平面向量十一种类型Word格式文档下载.docx
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类型十：
基底系数判断
类型十一：
求最值问题
2011年10.（5分）（2011?
江苏）已知可,？
是夹角为彳JT的两个单位向量，-2巳,■lJ1
l=k.」+.」，若.1?
h=0,则实数k的值为.
2012年9•如图，在矩形ABCDKAB,2,BC2,点E为BC的中点,
点F在边CD上，若A^|AFv2，则A^|BF的值是厶
2013年10•设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,
12—一——
AD-AB,BEBC,若DEiAB2AC（1,2为实数），
23
则12的值为•
2014年12•（5分）（2014?
江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8
AD=5,-产3由，・」？
'
=2，则任？
Ji的值是亠==_^•
2015年6.已知向量a=（2,1），b=（1,2）,若na+nb=（9,8）（m,nR）,则mn的值为
2016年13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E,F是AD上两个三等分点,
I
2017年12•如图，在同一个平面内，向量OA,OB,oC的模分别为1,1,2,OA与
II
Oc的夹角为，且tan=7,OB与Oc的夹角为45°
.若OcmOAnOB（m,nR）,
则mn▲•（偏于向量分解）
【答案】3
所以
5—,n
4
【名师点睛】
（1）向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、
方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等
式问题.
（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，可将原问题转化为解不等式或求函数值域的问题，是此类问题的一般方法.
（3）向量的两个作用：
①载体作用，关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，
转化为我们熟悉的数学问题；
②工具作用，利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距
离问题.
2018年
12.在平面直角坐标系曲中，A为直线：
匕•■詔上在第一象限内的点，玄冬於，以AB为直径
的圆C与直线I交于另一点D.若•CD=0，则点A的横坐标为
（偏于综合）
【解析】分析：
先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的
数量积求结果•
a.十5
详解：
设瞰乩如個P），则由圆心C为山中点得C]——必易得oC（x-5）（x-a）+-0,
I-一n+5
与联立解得点D的横坐标.-•所以近[、2；
.所以「I’J
I亠1a.十5--j
由得或，
因为所以
点睛：
以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方
程等相结合的一类综合问题•通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函
数值域，是解决这类问题的一般方法•
若AB
1
1.如图所示，在△ABC中,BD^2觅辰3ED
2.已知？
ABCD勺顶点A—1,—2）,B（3,-1）,q5,6），则顶点D的坐标为
答案（1,5）
有无三种可能性
解析设D（x
y）,则由AB=DC得（4,1）=（5—x,6—y）,
4=5—x即
1=6—y
x=1
解得
y=5.
3.已知点A—1,5）和向量a=（2,3），若AB=3a,则点B的坐标为
设点B的坐标为（x,y），则AB=（x+1,y—5）.
〉x+1=6,
由AB=3a，得y—5=9,
4.,在厶ABC中，点P在BC上，且E3F=2PC点Q是AC的中点，若PA=（4,3）,PQ=（1,5）,
则Bc=.
BC=3PC=3（2PQ-Pa=6pQ—3PA=（6,30）—（12,9）=（—6,21）.
5.已知平面向量a=（1,2）,b=（—2,m），且a//b,贝U2a+3b=.
由a=（1,2）,b=（—2,m），且a/b,
得1Xm=2X（—2），即m=—4.
从而b=（—2,—4）,
那么2a＋3b=2（1,2）＋3（—2,—4）=（—4,—8）.
6.已知梯形ABCD其中AB//CD且DC=2AB,三个顶点A（1,2）,B（2,1）,Q4,2），则点D
的坐标为.
•••在梯形ABCD^,AB//CDDC=2AB
•••DC=2AB
设点D的坐标为（x,y）,
则DO（4,2）-（x,y）=（4—x,2-y）,
AB=（2,1）—（1,2）=（1,—1）,
•••（4—x,2—y）=2（1,—1），即（4—x,2—y）=（2,—2）,
4—x=2,
2—y=—2,
x=2,
解得故点D的坐标为（2,4）
y=4,
7.右二点A（1,—5）,B（a,—2）,q—2,—1）共线，则实数a的值为
5
答案一5
解析註（a—1,3）,屁＞（—3,4）,
根据题意AB//AC,4（a—1）=3x（—3），即4a=—5,
…a=—
8.已知点A（4,0）,B（4,4）,C（2,6），则AC与0B的交点P的坐标为
答案（3,3）
解析方法一由OP,B三点共线，可设6P=入64（4入，4入），则AP=6P—OA=（4入一
又AC=OOOA=（—2,6）,由AP与AC共线,得（4入一4）X6—4入X（—2）=0,解得
所以6P=討*（3,3）,所以点P的坐标为（3,3）
方法二设点F（x,y）,则6P=（x,y）,因为6B=（4,4）,且&
与Ofe线，所以彳=*,即x
又AP=（x—4,y）,Ab=（—2,6），且AP与AC共线,
所以（x—4）x6—yx（—2）=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为（3,3）.
1.若点o是厶ABC所在平面内的一点，且满足|OB-OC二|OB^OC—2OA，贝仏
ABC的形状为.
2.已知平面上有四个互异点ABCD,若（备DC—2DA•（AB-AC=0,则
△ABC的形状为.
1.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且ANU2NCAM与BN相交于点P,求AP：
PM的值.
1.如图，在四边形ABC冲，A吐2ADU1,ACU『3,且/CAB
2
=〒，/BAD^—~，设ACu入AB+卩AD贝U入+卩=
63
2.已知：
如图，|OA=|OB=1,OAf0B勺夹角为120°
OC与
dA勺夹角为30°
若OCU入OA+卩OB入
于.
3.设两个向量a=（入+2,入2-COS2a）和b=m2+sina，其中入，ma
为实数•若a=2b,则命的取值范围是.
4.如图，在边长为单位长度的正六边形ABCDE中，点P是厶CDE.,■；
，.-
内（包括边界）的动点，设辰aAfe+BAF（a,R），贝Ua、
+B的取值范围是.\/
FE
解析不妨以点A为原点，AD所在直线为x轴建立直角坐标系，设P（x,y）•则（x，y）=a2，中+B寸，—¥
，二a+B=2x，当点p在CE上时，a+B=3，当P在D点时，a+B—4.
5.已知△ABC为等边三角形，A吐2.设点P，Q满足AP—入AB,AQ—（1—入）AC,
3
入€R,若BQ-C^P——2，贝U入—.
A
1.设E、F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，
RFEC已知AB=3，AC—6，则Afe-AF—.
12
2.若等边三角形ABC的边长为23,平面内一点M满足CM—6春3CA则MA・Mb
3.设厶ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若（3b—c）cosA—acosC,
Saab（—辺，则bA-aC—.
4.在厶ABC中，BC=a,CA=b,AB=c，且|a|—1,|b|—2,|c|—3,贝Ua-b
+b-c+c-a—.
5.如图，△ABC勺外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=7,则AO-
1.已知向量a,b满足（a+2b）-（a—b）=一6,且|a|=1,|b|=2,贝Ua与b的
夹角为.
2.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a—b|=^^|a|，则a+b与a—b的夹角为
3.已知平面向量a、b,|a|=1,|b|=.3且|2a+b|7,则向量a与向量a
+b的夹角为
解析v|2a+b|2=4|a|2+4a-b+1b|2=7,|a|=1,|b|=£
，二4+4a-b
+3=7,a-b=0,•••a丄b.如图所示，a与a+b的夹角为/COAvtan/COA
=|~CA"
=.■■'
3,^ZCO=~3，即a与a+b的夹角为
1.已知0是厶ABC的内部一点，Oa霽Oc0,AB-辰2,且/BAG60
则厶OBC的面积为.
解析由AB-AC=|AB||ACcos60°
=2,得|AB|AC=4,S“bc=ABIAC
|sin60
°
=；
3,由0A+0+0C=0知，。
是厶ABC的重心，所以SaoBC=3SaABC
答案~33
长度的计算1.已知向量p的模为：
2,向量q的模为1,p与q的夹角为寸，且a=3p+2q,b
=p-q,则以a,b为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为.
解析
由题意可知较小的对角线为|a—b|=|3p+2q—p+q|=|2p+3q|=
:
2p+3q2=4p2+12p-q+9q2
=.
/8+12边乂¥
+9=畅.
答案
29
1.如图，已知点6是厶ABC勺重心，过G作直线与AB,AC两边分
别交于MN两点，且AMxAB,AN=yAC,则
xy
x+y
的值为
易知Ag=1aB+3aC,mn=-xAb+yAC
11
故辰=3-xAB+-AC
33
由于加与M共线，所以-—xy=-
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