广东省汕头市澄海凤翔中学届高三上学期第一次阶段考试数学理试题 Word版含答案.docx
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广东省汕头市澄海凤翔中学届高三上学期第一次阶段考试数学理试题Word版含答案
凤翔中学2014－2015学年度第一次阶段考试
高三级理科数学试卷
注意：
本卷满分150分，考试时间120分钟．答案应填（涂）在答题卷相应的位置上，否则无效．考试结束后，试卷自己带回保存，只交答题卷．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）
1、设为虚数单位，则复数（）
A．B．C．D．
2、设集合，，则（）
A．B．C．D．
3、若向量，，则（）
A．B．C．D．
4、下列函数中，在区间上为增函数的是（）
A．B．论0__________________________________________________________________________________________________________________________C．D．
5、已知变量，满足约束条件，则的最大值是（）
A．B．C．D．
6、某几何体的三视图如图所示，它的体积是（）
A．B．
C．D．
7、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为的概率是（）
A．B．C．D．
8、对任意两个非零的平面向量和，定义．若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中，则（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.）
（一）必做题（9～13题）
9、不等式的解集是．
10、的展开式中的系数是．
（用数字作答）
11、已知递增的等差数列满足，，则．
12、曲线在点处的切线方程是
．
13、执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值是．
（二）选做题：
（第14、15题为选做题，考生只能选做一题．）
14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线与的交点坐标是．
15、（几何证明选讲选做题）如图，圆的半径为，、、是圆周上的三点，且满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．）
16、（本小题满分12分）已知函数（，）的最大值为．
求的值；
若，，求．
17、（本小题满分12分）佛山某中学高三班排球队和篮球队各有名同学，现测得排球队人的身高（单位：
）分别是：
、、、、、、、、、，篮球队人的身高（单位：
）分别是：
、、、、、、、、、．
请把两队身高数据记录在如图所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；
利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过的人数为，求的分布列和数学期望．
18、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面，
，四边形是直角梯形，．
证明：
平面；
求二面角的余弦值．
19、（本小题满分14分）已知等差数列的公差，它的前项和为，若
，且，，成等比数列．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求证：
．
20、（本小题满分14分）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离为．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆相交于、两点（、不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：
直线过定点，并求出该定点的坐标．
21、（本小题满分14分）已知函数，．
若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
求函数的单调区间；
设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
凤翔中学2014－2015学年度第一学期第一次阶段考试
高三理科数学试卷参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
A
A
B
C
D
C
二、填空题
（一）必做题
9、10、11、12、13、
（二）选做题
14、15、
三、解答题
16、解：
∵函数的最大值为
∴
…………………2分
…………………4分
∵,
∴…………………6分
…………………7分
…………………8分
∴…………………10分
…………………12分
17、解：
茎叶图如图所示，篮球队的身高数据方差较小.……4分
（注：
写对茎叶图3分，方差结论正确1分）
排球队中超过的有人，超过
的有人，篮球队中超过的有人，
超过的有人，
所以的所有可能取值为…………6分
则，
，
……………………………10分
所以的分布列为
所以的数学期望…………………………12分
18、证明：
∵平面
∴…………………1分
又∵
∴…………………2分
过C作，交AD于E，则………………3分
∴…………………4分
在中，
∴…………………5分
又∵
∴平面…………………6分
（方法一）∵
∴平面…………………7分
过作于，连结，可知…………………8分
∴是二面角的平面角…………………9分
设，则，．
∽，
…………………11分
∴…………………12分
∴
即二面角的余弦值为…………………14分
（方法二）如图建立空间直角坐标系，设，则
∴……7分
…………………8分
设平面的法向量为，
则，即化简得
令，得
所以是平面的一个法向量…………………10分
又平面ACD的一个法向量为…………………11分
设向量和所成角为，则…………………13分
∴即二面角的余弦值为…………………14分
19、解：
数列是等差数列，且
①…………………2分
成等比数列
即②………………4分
由①，②解得或…………………5分
………………6分
证明：
由可得…………………7分
所以…………………8分
所以
…………10分
…………11分
数列是递增数列
………13分
…………14分
20、解：
由题意得：
①
左焦点（－c,0）到点P（2,1）的距离为：
d==②……………2分
由①②可解得c=1，a=2，b2=a2－c2=3………………3分
∴所求椭圆C的方程为………………4分
证明：
设A（x1,y1）、B（x2,y2），
将y=kx+m代入椭圆方程得
（4k2+3）x2+8kmx+4m2－12=0．
∴x1+x2=－，x1x2=………………6分
且y1=kx1+m，y2=kx2+m．
∵AB为直径的圆过椭圆右顶点A2（2,0），所以•=0………………7分
所以（x1－2,y1）·（x2－2,y2）=（x1－2）（x2－2）+y1y2=（x1－2）（x2－2）+（kx1+m）（kx2+m）
=（k2+1）x1x2+（km－2）（x1+x2）+m2+4
=（k2+1）·－（km－2）·+m2+4=0………………10分
整理得7m2+16km+4k2=0
∴m=－k或m=－2k都满足△>0………………12分
若m=－2k时，直线l为y=kx－2k=k（x－2），恒过定点A2（2,0），不合题意舍去
………13分
若m=－k时，直线l为y=kx－k=k（x－），恒过定点（,0）………14分
21、解：
当时，，其定义域为．
因为，………………1分
所以在（0，+∞）上单调递增，………………2分
所以函数不存在极值.………………3分
函数的定义域为．
当时，因为在（0，+∞）上恒成立
所以在（0，+∞）上单调递减.………………4分
当时，
当时，方程与方程有相同的实根.…………5分
①当时，∆>0，可得，，且
因为时，，所以在上单调递增；………………6分
因为时，，所以在上单调递减；………………7分
因为时，，所以在上单调递增；………………8分
②当时，，所以在（0，+∞）上恒成立
故在（0，+∞）上单调递增.………………9分
综上，当时，的单调减区间为（0，+∞）；
当时，的单调增区间为与；单调减区间为；
当时，的单调增区间为（0，+∞）.………………10分
由存在一个，使得成立，
得，即.………………11分
令，等价于“当时，”.………………12分
因为，且当时，，
所以在上单调递增，………………13分
故，因此.………………14分
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