=2-x2.
9.指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形:
（1）x=2;
解在平面解析几何中,x=2表示平行于y轴的一条直线;
在空间解析几何中,x=2表示一张平行于yOz面的平面.
（2）y=x+1;
解在平面解析几何中,y=x+1表示一条斜率是1,在y轴上的截距也是1的直线;
在空间解析几何中，y=x+1表示一张平行于z轴的平面.
（3）x2+y2=4;
解在平面解析几何中,x2+y2=4表示中心在原点,半径是4的圆;
在空间解析几何中,x2+y2=4表示母线平行于z轴,准线为x2+y2=4的圆柱面.
（4）x2-y2=1.
解在平面解析几何中,x2-y2=1表示双曲线;
在空间解析几何中,x2-y2=1表示母线平行于z轴的双曲面.
10.说明下列旋转曲面是怎样形成的:
解这是xOy面上的椭圆绕x轴旋转一周而形成的,或是zOx面上的椭圆绕x轴旋转一周而形成的.
解这是xOy面上的双曲线绕y轴旋转一周而形成的,或是yOz面上的双曲线绕y轴旋转一周而形成的.
（3）x2-y2-z2=1;
解这是xOy面上的双曲线x2-y2=1绕x轴旋转一周而形成的,或是zOx面上的双曲线x2-z2=1绕x轴旋转一周而形成的.
（4）（z-a）2=x2+y2.
解这是zOx面上的曲线（z-a）2=x2绕z轴旋转一周而形成的,或是yOz面上的曲线（z-a）2=y2绕z轴旋转一周而形成的.
11.画出下列方程所表示的曲面:
（1）4x2+y2-z2=4;
（2）x2-
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