罗默高级宏观经济学答案.docx
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罗默高级宏观经济学答案
罗默高级宏观经济学答案
【篇一：
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第2章无限期界与世代交叠模型）】
模型
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*
以成本r租借资本，并且拥有相同的a值。
（a）考虑一位厂商试图以最小成本生产y单位产出的问题。
证明k的成本最小化水平
?
?
?
?
?
?
*f?
?
c?
c?
0?
k?
?
＜0csf?
k*?
?
?
n?
g?
?
?
kt?
lt?
1?
?
1?
n?
lt唯一地被确定并独立于y，所有厂商?
?
因此选择相同的k值。
（b）证明n个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用n个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。
证明：
（a）题目的要求是厂商选择资本k和有效劳动al以最小化成本rk?
wal，同时厂商受到生产函数y?
alf?
k?
的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min?
?
wal?
rks.t.?
?
y?
alf?
k?
本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：
求一阶条件：
用第一个结果除以第二个结果：
上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和a，下面是n个成本最小化厂商的总产量关系式：
单一厂商拥有同样的a并且选择相同数量的k，k的决定独立于y的选择。
因此，如果单一厂商拥有l的劳动人数，则它也会生产y?
alf?
k?
的产量。
这恰好是n个厂商成本最小化的总产量。
（2.43）
设p1与p2表示两个时期的消费价格，w表示个人终生收入值，因此预算约束为pc11?
p2c2?
w。
（a）给定p1、p2与w，效用最大化个人的c1与c2的选择是什么？
（b）两个时期的消费的替代弹性是?
?
1/p2?
/?
c1/c2?
?
1/p2?
?
?
?
p?
?
?
?
?
c1/c2?
/?
?
p?
，或者?
?
ln?
c1/c2?
/?
ln?
p1/p2?
。
证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，c1与c2之间
的替代弹性是
1
。
?
答：
（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
s..t?
?
?
?
?
pc11?
p2c2?
w
（2）
求解约束条件：
c?
w/p2?
c1p1/p2（3）
将方程（3）代入
（1）中，可得：
（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对c1求一阶条件可得：
再简化为：
c1?
?
1?
?
?
1/?
?
p2/p1?
1/?
1/?
c2（5）
将方程（5）代入（3），则有：
c2?
w/p2?
?
1?
?
?
?
p2/p1?
1/?
?
c2?
p1/p2?
c2?
1?
?
1?
?
?
1/?
?
p2/p1?
1?
?
/?
?
?
w/p2
?
再简化为：
borntowin
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（6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
（7）
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
c1/c2?
?
1?
?
?
1/?
?
p2/p1?
1/?
（8）
对方程（8）两边取对数可得：
ln?
c1/c2?
?
?
1/?
?
ln?
1?
?
?
?
?
1/?
?
ln?
p2/p1?
（9）
则消费的跨期替代弹性为：
因此，?
越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3（a）设人们预先知道，在某个t0时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。
在该时刻消费发生非连续的变化吗？
如果是，为什么（联结t0时刻前的消费与t0时刻后的消费的条件是什么）？
如果不是，为什么？
（b）设人们预先知道，在t0时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。
在t0时刻，消费发生非连续的变化吗?
如果是，为什么（联结t0时刻前的消费与t0时刻后的消费的条件是什么）？
如果不是，为什么？
答：
（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期?
t内，从?
t0?
?
?
到?
t0?
?
?
。
考虑家庭在?
t0?
?
?
时期减少每单位有效劳动的消费为?
c。
然后他在?
t0?
?
?
投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本u?
?
c前?
?
c，在?
t0?
?
?
会有一收益e?
?
?
?
rt?
n?
g?
?
?
t
?
c，财富的回报率为
?
rt?
n?
g?
?
?
t
r?
t?
，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为?
1/2?
u?
?
c后?
e?
?
?
总之，?
c。
对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：
在?
c?
0时，有下式：
borntowin
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因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4设教材中方程（2.1）瞬时效用函数u?
c?
为lnc。
考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。
给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、r?
t?
的路径与效用函数参数表示的c的表达式。
注意：
（2.1）
（2.1）中，c?
t?
是在￡时刻家庭每个成员的消费。
u?
?
?
是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。
l?
t?
是经济的总人口，l?
t?
/h因此是每个家庭的成员人数。
故u?
c?
t?
?
l?
t?
／h是t时刻家庭的总瞬时效用。
最后，?
是贴现率。
?
越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。
由于每个家庭有l?
t?
/h个成员，在t时刻其劳动总收入为w?
t?
l?
t?
／h，并且其消费支出为c?
t?
l?
t?
／h。
在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/h，或等于k?
0?
/h。
因此，家庭预算为：
（2.6）
答：
本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1）
（2）
令
建立拉格朗日方程：
求一阶条件：
borntowin
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抵消l?
t?
/h项得：
e?
?
tc?
t?
?
?
e
?
1
?
r?
t?
（3）
可以推出：
c?
t?
?
e?
?
t?
?
1er?
t?
（4）
将其代入预算约束方程：
（5）
将l?
t?
?
entl?
0?
代入上式：
（6）
只要?
?
n?
0，则积分项收敛，为1/?
?
?
n?
，则：
（7）
将方程（7）代入（4）：
（8）
因此，初始消费为：
（9）
个人的初始财富为w/?
?
l?
0?
／h?
?
，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。
可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是?
?
?
n?
为个人的财富边际消费倾向。
独立于利率的。
对于折现率?
而言，?
越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
【篇二：
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第4章真实经济周期理论）】
/p>跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里
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4.1对美国以外的其他国家进行与表4.1、表4.2或表4.3相类似的计算。
答：
可以到网上查找相关国家的数据进行计算。
4.2对以下各项作出与表4.3相类似的计算：
（a）雇员的薪水在国民收入中所占份额。
（b）劳动力参与率。
（c）联邦政府预算赤字在gdp中所占份额。
（d）标准普尔500种股票综合价格指数。
（e）穆迪baa债券和aaa债券收益率之差。
（f）10年期和3月期美国国库券收益率之差。
（g）美元对其他主要货币的加权平均汇率。
答：
读者可以到网上查找相关国家的数据进行计算。
4.3令a0表示第0期的a值，并令lna的行为由方程（4.8）和（4.9）给定。
（a）把lna1、lna2和lna3用lna0、?
a1、?
a2、?
a3、和g来表示。
（b）根据?
a的期望为0这一事实，当给定lna0、和g时，求lna1、lna2和lna3的期望值。
答：
（a）首先给出表示技术进步的公式，即方程（4.8）和（4.9）：
lnat?
?
gt?
at
（1）
at?
?
aat?
1?
?
a，t，?
1?
?
a?
1
（2）
令lna0表示在时期0时的lna值，结合公式
（1），可以得到下面的公式：
lna0?
?
g?
0?
a0
整理后求解a0：
a0?
lna0?
（3）
在时期1，利用方程
（1）和
（2）可得到：
lna1?
?
g?
a1（4）
a1?
?
aa0?
?
a，1（5）
将方程（3）代入方程（5）得：
（6）
再将方程（6）代入方程（4）可得：
（7）
在时期2，结合方程
（1）和
（2）得：
lna2?
?
2g?
a2（8）
a2?
?
aa1?
?
a，2（9）
将方程（6）代入方程（9）得：
（10）
再将方程（10）代入方程（8）可得：
（11）
在时期3，通过方程
（1）和方程
（2），可得：
lna3?
?
3g?
a3（12）
a3?
?
aa2?
?
a，3（13）
将方程（10）代入方程（13）可得：
（14）
再将方程（14）代入方程（12）得：
（15）
（b）通过方程（7）可以得到lna1的期望值，即：
上步用到了e?
?
?
1?
?
?
a?
，?
?
0。
通过方程（11）可以得到lna2的期望值：
2上步用到了e?
?
?
1?
?
?
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?
a?
，?
?
?
ae?
?
?
a?
，?
?
0?
，e?
?
?
a?
a?
，?
?
?
ae?
?
?
a?
，?
?
0，e?
?
?
a?
，?
=0。
通
过方程（15）可以得到lna3的期望值：
22
?
上步用到了e?
?
?
2?
?
?
ae?
?
a，?
?
2?
?
0，e?
?
?
1?
?
?
ae?
?
a，?
?
1?
?
0，e?
?
a?
a，?
?
?
?
?
?
a?
，?
=0。
?
?
a?
a?
，
4.4假设第t期的效用函数ut为ut?
lnct?
b?
1?
lt?
ut?
lnct?
bln?
1?
lt?
，b?
0。
1?
?
/?
1?
?
?
，b?
0，?
?
0，而非
（a）考虑类似于式（4.12）～式（4.15）中方程研究的一期问题。
劳动力供给如何取
决于工资。
（b）考虑类似于式（4.16）～式（4.21）中方程研究的两期问题。
两期中闲暇的相对需求如何取决于相对工资？
如何取决于利率？
从直观上解释?
为什么会影响劳动供给对工资和利率的反应程度。
答：
（a）假定没有初始财富并将家庭的规模标准化为1，则问题可表示如下：
建立拉格朗日方程：
l?
lnc?
b?
1?
l?
1?
?
/（1?
?
）?
?
?
wl?
c?
一阶条件为：
?
l/?
c?
?
1/c?
?
?
?
0
（1）
?
l/?
l?
?
b?
1?
l?
?
?
w?
0
（2）
?
?
将预算约束代入方程
（1）得：
?
?
1/c?
1/?
wl?
（3）
将方程（3）代入方程
（2）得：
?
b?
1?
l?
?
w/?
wl?
?
0
?
?
化简上式可以得到：
1/l?
b/?
1?
l?
（4）
?
从方程（4）对劳动供给量l的潜在定义中可以看出，劳动供给量的大小与实际工资无关。
（b）计算两期中的相对闲暇，即?
1?
l1?
/?
1?
l2?
。
假设家庭生存两期，没有初始财富，家庭规模标准化为1，即nt/h?
1，没有不确定性。
因此问题表述如下：
建立拉格朗日方程：
一阶条件为：
?
l/?
c1?
?
1/c1?
?
?
?
0（5）
?
l/?
c2?
?
e?
?
/c2?
?
?
?
?
/?
1?
r?
?
?
?
0（6）?
l/?
l1?
?
b?
1?
l1?
?
?
w1?
0（7）
?
?
?
l/?
l2?
?
e?
?
b?
1?
l2?
?
?
?
?
0（8）?
?
w2/?
1?
r?
?
?
?
对方程（7）进行相应转化可以得到?
的一个表达式：
?
?
b?
1?
l1?
/w1
对方程（8）进行相应转化可以得到?
的另一个表达式：
?
?
?
e?
?
b?
1?
l2?
?
?
?
?
?
/w?
1?
r?
?
?
2
对上面关于?
的两个表达式联立并进行求解，可得：
进而可推得：
最后可以得到：
（9）
如果w2/w1上升，则?
1?
l1?
/?
1?
l2?
也会随之上升。
因此，假设第二时期的实际工资相对于第一时期的实际工资上升，第一时期的空闲时间相对于第二时期来说就会增加，或者说第一时期的劳动时间相对于第二时期而言就会减少。
下面计算弹性，并且令?
?
1?
l1?
/?
1?
l2?
?
l*和w2/w1?
w*，从而得到：
将方程（9）方程中的l*?
?
1?
l1?
/?
1?
l2?
代入上式的分母中可以得到：
从方程（9）中可以看出，如果r升高，?
1?
l1?
/?
1?
l2?
就会减小。
因此，假设实际利率增加，则第一时期的闲暇时间相对于第二时期来说就会减少，或者说第一时期的劳动供给相对于第二时期来说就会增加。
显然：
因此?
越小，即1/?
越大，个人越有可能对实际工资的变化做出反应。
对于对数效用函数，?
?
1，弹性为1。
一个较低的?
值，意味着在l上效用不是一条非常陡峭的曲线，也就是l可以适应工资和利率的较大的变化。
4.5考虑教材中方程（4.16）～（4.21）中研究的问题：
（a）证明：
当w2/w1保持不变时，w1和w2的增加不会影响l1和l2。
（b）现在假设家庭的初始财富为z?
0。
（1）式（4.23）是否继续成立？
为什么？
（2）（a）部分的结论是否继续成立？
为什么？
答：
（a）证明：
maxlnc1?
bln?
1?
l1?
?
e?
?
?
?
lnc2?
bln?
1?
l2?
?
?
（1）
（2）
建立拉格朗日方程：
（3）
下面给出四个一阶条件及简单的代数运算结果：
（4）
（5）
（6）
【篇三：
罗默《高级宏观经济学》（第3版）课后习题详解（第7章消费）】
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查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。
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（a）这个人的终生预算约束是什么？
（b）这个的效用最大化的消费路径c?
t?
是什么？
（c）作为t的函数的个人财富路径是什么？
答：
（a）对于这个人而言，他终生消费的现值必须小于或等于终生收入的现值（个人并没有原始财富），从而有：
t
?
t
t?
0
c?
t?
dt?
?
y?
t?
dt
（1）
t?
0
t
由于此人的收入为y?
t?
?
y0?
gt?
?
?
0?
t?
r?
，y?
t?
?
0?
?
?
r?
t?
t?
，所以他收入的现值为：
11?
?
y0t?
gt2?
?
ry0?
gr2?
t?
0y?
t?
dt?
?
t?
0?
y0?
gt?
dt?
?
22?
?
t?
0
t
r
r
因此，这个人的终生预算约束为：
12
ctdt?
ry?
gr
（2）?
?
0?
t?
0
2
t
持不变。
预算约束意味着每一时点的消费等于终生收入除以生命的长度。
1
由（a）可知，终生收入为ry0?
gr2，因而不变的消费水平为：
2
c?
r?
1?
y?
gr?
（3）0t?
2?
?
此外，也可以利用变分法、拉格朗日方法求出上述结论。
（c）在任何时刻t，此人的财富是从时期0到时期t的储蓄，即：
w?
t?
?
t?
0
?
s?
t?
adt（4）
t
其中，s代表储蓄，w代表财富。
t时期的储蓄等于收入和消费之差，即：
s?
t?
?
y?
t?
?
c?
t?
（5）
因而储蓄可以表示为：
?
?
?
0?
t?
r?
y?
gt?
c?
?
，
（6）s?
t?
?
?
0
?
?
?
c?
?
，r?
t?
t
当0?
t?
r时，财富为：
w?
t?
?
t
t?
0
?
s?
t?
dt?
?
t
t?
0
?
y0?
gt?
c?
dt
?
?
1?
?
t
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y0t?
gt2?
ct?
2?
?
t?
01
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y0t?
gt2?
ct
2
从而可得：
1?
?
w?
t?
?
t?
y0?
gt?
c?
（7）
2?
?
当r?
t?
t时，财富为：
w?
t?
?
t?
r
?
s?
t?
dt?
w?
r?
（8）
t
其中，w?
r?
是此人退休时的财富。
将t?
r代入（7）式可得：
1?
?
w?
r?
?
r?
y0?
gr?
c?
（9）
2?
?
由于c?
?
r/t?
?
?
y0?
?
1/2?
gr?
?
，所以（9）式可以表示为：
?
t?
w?
r?
?
r?
c?
c?
（10）
?
r?
（10）式简化为：
w?
r?
?
?
t?
r?
c（11）
上式表明：
由于此人退休后没有收入，所以退休后的消费必须由工作时期积累的财富来维持。
由于?
t?
r?
是退休后的时间，又由于此人每时期消费c，所以退休时的财富必须等于?
t?
r?
c。
将（11）式以及s?
t?
?
?
c?
?
?
r?
t?
t?
代入（8）式，得：
w?
t?
?
?
t?
r?
c?
t
t?
r
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cdt
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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t?
r?
c?
c?
t?
r?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t?
t?
c
因此，一旦当前的收入超过了终生的平均收入，此人开始有正的储蓄。
财富在退休时达
到最大值，然后逐渐下降以维持消费。
在生命终结的时刻t，财富降为0。
如图7-1所示。
图7-1生命周期中的消费、收入和财富
图7-1（a）描述了收入和消费作为时间的函数，假定在0时刻收入超过了不变的消费水平。
加粗的线条表示消费在退休之前为y0?
gt，而退休之后就一直为0。
消费始终为c。
图7-1（b）描述了财富作为时间的函数图像。
财富曲线的斜率等于储蓄。
在工作期间财富增加，因为收入高于消费；财富在退休时刻达到最大值?
t?
r?
c。
在退休之后，财富以不变的比例下降直至生命结束时降为零。
给定财富函数的形状，生命周期中这种财富积累形式称为驼峰型储蓄。
7.2农民的平均收入低于非农民的平均收入，但前者年度的波动更大。
根据这一点，永久性收入假说在预测农民和非农民的估计消费函数时有何不同？
答：
因为暂时收入的均值为0，可以将平均收入解释为平均永久收入，因此平均而言，农民的永久性收入低于非农民的永久性收入，即yf?
ynf。
农民逐年的收入波动更大意味着
tt
农民的暂时收入的方差大于非农民的暂时收入的方差，即var?
yf?
?
var?
ynf?
。
p
p
考虑下面的回归方程：
ci?
a?
byi?
ei
（1）
其中ci是当前消费，根据永久性收入假说由yp来决定：
c?
yp；yi是当前收入，是永久性收入和暂时收入之和：
y?
yp?
yt。
最小二乘回归的关于b的估计值为：
b?
var?
yp?
varyp?
varyt
（2）
tt
只要var?
yp?
在两组中是相同的，则var?
yf?
?
var?
ynf?
意味着估计的斜率系数对于农民
应当小一些。
农民的当前收入的边际增加的影响小于非农民的。
根据永久收入假说，这是因为当前收入的增加很大程度上是由于暂时收入的增加。
因此，对农民的影响小于对非农民的影响。
对于常数项的最小二乘估计是：
a?
?
1?
b?
y（3）
?
对农民而言农民比非农民平均拥有更低的永久性收入，使得估计的常数项更小。
不过b
p
p
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更小。
这使得估计的常数项对农民来讲更大，因此对常数项的估计是不确定的。
对农民平均永久性收入，估计的消费函数低于非农民的。
如果两个估计的消费函数相交，则交点的收入水平低于yf。
考虑每组的一个人，他的收入等于农民的平均收入。
因为更多的非农民的永久性收入高于平均收入，因此非农民的永久性收入更有可能高于他的当前收入。
因此拥有当前收入的非农民平均而言有更高的永久性收入，他们倾向于消费更多。
相反，对于农民而言，他的永久性收入一般高于当前收入，因此平均而言，他们消费当前收入。
因此在农民的平均收入水平处，农民的消费函数会位于非农民的消费函数的下方。
7.3时间平均的问题（沃金working1960）。
实际消费数据并不是时点数据，而是较长时期内的平均数据，例如一个季度。
本题要求考察这个事实所产生的影响。
假设消费服从随机游走：
ct?
ct?
1?
et，其中e为白噪声。
但假设数据提供的是两期内的平均消费，即观测到的是?
ct?
ct?
1?
/2，?
ct?
2?
ct?
3?
/2等等。
（a）用e表示所观测到的从一个两期到下一个两期的消费变化。
（b）观测到的消费变化是否与以前的变化值无关？
根据你的答案，观测到的消费是否为随机游走？
（c）根据你在（a）部分的结论，从第一个两期到下一个两期的消费变化与第一个两期中的任何已知量一定无关吗？
与第一个两期前的两期中的任何已知量一定无关吗？
（d）假设观测到的消费不是两期的平均值，而是其中第二期的消费值。
也就是说，我们观察到的是ct?
1、ct?
3等等。
在这种情形下，观察到的消费是随机游走吗？
答：
（a）下面寻找?
ct?
2?
ct?
3?
/2?
?
ct?
ct?
1?
/2的表达式。
可以将ct?
1、ct?
2和ct?
3写成ct
和e关系式：
act?
1?
ct?
et?
1
（1）ct?
2?
ct?
1?
et?
2?
ct?
et?
1?
et?
2
（2）ct?
3?
ct?
2?
et?
3?
ct?
et?
1?
et?
2?
et?
3（3）
从一个两期的间隔到另一个两期的间隔中消费的变化为：
ct?
2?
ct?
3ct?
ct?
1?
ct?
et?
1?
et?
2?
?
?
ct?
et?
1?
et?
2?
et?
3?
ct?
?
ct?
et?
1?
（4）?
?
?
2222
化简得：
ct?
2?
ct?
3ct?
ct?
1et?
3?
2et?
2?
et?
1
（5）?
?
222
（b）通过与（a）部分相同的计算，消费以前的值为：
ct?
ct?
1ct?
2?
ct?
1et?
1?
2et?
et?
1
（6）?
?
222
使用方程（5）和（6），衡量消费的连续变化的协方差为：
?
?
c?
ct?
3ct?
ct+1?
?
ct?
ct?
1ct?
2?
ct?
1?
?
cov?
?
t+2?
?
?
?
?
?
，?
?
?
2222?
?
?
?
?
?
?
?
e?
2et?
2?
et?
1?
?
et?
1?
2et?
et?
1?
?
cov?
?
t+3?
?
?
?
，?
?
（7）22?
?
?
?
?
?
因为扰动项e是序列无关的，因为et?
1在两个表达式中都出现的项，协方差下降为：
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?
?
ct+2?
ct?
3ct?
ct?
1?
?
ct?
ct?
1ct?
2?
ct?
1?
?
?
e2cov?
?
?
?
?
?
?
?
?
4（8）2222?
?
?
?
?
?
其中，?
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