微分与积分中值定理及其应用_精品文档Word文档下载推荐.doc

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．

柯西中值定理:

设函数和满足

（ⅰ）在[a,b]上都连续；

（ⅱ）在（a,b）内都可导；

（ⅲ）和不同时为零；

（ⅳ），

则存在，使得

．

微分中值定理的推广

罗尔定理的推广

定理1:

设函数在（a,b）内可导，且有

，则存在点

，使得．

证明：

首先对A为有限值进行论证：

令

则易知函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导且．由Rolle定理可知，在（a,b）内至少存在一点，使得，而在（a,b）内有，所以．

其次对A=（）进行论证：

由引理1，在（a,b）内能取得最小值（最大值）．不妨设：

函数在处取得最小值（最大值）．此时函数在处也就取得极小值（极大值）．又因为在处可导，由Fermat引理，可得．

综上所述，从而定理得证．

定理2:

设函数在（a,）,内可导，且，证明：

在（a,）中存在一点，使得．

定理3:

设函数在（，b）,内可导，且，证明：

在（,b）中存在一点，使得．

定理4:

设函数在（，）,内可导，且，证明：

在（,）中存在一点，使得．

朗格朗日中值定理的推广

定理5:

如果函数满足条件：

在开区间（a,b）上可导且存在，则在（a,b）内至少存在一点，使得．

柯西中值定理的推广

定理6:

如果函数f（x）和F（x）满足条件：

①都在有限区间（a,b）内可导；

②

③

则在（a,b）内至少有一点，使得

作辅助函数A（x）,B（x）,并且令

则A（x）,B（x）在闭区间[a,b]上连续，开区间（a,b）内可导,

且对由Cauchy中值定理可知，至少有一点使得

又当时,

∴

即：

1.2积分中值定理

积分中值定理:

若在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得

.

积分中值定理的推广

推广的积分第一中值定理:

若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得

第一型曲线积分中值定理:

若函数在光滑有界闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使。

其中表示曲线的长。

第二型曲线积分中值定理:

若函数在有向光滑闭曲线上连续，则在曲线上至少存在一点，使

其中为有向光滑曲线在轴上的投影，符号是由曲线的方向确定。

第一型曲面积分中值定理:

若为平面上的有界闭区域，是光滑曲面，函数在上连续，则曲面上至少存在一点，使得

其中是曲面的面积。

第二型曲面积分中值定理:

若有光滑曲面：

，，其中是有界闭区域，函数在上连续，则在曲面上至少存在一点，使得

其中是的投影的面积。

3微积分中值定理的应用

3.1证明方程根（零点）的存在性

例1：

设函数和在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点，使得．

令，则

，又有

，．易知在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，故运用Lagrange中值定理可得，存在一点，使得，

即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证．

例2:

设函数和在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，且在闭区间[a,b]上，有意义，．则在（a,b）内存在一点，使得．

令，，易知和在区间[a,b]上满足Cauchy中值定理条件，故有，

即，所以在（a,b）内存在一点，使得，故定理得证．

设为三个实数，证明：

方程的根不超过三个.

令，

则，，.

用反证法，设原方程的根超过程3个，那么F（x）至少有4个零点，

不妨设为，

那么有罗尔定理，存在,使

，

再用罗尔定理，存在,使,

因为,所以,矛盾，所以命题得证.

例2：

设函数在上连续，且。

证明：

一个，使。

令，显然在上连续。

可知在上满足零值定理。

故一个，使。

即

例3：

设实数满足关系式：

。

在内至少有一个实根。

显然在上连续，在内可导，

又，，故罗尔定理成立。

于是，使，

即：

故命题得证。

例4：

设在上连续。

，。

一个，使

在上连续，有最值定理有：

分别为在上最小最大值，于是：

，

，

由介值定理，一个，使

例5：

若在上连续，在内可导，证明在内方程至少存在一根。

证明:

显然在上连续,在内可导，

而.

根据Rolle定理,至少存在一点，

使.

例6：

设在，在，证明：

在内存在一点，

使成立。

，则在，在，

由Lagrange定理，存在一点，使，

即，

即

例7：

设在，在，证明:

令，对，在上运用Cauchy定理，

得，

即.

例8：

证明方程在（0，1）内至少有一个根。

（p46,209）

例9:

设抛物线与x轴有两个交点x=a,x=b（a<

b），函数f在[a,b]

上二阶可导，f（a）=f（b）=0,并且曲线y=f（x）与在（a,b）内

有一个交点，证明：

存在使得（p46,209）

例10证明：

方程有且仅有三个实根（p46,211）

3.2进行估值运算

估计的值.

解：

由推广的积分第一中值定理,得

其中

因为

所以

即

故

估计的积分

由于

于是

此时可得到估计的积分值为

3.3证明函数的单调性

例1；

设函数在上可导，单调增加且，证明在上单调增加.

设函数在上连续，,试证：

在内,若为非减函数，则为非增函数.

对上式求导，得：

利用积分中值定理，得：

若为非减函数，则，

，故为非增函数。

3.4求极限

求。

对函数在区间

上应用拉格朗日中值定理即可。

求，其中。

根据题意，由Lagrangge定理，有

其中，

求极限

利用广义积分中值定理

则

3.5证明不等式

求证

其中,于是由即可获证.

证明.

估计连续函数的积分值的一般的方法是求在的最大值和最小值,则

.

证明

估计积分的一般的方法是:

求在的最大值和最小值,又若,则

本题中令

.

证明.

在区间上求函数的最大值和最小值.

令,得驻点.

比较,,知为在上的最小值,而为在上的最大值.由积分中值定理得

3.6推广定理的应用

设在上可得，且，证明：

，使得

问题相当于要找，使，因函数在内可导，故，即

又，即

由定理4知，使得，即题目得证。

．

设在[a,b]上连续（），在（a,b）上可导，证明存在一点，使得．

证：

根据定理7，令，那么，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得．

设a,b>

0，证明存在一点，使得．

根据定理7，令，，那么，，则存在一点，使得，即，故存在一点，使得．

若是柱准面上的部分，是上的连续函数，则

设是在平面的上半部分，为在平面的下半部分，则。

由积分区间的可加性，有：

由于函数在：

上的部分上连续，所以函数在上连续，根据广义Riemann积分中推广，在上至少存在一点，使·

其中表示在平面上的投影区域的面积，由于关于平面对称，所以对上述，对应点，又与的方向相反，故有：

·

其中表示在平面上的投影区域的面积，又由于关于平面对称，所以有＝，。

所以有：

＝[·

－·

＝0

证明完毕。

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