数列通项公式和前n项和求解方法全Word格式.docx

数列通项公式和前n项和求解方法全Word格式.docx

《数列通项公式和前n项和求解方法全Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列通项公式和前n项和求解方法全Word格式.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R且q≠1）的等比数列，若函数f（x）=（x－1）2，且a1=f（d－1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q－1），求数列{an}和{bn}的通项公式。

an=a1+（n－1）d=2（n－1）；

bn=b·

qn－1=4·

（－2）n－1

例3.等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（）

（A）（B）（C）（D）答案：

（D）

例4.已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.

简析：

由题意，，又是等比数列，公比为∴，故数列是等比数列，易得.点评：

当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.

公式法2：

知利用公式.

例5：

已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.

（1）.

（2）

（1）=3，

（2）点评：

先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.

三、 

累加法【型如的地退关系递推关系】

已知,，其中f（n）可以是关于n的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

若f（n）是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;

若f（n）是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

若f（n）是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

若f（n）是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得

已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项.答案：

例6.若在数列中，，，求通项.答案：

=

例7.已知数列满足，，求此数列的通项公式.答案：

四、累积法【形如=（n）·

型】

（1）当f（n）为常数，即：

（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.

（2）当f（n）为n的函数时,用累乘法.

例8：

在数列｛｝中，=1,（n+1）·

=n·

，求的表达式.

例9：

已知数列中，，前项和与的关系是，试求通项公式..

思考题1：

已知,求数列{an}的通项公式.

分析：

原式化为若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.

五、构造特殊数列法

构造1：

【形如,其中）型】

（1）若c=1时，数列{}为等差数列;

（2）若d=0时，数列{}为等比数列;

（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.

七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】

例14：

（1）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式.

解析：

由题得时，

由、得.

（2）数列{}满足,且,求数列{an}的通项公式

（3）已知数列中，求通项.

八、【讨论法-了解】

（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.

（2）形如型若（p为常数），则数列{}为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;

若f（n）为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.

例15：

数列{}满足,,求数列{an}的通项公式.

专题二：

数列求和方法详解（六种方法）

一、公式法

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

[例1]已知，求的前n项和.答案

[例2]设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.答案n＝8时，

二、错位相减法

方法简介：

此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·

　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

[例3]求和：

………………………①（）

由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积：

设…②

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

.

∴.

试一试1：

求数列前n项的和.答案：

三、倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，然后再除以2得解.

[例4]求的值.答案S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：

找通向项公式由通项公式确定如何分组；

[例5]求数列的前n项和：

，…答案.

试一试1求之和.简析：

由于与、分别求和.

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项及分母有理化）如：

（1）；

（2）=；

（3）；

4）（5）.

[例6]求数列的前n项和.

[例7]在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.

已知数列{an}：

，求前n项和.试一试2：

..

.六、合并法求和方法简介：

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例8]求cos1°

+cos2°

+cos3°

+·

·

+cos178°

+cos179°

的值.答案0

[例9]数列{an}：

，求S2002.（周期数列）

[例10]在各项均为正数的等比数列中，若的值;

答案10