解三角形的基本题型Word格式文档下载.docx
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I2丿2I2丿2
(3)大边对大角:
a=b=A=B=sinA=sinBucosA=cosB;
ab二AB二sinAsinBucosA:
cosB;
(4)锐角与钝角的判定:
角A为锐角=a2:
:
b2c2:
=sinA-cosA1;
角A为直角=a2二b2c2:
=sinAcosA=1;
角A为钝角=a2b2c2:
=sinA-cosA:
:
1;
(5)锐角三角形中的边角关系:
ABAB=sinA.cosB;
22
二、解三角形的常见题型:
题型一:
已知两边及对角,判断三角形解的个数;
例1、根据已知条件,判断下列UBC解的个数:
(1)a=7,b=14,A=30°
;
(2)b=4,c=5,B=30°
(3)b=25,c=3,C=150°
(4)a=1,b=.3,B=60°
解析:
显然应使用正弦定理:
(1)旦=丄,故:
二旦,解得:
sinB=1,1^0,—);
由图形可知:
sinAsinB1sinBI6丿
2
直线y=1与y=sinB只有唯一的交点,所以:
只有唯一解;
⑵由岛=盏解得:
sinC=5,C吟;
实际就是研究
(4)由一a—解得:
sinA=丄,又0:
A:
;
故:
A=—;
sinAsinB236
3下
(变式1)已知ABC中,a二-,A,若此三角形有两个解,求边b的取值范
23
围?
厂口需]y=^sinx,xw[o,互|
—3sinB;
只需:
'
.3
(变式2)
sinB='
12;
关键是cosA
13
分析:
(1)由于cosC二-cosABi=sinAsinB-cosAcosB
_4
的正负;
也就是分析角A是锐角还是钝角;
即:
^5交点的情
y=sinx,x^[0,二-B
况;
如图:
只有一个交点'
角A是一个锐角;
cosA瘁;
题型二:
利用正弦定理求外接圆半径;
例2、直三棱柱ABC-ABQ中,BB1=2,BC=1,A,求其外接球的表面积;
6
分析:
此题的关键是确定球心的位置并求球的半径;
BC
OiC为ABC的外接圆半径;
由正弦定理:
2COi二——;
解得:
COi=1,0。
1=1;
sinA
球的半径oc厂2,故:
球的表面积为8二;
(变式)二面角:
-[为二,点P为二面角内部一点,点P到面〉和面1的距
3
离分别为1和2;
求点P到直线I的距离;
先作出P到直线I的距离,然后放入一个三角形求解;
过点P作PA_■-于点A,过点P作PB_:
于点B,过点A作AC_I于点C;
可
得:
PC为所求距离;
显然,A、B、C、P四点共圆;
PC为ABC外接圆直径;
ABC中,由余弦定理知:
AB2二AC2BC2-2.AC.BC.cos.ACB;
AB=寸3;
题型三:
判断三角形的形状;
例3、在ABC中,已知a2tanB二b2tanA,判断ABC的形状;
判断三角形的形状,一般有两条思路:
(1)证明角的关系;
(2)证明边的关系;
法一:
将角转化成边;
原式转化为:
a2竺旦=b2泌,代入正弦定理:
——,应用余弦定理
cosBcosAcosBcosA
可得:
222222
be-aac-b422,4,22
ab,进一步化简得:
a「ac「bbc0;
2bc2ac
a「b2-c2a2-b2=0;
a2b^c2或a二b,即:
ABC为等腰三角形或
直角三角形;
法二:
将边转化成角;
原式可化为:
acosA二bcosB;
代入正弦定理得:
sinAcosA二sinBcosB,即:
sin2A二sin2B;
2A=2B或2A2^^;
ABC为等腰三角形或直角三角形;
(变式)在ABC中,已知a2-b2sinA-B=a2•b2sinAB,判断匚ABC的
形状;
题型四:
已知三角形中的边角混合式,解三角形;
例4、在ABC中,已知a2—c2=2b,且sinAcosC=3cosAsinC;
求b;
由于要求的是边,应将角转化为边;
sinAcosC=3cosAsinC可化为:
acosC=3ccosA;
化简得:
2a2-c2]=b2,结合:
a2-c2=2b,可得:
b2=2b;
b=2;
例5、在ABC中,已知cosA-Cj亠cosB=号,b2=ac;
求B;
由于要求的是角,应尽量将所有的边转化为角;
3-
严s(A-C)-cos(A+C)_£
解得$巾2bJ,B气0,兀);
sinB=—;
242
SnB=sinAsinC
B或—;
由cosB=3-cosA-Ci,0,B二一;
3323
例6、在ABC中,已知acos^,3asinC-b-c=0;
(1)求角A;
(2)右a=2,S.abc=3,求b,c;
(1)边化角:
sinAcosC13sinAsinC-sinB-sinC=0;
统一角:
sinAcosC3sinAsinC-sinAC,sinC二0
3sinAsinC「sinCcosA-sinC=0;
进一步化简可得:
sinA-,A0,二;
A—二;
I6丿23
(2)从第一问A得到启发,面积公式应用:
S・ABC=-bcsinA=、、l
32
可以解出be=4;
从be=4再联想到余弦定理:
a2=b2+c2-2bccosA;
代入数据
b2c2=8;
两式联立解得:
b=2,c=2;
由余弦定理:
a=1=bc-bc;
周长1=a•b•c=1•b•c;
只需要求bc的
b2c2bc
2一2.
/2•,当且仅当b=c时取等号成立;
fb+c\
bc<
I——I
I2丿
0be乞1•
7
(V31
面积的取值范围是.。
,二;
-
I4一
转化为角;
范围是:
2,31;
面积的取值范围
S缈c=1bcsinA=^bc=週[lsinf2B_mla也243〔2I6丿4一
是1°
,
(变式1)将例7中的“ABC”改为“锐角ABC”
“法一”将很难解决这个问题,而“法二”仅仅需要改变一下角B的取值范围
ji
0:
B:
—
22二二二
即可;
将CB代入可得:
B;
后面同上法;
362
C:
I2
1T
(变式2)在ABC中,已知B,AC—3,求AB2BC的取值范围;
由正弦定理知:
AB,2BC=2sinC4sinA=2•、3cosC•4sinC;
由辅助角公式得:
AB+2BC=2T7sin(C),C訂0,空:
tan®
-^3;
I3丿2
故:
min2.7sin,27sini-乙:
AB2BCm2、、7;
II3丿J
AB2BC的取值范围是:
.3,2、、3;
题型六:
解三角形的应用题;
例8、如图,A,B是海面上位于东西方向相距5^3海里的两个观测点,现位于A点北偏东450,B点北偏西600的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南
偏西600且与B点相距20「3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为
30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间?
解析:
解:
根据题意知AB=53r3海
里,.DBA=30°
.DAB=45°
..ADB=105°
.DB=10.3(海里),
又.DBC"
DBA.ABC=60°
BC=203海里,在DBC中,由余弦定理得
CD2二BD2BC2-2.BD.BC.COS.DBC=900
所以,救援船到达D点需要1小时.
例9、福州青运会幵幕式上举行升旗仪式,在坡度150的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°
和30°
,第一排和最
后一排的距离为10.6米(如下图所示),则旗杆的高度为()米.
A.10.3B.20、3C.20D.30
PCB=450,PEC=105:
CPB=30。
;
在LPBC中:
—BC—=—PB—即:
BP二203米;
sinCPBsinBEP
所以,在RTBOP中,OP=30米
例10、如图,在.:
ABC中,
AD_AC,sin.BAC二晋,AB=3..2,AD=3,贝U
BD的长为
在ABD中:
cosBAD卑;
由余弦定理可知:
BD2=AB2AD2-2AB.ADcos.BAD,解得:
BD
—.19;
例11、(2013年高考新课标1(理))如图,在厶AB(中,/ABC=90,AB=3,BC=1,P
AB(内一点,/BPC=90
1
(1)若PB=2,求PA;
(2)若/APB=150,求tan/PBA
(1)由已知得,/PBC=「,•••/PBA=30,在厶PBA中,由余弦定理得
1]"
7/7
二'
「=,.•.PA=;
4242
⑵设/PBA=•,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理
得,'
化简得、、二m\M:
■■/,
sin150°
siTi(300-^)
例11、在ABC中,A=120°
,角A的角平分线AD交边BC于点D,且AB=2CD=2DB
求AD的长;
134
SabcAB.AC.sin1200