任意角的三角函数及诱导公式学生版_精品文档Word文档下载推荐.docx
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弧度.
⑤弧长公式:
,扇形面积公式:
.
2.任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数定义:
设为角终边上异于原点一点,则角的正弦、余弦、正切分别是:
,,
特别地,当时,,
(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
3.三角函数线
设角的顶点在坐标原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点,过作垂直于轴于.由三角函数的定义知,点的坐标为,即,其中,,单位圆与轴的正半轴交于点,单位圆在点的切线与的终边或其反向延长线相交于点,则.我们把有向线段叫做的余弦线、正弦线、正切线.
三角函数线
(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ)
有向线段MP为正弦线;
有向线段OM为余弦线;
有向线段AT为正切线
4.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:
.
(2)商数关系:
5.九组诱导公式
角
函数
对于角“”的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;
当为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在的三角函数值前面加上当为锐角时,原函数值的符号”.
【课前小练】
1.已知角的顶点为坐标原点,始边为轴的正半轴,若是角终边上一点,且,则_____________
2.若,,则
A.B.C.D.
3.已知,那么()
A.B.C.D.
【例题解析】
考点一 任意角的三角函数值
例1已知角的终边过点,求这个角的三个三角函数值。
变式1已知角的终边在直线上,求的值.
考点二 三角函数线、三角函数值的符号
例2已知,那么角是()
A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角
例3函数的值域是()
A.{-1,1}B.{-1,1,3}C.{-1,3} D.{1,3}
例4已知,则下列命题成立的是()
A.若、是第一象限角,则B.若、是第二象限角,则
C.若、是第三象限角,则D.若、是第四象限角,则
变式2的值()
A.大于 B.小于C.等于 D.不确定
例5已知,求角的集合.
变式3的定义域为________.
考点三 扇形弧长、面积公式的应用
例6半径为,圆心角为所对的弧长为()
. . . .
例7
(1)一个半径为的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?
扇形的面积是多少?
(2)一扇形的周长为;
当扇形的圆心角等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
变式4已知一扇形的圆心角为,所在圆的半径为.
(1)若,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
(2)若扇形的周长是一定值,当为多少弧度时,该扇形有最大面积?
考点四 同角三角函数的关系
题型一:
的相互转化
知一求二是基础
例8若,,则()
A.B.C.D.
例9
(1)已知,且为第三象限角,求的值;
(2)已知,求的值;
(3)已知,求值:
①;
②.
变式5已知为某三角形的一内角,且,求,,的值.
变式6已知,求下列各式的值:
②;
③
变式7已知,那么的值为 ()
A.-2 B.2 C. D.-
题型二:
的运用
常用思路1:
构建齐次式
常用思路2:
的转化
例10已知,则的值为( )
A. B. C. D.
变式8
(1)若角是第二象限角,化简;
(2)化简:
变式9
(1)若,且,则_____
(2)若是三角形的内角,且,试判断三角形的形状;
考点五 诱导公式
题型一利用诱导公式化简求值
例11已知()
A.B.C.D.
变式10已知,则__________;
例12,,的值为()
A. B. C. D.—
变式11,且是第四象限的角,那么______
变式12已知,则
变式13已知:
,求值
变式14化简:
;
变式15若,则____________.
题型二利用诱导公式求任意角的三角函数
负角变正,大角变小,小变锐角
例13的值为( )
A.B.C.D.
变式16化简的结果是()
A.B.C.D.
变式17的值为 ( )
A. B. C. D.
变式18计算题:
【课后练习】
1.已知,那么角θ是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
2.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 ( )
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4
3.(吴家山中学·
难度C)已知,则下列命题成立的是()
A.若、是第一象限角,则
B.若、是第二象限角,则
C.若、是第三象限角,则
D.若、是第四象限角,则
4.(课本改编题)若,则()
A.B.C.D.
5.已知角α的顶点在原点,始边与x轴正半轴重合,点P(-4m,3m)(m>
0)是α终边上一点,则2sinα+cosα=________.
6.函数y=的定义域为________.
7.在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围,并由此写出角的集合:
(1)
(2)
8.已知:
,求证:
8