解三角形的基本题型Word格式文档下载.docx
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I2丿2I2丿2
（3）大边对大角：
a=b=A=B=sinA=sinBucosA=cosB；
ab二AB二sinAsinBucosA：
cosB；
（4）锐角与钝角的判定：
角A为锐角=a2:
:
b2c2：
=sinA-cosA1；
角A为直角=a2二b2c2：
=sinAcosA=1；
角A为钝角=a2b2c2：
=sinA-cosA：
：
1；
（5）锐角三角形中的边角关系：
ABAB=sinA.cosB；
22
二、解三角形的常见题型：
题型一：
已知两边及对角，判断三角形解的个数；
例1、根据已知条件，判断下列UBC解的个数：
（1）a=7,b=14,A=30°
；
（2）b=4,c=5,B=30°
（3）b=25,c=3,C=150°
（4）a=1,b=.3,B=60°
解析：
显然应使用正弦定理：
（1）旦=丄，故：
二旦，解得：
sinB=1，1^0,—）;
由图形可知:
sinAsinB1sinBI6丿
2
直线y=1与y=sinB只有唯一的交点，所以：
只有唯一解;
⑵由岛=盏解得：
sinC=5,C吟；
实际就是研究
（4）由一a—解得：
sinA=丄，又0：
A：
;
故：
A=—;
sinAsinB236
3下
（变式1）已知ABC中，a二-,A，若此三角形有两个解，求边b的取值范
23
围？
厂口需]y=^sinx,xw[o,互|
—3sinB；
只需：
'
.3
（变式2）
sinB='
12;
关键是cosA
13
分析:
（1）由于cosC二-cosABi=sinAsinB-cosAcosB
_4
的正负；
也就是分析角A是锐角还是钝角；
即：
^5交点的情
y=sinx,x^[0,二-B
况；
如图：
只有一个交点'
角A是一个锐角；
cosA瘁;
题型二：
利用正弦定理求外接圆半径；
例2、直三棱柱ABC-ABQ中，BB1=2,BC=1,A，求其外接球的表面积;
6
分析：
此题的关键是确定球心的位置并求球的半径；
BC
OiC为ABC的外接圆半径；
由正弦定理：
2COi二——；
解得：
COi=1,0。
1=1；
sinA
球的半径oc厂2，故：
球的表面积为8二；
（变式）二面角:
-［为二，点P为二面角内部一点，点P到面〉和面1的距
3
离分别为1和2;
求点P到直线I的距离；
先作出P到直线I的距离，然后放入一个三角形求解；
过点P作PA_■-于点A,过点P作PB_:
于点B,过点A作AC_I于点C;
可
得：
PC为所求距离；
显然，A、B、C、P四点共圆；
PC为ABC外接圆直径；
ABC中，由余弦定理知：
AB2二AC2BC2-2.AC.BC.cos.ACB；
AB=寸3；
题型三：
判断三角形的形状;
例3、在ABC中，已知a2tanB二b2tanA,判断ABC的形状;
判断三角形的形状，一般有两条思路：
（1）证明角的关系；
（2）证明边的关系；
法一：
将角转化成边；
原式转化为：
a2竺旦=b2泌，代入正弦定理：
——，应用余弦定理
cosBcosAcosBcosA
可得：
222222
be-aac-b422,4,22
ab，进一步化简得：
a「ac「bbc0;
2bc2ac
a「b2-c2a2-b2=0;
a2b^c2或a二b，即:
ABC为等腰三角形或
直角三角形；
法二：
将边转化成角；
原式可化为：
acosA二bcosB;
代入正弦定理得：
sinAcosA二sinBcosB，即：
sin2A二sin2B;
2A=2B或2A2^^;
ABC为等腰三角形或直角三角形；
（变式）在ABC中，已知a2-b2sinA-B=a2•b2sinAB,判断匚ABC的
形状；
题型四：
已知三角形中的边角混合式，解三角形;
例4、在ABC中，已知a2—c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC；
求b;
由于要求的是边，应将角转化为边；
sinAcosC=3cosAsinC可化为：
acosC=3ccosA；
化简得：
2a2-c2]=b2，结合：
a2-c2=2b，可得：
b2=2b;
b=2;
例5、在ABC中，已知cosA-Cj亠cosB=号,b2=ac；
求B；
由于要求的是角，应尽量将所有的边转化为角；
3-
严s（A-C）-cos（A+C）_£
解得$巾2bJ,B气0,兀）;
sinB=—；
242
SnB=sinAsinC
B或—;
由cosB=3-cosA-Ci，0，B二一；
3323
例6、在ABC中，已知acos^,3asinC-b-c=0；
（1）求角A；
（2）右a=2,S.abc=3，求b,c；
（1）边化角：
sinAcosC13sinAsinC-sinB-sinC=0；
统一角：
sinAcosC3sinAsinC-sinAC,sinC二0
3sinAsinC「sinCcosA-sinC=0；
进一步化简可得：
sinA-,A0,二；
A—二；
I6丿23
（2）从第一问A得到启发，面积公式应用：
S・ABC=-bcsinA=、、l
32
可以解出be=4；
从be=4再联想到余弦定理：
a2=b2+c2-2bccosA;
代入数据
b2c2=8;
两式联立解得：
b=2,c=2;
由余弦定理：
a=1=bc-bc；
周长1=a•b•c=1•b•c；
只需要求bc的
b2c2bc
2一2.
/2•，当且仅当b=c时取等号成立;
fb+c\
bc<
I——I
I2丿
0be乞1•
7
（V31
面积的取值范围是.。
，二;
-
I4一
转化为角；
范围是：
2,31；
面积的取值范围
S缈c=1bcsinA=^bc=週［lsinf2B_mla也243〔2I6丿4一
是1°
，
（变式1）将例7中的“ABC”改为“锐角ABC”
“法一”将很难解决这个问题，而“法二”仅仅需要改变一下角B的取值范围
ji
0：
B:
—
22二二二
即可；
将CB代入可得：
B；
后面同上法；
362
C:
I2
1T
（变式2）在ABC中，已知B,AC—3,求AB2BC的取值范围;
由正弦定理知：
AB，2BC=2sinC4sinA=2•、3cosC•4sinC；
由辅助角公式得：
AB+2BC=2T7sin（C）,C訂0,空:
tan®
-^3；
I3丿2
故:
min2.7sin,27sini-乙：
AB2BCm2、、7；
II3丿J
AB2BC的取值范围是：
.3,2、、3；
题型六：
解三角形的应用题；
例8、如图,A,B是海面上位于东西方向相距5^3海里的两个观测点，现位于A点北偏东450,B点北偏西600的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南
偏西600且与B点相距20「3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为
30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？
解析：
解:
根据题意知AB=53r3海
里，.DBA=30°
.DAB=45°
..ADB=105°
.DB=10.3（海里）,
又.DBC"
DBA.ABC=60°
BC=203海里,在DBC中,由余弦定理得
CD2二BD2BC2-2.BD.BC.COS.DBC=900
所以，救援船到达D点需要1小时.
例9、福州青运会幵幕式上举行升旗仪式，在坡度150的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°
和30°
，第一排和最
后一排的距离为10.6米（如下图所示），则旗杆的高度为（）米.
A.10.3B.20、3C.20D.30
PCB=450,PEC=105：
CPB=30。
；
在LPBC中:
—BC—=—PB—即：
BP二203米;
sinCPBsinBEP
所以，在RTBOP中,OP=30米
例10、如图，在.：
ABC中，
AD_AC,sin.BAC二晋，AB=3..2,AD=3,贝U
BD的长为
在ABD中:
cosBAD卑；
由余弦定理可知:
BD2=AB2AD2-2AB.ADcos.BAD，解得：
BD
—.19;
例11、（2013年高考新课标1（理））如图,在厶AB（中,/ABC=90,AB=3,BC=1,P
AB（内一点，/BPC=90
1
（1）若PB=2,求PA;
（2）若/APB=150,求tan/PBA
（1）由已知得，/PBC=「，•••/PBA=30,在厶PBA中，由余弦定理得
1]"
7/7
二'
「=,.•.PA=;
4242
⑵设/PBA=•,由已知得,PB=,在△PBA中，由正弦定理
得,'
化简得、、二m\M：
■■/,
sin150°
siTi（300-^）
例11、在ABC中，A=120°
，角A的角平分线AD交边BC于点D,且AB=2CD=2DB
求AD的长；
134
SabcAB.AC.sin1200
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