初三数学教案第27章电子课本 精品.docx

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第27章　证明2

§27.1证明的再认识2

阅读材料5

图形中的“裂缝”5

§27.2用推理方法研究三角形6

1.等腰三角形6

2.角平分线8

3.线段的垂直平分线9

4.逆命题、逆定理11

§27.3用推理方法研究四边形14

1.平行四边形14

2.矩形、菱形16

3.正方形17

4.等腰梯形18

5.中位线20

6.反证法21

阅读材料22

《几何原本》22

小　　结23

复　习　题24

课题学习25

中点四边形25

第27章　证明

逻辑推理是研究数学的一个重要的基本方法，几何学的研究充分运用了这一

方法．

这就是中国古代伟大的科学家徐光启与他翻译的《几何原本》．

§27.1证明的再认识

我们已经学习了许多几何图形的性质，在认识这些图形的性质时，常常采用看一看、画一画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜等方法，并在实验、操作中对它们作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．同时我们也学习了用逻辑推理的方法去探索一些几何图形所具有的性质．例如我们曾经遇到如下问题：

如图27.1.1，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE＝CF，连结CE和AF，试说明四边形AFCE是平行四边形．

解　由于平行四边形对边平行，可得

AD∥BC，

即　　　　　　　　　　　　　　　AE∥CF，

又　　　　　　　　　　　　　　　AE＝CF，

由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形AFCE是平行四边形．

其中“由于平行四边形对边平行，所以AD∥BC”以及“由于一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从AE∥CF，AE＝CF，即可推出四边形AFCE是平行四边形”都是逻辑推理．逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．

逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此在第24章中，给出了如下的公理：

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

（3）如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．

（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等．

我们还提到，等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据．

我们可以在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．第24章中已经用逻辑推理的方法证明了有关平行线的一些命题，下面将继续用逻辑推理的方法证明几何图形的有关命题．

回　忆

你是怎样知道三角形的内角和是180°的呢？

当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将任一个三角形的三个内角拼在一起（如图27.1.2），发现三角形的三个内角的和等于180°．

图27.1.2

用测量的方法能保证每次画出的三角形的三个内角的和正好等于180°吗？

用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗？

为了确保精确无误，人们发现了以下的证明方法．

如图27.1.3，任意作一个三角形ABC，延长线段AB到D，并经过点B作BE∥AC．由于BE∥AC，于是根据“两直线平行，内错角相等”，可知∠C＝∠2，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠A＝∠1，由于A、B、D三点在同一条直线上，因此根据平角的定义，∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．于是可知，不论三角形的形状如何，它的三个内角的和等于180°．

为了一目了然地把上述证明过程表达出来，我们把证明的每一步的依据写在所得到结论后面，这样上述的证明过程就可以用如下的证明格式表示．

已知：

△ABC．

求证：

∠A＋∠B＋∠C＝180°．

证明：

如图27.1.3，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为

BE∥AC（画图），

所以　　　∠A＝∠1　（两直线平行，同位角相等），

∠C＝∠2　（两直线平行，内错角相等），

又因为　　　　　∠1＋∠2＋∠ABC＝180°　（平角的定义），

所以　　　　　　∠A＋∠ABC＋∠C＝180°　（等量代换）．

我们把“三角形的内角和等于180°”作为定理．利用这个定理，通过推理，可以得到“n边形的内角和等于（n－2）×180°”这个定理．例　求证：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

已知：

如图27.1.4，∠CBD是△ABC的一个外角．

求证：

∠CBD＝∠A＋∠C．

证明：

因为

∠A＋∠ABC＋∠C＝180°　（三角形的内角和等于180°），

所以　　　　∠A＋∠C＝180°－∠ABC　（等式的性质）．

又因为　　∠ABC＋∠CBD＝180°　（平角的定义），

所以　　　　∠CBD＝180°－∠ABC　（等式的性质）．

因此　　　∠CBD＝∠A＋∠C　（等量代换）．

由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理．

思考

有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后，你能证明直角三角形的两个锐角之间所具有的数量关系吗？

练习1.求证：

直角三角形的两个锐角互余．

2.求证：

四边形的内角和等于360°；五边形的内角和等于540°．

3.已知一个多边形的内角和等于1080°，求这个多边形的边数．

习题27.1

1.利用“n边形的内角和等于（n－2）×180°”这个结论，证明：

任意多边形的外角和等于360°．

2.已知一个多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边数．

3.求证：

有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“A.A.S.”）．

4.如图，已知AD＝AE，∠B＝∠C，求证：

△ABD≌△ACE．

阅读材料

图形中的“裂缝”

几何图形的割补问题，有时会使人不知所措．下面的图形问题就是出现在萨姆·劳埃德（SamLoyd）的《趣题大全》（CyclopediaofPuzzles）中的一个趣题：

将图1按所画粗线条剪开，再按图2拼合．方格线的面积增加了一个平方单位．

图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

为什么面积会增加了？

这是视觉上的错觉欺骗了我们．实际上，当图1剪成四块拼成图2时，中间有一个平行四边形的缝隙，如图3中的ABCD，它的面积正好为1．也就是说A、B、C三点及A、D、C三点都不在一条直线上，图形中出现了“裂缝”，而图2中误以为它们都在同一条直线上．这就说明了证明的重要性．

后来，有人将图4中的三角形区域按所画的粗线条剪开，再按图5重新拼合，结果在三角形的内部出现了一个“黑洞”．

你能对图4和图5中的现象作出解释吗？

§27.2用推理方法研究三角形

1.等腰三角形

在第9章中我们已经知道，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）．这是识别三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法．

回忆

你是怎样知道等腰三角形的这个识别方法的呢？

如图27.2.1，在△ABC中，∠B＝∠C．当时是用刻度尺找出边BC的中点D，连结AD，然后沿AD对折，经过观察AB与AC完全重合，于是得到AB＝AC．

你想过没有，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？

为了说明这个问题，我们可以用逻辑推理的证明方法．

已知：

如图27.2.1，在△ABC中，∠B＝∠C．

求证：

AB＝AC．

分析要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边，于是想到画∠BAC的平分线AD．

证明画∠BAC的平分线AD．

在△BAD和△CAD中，

∠B＝∠C　（已知），

∠1＝∠2　（画图），

AD＝AD　（公共边），

所以　　　　　　　△BAD≌△CAD　（A.A.S.）．所以　　AB＝AC　（全等三角形的对应边相等）．

于是得到：

等腰三角形的判定定理　如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

我们还可以用逻辑推理的方法得到等腰三角形的性质：

等腰三角形的性质定理　等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一”）

我们曾经通过画图、比较，发现：

如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形是全等的．现在有了等腰三角形的性质定理，就可以用逻辑推理的方法证明这个结论的正确性．

已知：

如图27.2.2，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB＝∠AˊCˊBˊ＝90°，AB＝AˊBˊ，AC＝AˊCˊ．

求证：

△ABC≌△AˊBˊCˊ．

分析　把△ABC和△AˊBˊCˊ拼在一起，使相等的直角边AC和AˊCˊ重合在一起，并使点B和Bˊ在AˊCˊ的两旁，B、C（Cˊ）、Bˊ在一条直线上．

由此图，利用等腰三角形的性质与全等三角形识别法，即可证明这两个直角三角形全等．

证明　如图27.2.2那样，把△ABC和△AˊBˊCˊ拼在一起．因为

∠AˊCˊBˊ＝∠ACB＝90°（已知），

所以　　　　　　∠BˊCˊB＝180°（等式的性质），

即点Bˊ、Cˊ、B在同一条直线上．

在△AˊBˊB中，因为

AˊBˊ＝AB＝AˊB（已知），

所以　　　　　　　　∠B＝∠Bˊ（等边对等角）．

在△ABC和△AˊBˊCˊ中，因为

∠ACB＝∠AˊCˊBˊ（已知），

∠B＝∠Bˊ（已证），

AB＝AˊBˊ（已知），

所以　　　　　　　　△ABC≌△AˊBˊCˊ（A.A.S.）．

通过上述证明，可以得到：

斜边、直角边定理如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等．简记为（H.L.）

练习1.求证：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．

2.求证：

三个角都相等的三角形是等边三角形．

2.角平分线

回　忆

我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．角平分线的这条性质是怎样得到的呢？

如图27.2.3，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB．垂足分别为点D和点E．当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折．通过观察，线段PD和PE完全重合．于是得到PD＝PE．

与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明PD＝PE．

已知：

如图27.2.3，OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．

求证：

PD＝PE．

分析　图中有两个直角三角形△PDO与△PEO，容易看出满足（A.A.S.）定理的条件．

证明　因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知），

所以　　　　　∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）．

在△PDO和△PEO中，因为

∠DOP＝∠EOP（已知），

∠PDO＝∠PEO（已证），

PO＝PO（公共边），

所以　　　　　　　　　　△PDO≌△PEO（A.A.S）．

因此　　　　　PD＝PE（全等三角形的对应边相等）．

于是就有：

定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？

我们可以通过“证明”来解答这个问题．

已知：

如图27.2.4，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．

求证：

点Q在∠AOB的平分线上．

分析　为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以画射线OQ，利用（H.L.）定理证明△QOD≌△QOE，从而得到∠AOQ＝∠BOQ．　　于是就有：

定理　到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

根据上述两条定理，我们很容易证明：

三角形三条角平分线交于一点．

试一试

从图27.2.5中可以看出，要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了．

请你完成证明．

练习1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．

2.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：

点F在∠DAE的平分线上．

3.线段的垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

如图27.2.6，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足．点P是直线MN上任意一点，连结PA、PB．现在我们用推理的方法来证明PA＝PB．

已知：

MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．

求证：

PA＝PB．

证明　因为　MN⊥AB（已知），

所以　　　　　∠PCA＝∠PCB＝90°（垂直的定义）．

在△PCA和△PCB中，因为

AC＝BC（已知），

∠PCA＝∠PCB（已证），

PC＝PC（公共边），

所以　　　　　　　　　　△PCA≌△PCB（S.A.S）．

因此　　PA＝PB（全等三角形的对应边相等）．

于是就有：

定理　线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

反过来，到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？

我们也可以用“证明”来解答这个问题．

已知：

如图27.2.7，QA＝QB．

求证：

点Q在线段AB的垂直平分线上．

分析　为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB．

于是就有：

定理到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

根据上述两条定理，我们很容易证明：

三角形三边的垂直平分线交于一点．

试一试

从图27.2.8中可以看出，要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了．

试试看，相信你一定行．

练习

1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等．

2.如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证：

BA＋DA＝BC＋DC．

3.　如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD＋AD＝BC．求证：

点D在AC的垂直平分线上．

4.逆命题、逆定理

我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题．

在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．

命题“两直线平行，内错角相等”的题设为______________________________

____________________________________________________________________；结论为______________________________________________________________．

它的逆命题为_________________________________________________．

每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题．

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．

我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．

在第19章中，我们已经学过勾股定理，即

勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

我们可以证明，勾股定理的逆命题也是正确的．

勾股定理的逆定理如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．

已知：

如图27.2.9，在△ABC中，AB＝c,BC＝a,CA＝b,且a2＋b2＝c2．

求证：

△ABC是直角三角形．

分析首先构造一个直角三角形A'B'C'，使得∠C'＝90°，B'C'＝a，C'A'＝b，然后可以证明△ABC≌△A'B'C'，从而可知△ABC是直角三角形．

做一做

设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角．

（1）7，24，25；　　　　

（2）12，35，37；

（3）35，91，84．

练习1.指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：

（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余．

（2）等边三角形的每个角都等于60°．

（3）全等三角形的对应角相等．

（4）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

2.举例说明下列命题的逆命题是假命题：

（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除．

（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．

3.在你所学过的知识中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？

试举出2对．

4.三角形ABC三边长a、b、c分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？

（1）a＝8,b＝15,c＝17;　　　　

（2）a＝2

b＝10,c＝8;

（3）a＝6,b＝8,c＝10;　　　　　（4）a＝1,b＝2,c＝

．

5.给定一个三角形的两边长分别为5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？

习题27.21.

1.如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求证：

（1）∠1＝∠2；

（2）AD⊥BC．

2.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，EF经过点D，且EF∥BC．求证：

EF＝BE＋CF．

3.如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥AO，ED⊥BO，垂足分别是C、D．求证：

∠EDC＝∠ECD．

4.如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于D．求证：

点D在AB的垂直平分线上．

5.如图，△ABD、△ACE都是等边三角形．求证：

CD＝BE．（提示：

找出分别以CD、BE为边的两个全等三角形）

6.写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题．

（1）如果x＝y，那么x2＝y2；

（2）如果一个三角形有一个角是钝角，那么它的另外两个角是锐角．

§27.3用推理方法研究四边形

1.平行四边形

在第12章中，我们已学过平行四边形的判定方法，我们也可以用逻辑推理的方法来证明这些判定方法．

平行四边形判定定理1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

已知：

四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．

求证：

四边形ABCD是平行四边形．

分析　要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等．

　　证明　如图27.3.1，连结AC．因为

AB∥CD，

所以　　　　∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．

在△ABC和△CDA中，因为

AB＝CD，

∠BAC＝∠DCA，

AC＝CA，

所以　　　　　　　　△ABC≌△CDA（S.A.S.）．

因此　　　∠BCA＝∠DAC（全等三角形的对应角相等），

BC∥DA（内错角相等，两直线平行）．

所以四边形ABCD是平行四边形．

利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．

平行四边形判定定理2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

平行四边形判定定理3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

平行四边形判定定理4　对角线互相平分的四边形是平行四边形．

同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．

平行四边形性质定理1　平行四边形的对边相等．

已知：

如图27.3.2，四边形ABCD是平行四边形．

求证：

AB＝CD，BC＝DA．

分析　要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边相等得出结论．

证明　连结AC．因为四边形ABCD是平行四边形，

所以　　　　　　　　　　　　

AB∥CD，

因此　　　∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．

同理　　　　　　　　　∠BCA＝∠DAC．

在△ABC和△CDA中，因为

∠BAC＝∠DCA，

AC＝CA，

∠BCA＝∠DAC，

所以　　　　　　　　　△ABC≌△CDA（A.S.A.），

因此　　　AB＝CD，BC＝DA（全等三角形的对应边相等）．

由△ABC≌△CDA，我们还可以得出∠B＝∠D，同样也可得出∠BAD＝∠DCB，于是可得：

平行四边形性质定理2　平行四边形的对角相等．

同样，我们也可证明：

平行四边形性质定理3　平行四边形的对角线互相平分．

例1　如图27.3.3，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF．

求证：

BF∥DE．

证明　因为四边形ABCD是平行四边形，所以

AB∥CD，

AB＝CD（平行四边形对边相等）．

因为　　　　　　　　　　AE＝CF，

所以　　　　　　　　　　　　BE＝DF．

又　　　　　　　　　　　BE∥DF，

因此四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

所以　　　　　　　　　BF∥DE．

练习1.求证：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

2.求证：

平行四边形的对角线互相平分．

3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：

EF＝BC．

2.矩形、菱形

我们知道矩形、菱形都是特殊的平行四边形，因此它们都具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．

根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：

定理矩形的四个角都是直角．

根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，而平行四边形的对边相等，因此可得：

定理菱形的四条边都相等．

我们还可以证明以下一些定理．

定理矩形的对角线相等．

已知：

如图27.3.4，四边形ABCD是矩形．

求证：

AC＝BD．

分析　由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB．

请你完成证明．

定理　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

已知：

如图27.3.5，四边形ABCD是菱形．

求证：

AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．

分析　要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．

证明　设对角线AC与BD交于点O．

因为四边形ABCD是菱形，故

AB＝AD，

即△ABD为等腰三角形．

又BO＝DO