有限维线性空间的分解Word文档下载推荐.docx
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论文指导教师签名：
1引言与预备知识
1
2有限维线性空间的分解
2
2.1按子空间的直和分解
2.2按生成子空间分解
3
2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解
4
2.4按根子空间分解，即准素分解
6
2.5按
循环子空间分解
7
2.6按线性变换的
标准形分解
9
参考文献
…………….....……………….…….12
周吉强
（天水师范学院，数学与统计学院,甘肃，天水，741000）
摘要总结了有限维线性空间按子空间、生成子空间、特征子空间、根子空间、
循环子空间以及线性变换的Jordan标准形等分解方法，并通过具体的例子加以说明.
关键词线性空间;
直和分解；
子空间；
生成子空间；
根子空间；
循环子空间；
线性变换
Decompositionoffinite-dimensionallinearspace
JiqiangZhou
（SchoolofMathematicsandStatistics,TianshuiNormalUniversity,Tianshui741000）
AbstractInthispaper,wesummarydecompositionmethodsoffinitedimensionalLinearspacebysubspace,generatingsubspace,propersubspace,androotspace,
-cyclicsubspaceand
standardfromoftransformation,weexplainforthesixdecompositionmethodsbyconcreteexamples.
KeywordsLinearspace,straightanddecomposition,subspace,generatingsubspace,rootspace,cyclicsubspace,lineartransformation
1引言与预备知识
线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念.子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象，证明困难，但仍然有规律可循.只要掌握了方法，便能得心应手.
定义1.1
设
与
是有限维线性空间
的两个子空间，如果
的和
中每个元素的分解式是惟一的，则称这个和为直和.
定义1.2
是数域
上的
维线性空间，
为
的一组基.在该基下的矩阵为
，则有
是
的特征值，令
则
的子空间，且称其为
的属于特征值
的特征子空间.
定义1.3
设线性变换
的特征多项式为
，它可以分解成一次因式的乘积
可分解成不变子空间的直和
，
其中
称为属于
的根子空间.
定理1.1
的两个子空间,那么下列命题等价
（1）
;
（2）零向量的分解式是惟一的；
（3）
（4）
.
定理1.2
复数域上有限维线性空间
的每一个线性变换都有
标准形，并且这个
标准形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外，是被线性变换唯一决定的.
线性变换的
标准形的求法具体如下：
（1）首先用初等变换化特征矩阵
为对角形式，然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按出现的次数计算）就是
的全部初等因子.
（2）每一个初等因子
对应一个若而当块
（3）
就是
的
标准形.
2有限维线性空间的分解
2.1按子空间的直和分解
在判定两个子空间
的和是直和是应熟练应用直和的等价条件，其中最常用的是
如果要证明线性空间
可以分解成子空间
的直和时，先任取
证明
则有
再任取
证
.于是
例2.1.1
已知
的两个子空间
证明
证明对任意的
，有
其中
.容易验证
所以
即有
对任意的
则
故
2.2按生成子空间分解
定义2.2.1
是线性空间
中的一组向量，不难看出，这组向量所有的线性组合
所成的集合是非空的.而且对两种运算封闭，因而是
的一个子空间.这个子空间叫做由
生成的子空间，记为
例2.2.1
证明：
数域
上任意一个
维线性空间
可以表示成
个1维子空间的直和.
证明在线性空间
中取一个基
，则
由于
因此
是直和，于是
2.3按特征子空间分解，即按可对角化的线性变换分解
如果
可以写成两个非平凡子空间
的直和：
那么任选
的一个基
和
凑成
的一个基.当
都在线性变换
之下不变时，
关于这样选取的矩阵是
是一个
阶矩阵，它是
关于基
的矩阵，
的矩阵.
由此可知，矩阵分解为准对角形与
分解为不变子空间的直和是相当的.
上述的讨论说明对于
的一个线性变换
，如果能将
分解成若干个
子空间的直和，则可以适当的选取
的一个基，使
在这个基下的矩阵有比较简单的形状（准对角形）.
特别的如果能将
分解成若干个一维
在这个基下的矩阵是对角形.这个命题的逆命题也是成立的.即
可以对角化的充分必要条件是
可以分解成若干个一维
子空间的直和.
例2.3
的线性变换，使得
求
解取
同样有
于是
在基
下的矩阵为
特征值为
.矩阵
的属于特征值
的线性无关的特征向量是
所以线性变换
的特征子空间是
，同理可求属于特征值
2.4按根子空间分解，即准素分解
定理2.4
（空间准素分解）设数域
上线性空间
的线性变换
的最小多项式为
为数域
上的首一不可约多项式，互异，
为正整数，则
是A的不变子空间，且
注1：
上述定理中
的特征多项式
，且
=
对某正整数成立.
例2.4
考虑4维线性空间
中由矩阵
决定的线性变换
：
任意
的直和分解问题.其中
此时，线性变换
.
它在实数域
上只有特征值
在
上不可约.由分解定理可以直接算出
；
容易验证，
的一组基.
显然
的直和.
循环子空间分解
定义2.5.1
维向量空间
的一个线性变换.子空间
叫做关于
的一个循环子空间，简称
循环子空间.如果存在一个非零向量
和一个正整数
，使得
构成
的一个基；
这时
叫做循环子空间
的一个生成向量，而
叫做
的一个循环基.
定理2.5.1
的一个幂零线性变换，那么向量空间
可分解成
循环子空间的直和
令
我们有
注定理2.5.1中循环子空间维数序列
是唯一确定的.
定理2.5.2
每一个幂零矩阵都与一个形如
的矩阵相似，这里每一个
阶幂零若尔当块，
的每一个幂零线性变换
可以分解成一些
循环子空间
的直和.于是在每一个子空间
内选取一个循环基，凑起来成为
的一个基，
关于这个基的矩阵有形状
例2.5.1
的一个幂零线性变换，则
解由初等变换把
化为对角
矩阵并求出它的初等因子组为
.因此
标准形为
因为
，故先计算
.注意到
是分块对角矩阵，它的
次方等于将各对角块
次方.因此
标准形分解
定理2.6.1
的一个线性变换，
的互不相同的特征值，那么存在
的一个基，使得
关于这个基的矩阵有如下形状
，
这里
，而
都是属于
的若尔当块，
由于线性变换
的一个
基是线性空间
的一个基，它使得
在这个基下的矩阵为
形矩阵.
当我们已经求出
标准形
之后，为了求出
基.只要把原来的基到
基的过渡矩阵
求出即可.
由于J=
，所以
是矩阵方程
的解并且为可逆矩阵.
，则上述方程是含有
个未知量
的由
个方程
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