高等数学同济大学版课程讲解11映射与函数Word格式.docx

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函数的概念，函数的各种性态.

教学难点：

反函数、复合函数、分段函数的理解.

五、教学方法及手段：

启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：

1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，

高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：

习题1–13

（1），6（4）（7），9

（1）

八、授课记录：

授课日期

班　　次

九、授课效果分析：

第一章函数与极限

第一节映射与函数

高等数学研究的主要对象是函数.为了准确而深刻地理解函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的.本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.

一、集合

1.集合的概念

集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；

自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．

通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；

用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，则称a属于A，记作a∈A；

否则称a不属于A，记作aA（或aA）．

含有有限个元素的集合称为有限集；

不含任何元素的集合称为空集，用表示；

不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；

全体实数组成的集合是无限集；

方程+1=0的实根组成的集合是空集．

集合的表示方法：

一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N={1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A记作

A={x｜x具有性质p（x）}．

例如，正整数集N也可表示成N={n｜n=1，2，3，…}；

又如A={（x，y）｜+=1，x，y为实数}表示xOy平面单位圆周上点的集合．

2.集合的运算

设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作AB（或BA）；

若AB，且有元素a∈b，但aA，则说A是B的真子集，记作AB．对任何集A，规定A．若AB，且BA，则称集A与B相等，记作A=B．

由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即

A∪B={x｜x∈A或x∈B}．

由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即

A∩B={x｜x∈A且x∈B}．

由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即

A\B={x｜x∈A但xB}．

如图1-1所示阴影部分．

图1-1

在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集（或余集），记作．

集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:

设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：

（1）交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；

（2）结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C），

（A∩B）∩C=A∩（B∩C）；

（3）分配律（A∪B）∩C=（A∩C）∪（B∩C），

（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C），

（A\B）∩C=（A∩C）\（B∩C）；

（4）幂等律A∪A=A，A∩A=A；

（5）吸收律A∪=A，A∩=．

设Ai（i=1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：

（1）若AiC（i=1，2，…），则C；

（2）若AiC（i=1，2，…），则C．

设X为基本集，Ai（i=1，2，…）为一列集合，则

=，=．

3.区间与邻域

（1）区间

设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）={x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a（a，b）且b（a，b）．

类似地，称数集［a，b］={x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．

称数集［a，b）={x｜a≤x＜b}和（a，b］={x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．

以上这些区间都称为有限区间．数b－a称为区间的长度．此外还有无限区间：

（-∞，+∞）={x｜-∞＜x＜+∞}=R，

（-∞，b］={x｜-∞＜x≤b}，

（-∞，b）={x｜-∞＜x＜b}，

［a，+∞）={x｜a≤x＜+∞}，

（a，+∞）={x｜a＜x＜+∞}，

等等．这里记号“-∞”与“+∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”．

（2）邻域

设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集{x｜x0-δ＜x＜x0+δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图1-2）．

图1-2

称U（x0，δ）-{x0}为x0的去心δ邻域，记作（x0,δ）={x｜0＜｜x-x0｜＜δ},

记（x0-,δ）={x｜x0-δ＜x＜x0},（x0+,δ）={x｜x0＜x＜x0+δ},它们分别称为x0的去心左δ邻域和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），（x0）分别表示x0的某邻域和x0的某去心邻域。

二、映射

1．映射的定义

定义1设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素x，按照某种确定的法则f，在B中有惟一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f：

A→B，

称y为x在映射f下的像，x称为y在映射f下的原像．集合A称为映射f的定义域，A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作Rf或f（A），即

Rf=f（A）={y｜y=f（x）,x∈A}．

定义中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A）B．

映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则．定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现．

例1设A表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B表示该校一年级学生学号的集合，f表示编号方法，于是确定了从A到B的一个映射f∶A→B．

例2设A={1，2，…，n，…}，B={2，4，…，2n，…}．

令f（x）=2x，x∈A，则f是一个从A到B的映射．

例3设A=［0，1］，B={（x，y）｜y=x，x∈A}，如图1-3所示．令f∶x｜→（x，x），x∈A，

则f是一个从A到B的映射．

图1-3

设有映射f∶A→B，若B=f（A）={f（x）｜x∈A}，则称f是满射．若f将A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）,则称f是单射．若f既是满射又是单射，则称f是从A到B的一一映射．若A与B之间存在一一映射，则称A与B是一一对应的．上面的例1，例2与例3的两个集合都是一一对应的．

2.复合映射

定义2设有映射g∶A→B，f∶B→C，于是对x∈A有

xu=g（x）y=f（u）=f［g（x）］∈C．

这样，对每个x∈A，经过u∈B，有惟一的y∈C与之对应，因此，又产生了一个从A到C的新映射，记作∶A→C，即（）（x）=f［g（x）］，x∈A，

称为f与g的复合映射,如图1-4所示．

图1-4

3.逆映射

定义3设有映射f∶A→B，B=f（A），若存在一个映射g∶B→A，对每个y∈B，通过g，有惟一的x∈A与之对应，且满足关系f（x）=y，则称g是f的逆映射，记作g=f-1．

若映射f：

A→B是一一映射，则f必存在一个从B到A的逆映射f-1．

三、函数

1.函数的概念

定义4设A，B是两个实数集，将从A到B的映射f：

A→B称为函数，记作y=f（x），

其中x称为自变量，y称为因变量，f（x）表示函数f在x处的函数值，A称为函数f的定义域，记作；

f（A）={y｜y=f（x），x∈A}B称为函数f的值域，记作．

通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y=f（x），x∈A”表示函数，此时应理解为“由对应关系y=f（x）所确定的函数f”．

从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{（x，y）｜y=f（x），x∈}称为函数y=f（x）的图像（如图1-5所示）．函数y=f（x）的图像通常是一条曲线，y=f（x）也称为这条曲线的方程．这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；

相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨．

图1-5

例４求函数y=+的定义域．

解要使数学式子有意义，x必须满足即由此有1＜x≤2，因此函数的定义域为（1，2］．

有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数．下面给出一些今后常用的分段函数．

例５绝对值函数y=｜x｜=的定义域=（-∞，+∞），值域=［0，+∞］，如图1-6所示．

例６符号函数y=sgnx=的定义域=（-∞，+∞），值域={-1，0，1}，如图1－7所示．

图1-6图1-7

例７取整函数y=［x］，其中［x］表示不超过x的最大整数．例如，［-］=-1，

［0］=0，［］=1，［π］=3等等．函数y=［x］的定义域=（-∞，+∞），值域={整数}．一般地，y=［x］=n，n≤x＜n+1，n=0，±

1,±

2,…,如图1-8所示．

图1-8

2.复合函数与反函数

（1）复合函数

定义5设函数的定义域为，值域为；

而函数的定义域为，值域为，则对任意，通过有惟一的与对应，再通过又有惟一的与对应．这样，对任意，通过，有惟一的与之对应．因此是的函数，称这个函数为与的复合函数，记作

，，

称为中间变量．

两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形．

例如，y=xμ=（a＞0且a≠1）可看成由指数函数y=au与u=μlogax复合而成．

例８设f（x）=（x≠-1）,求f（f（f（x）））

解令，则y=f（f（f（x）））是通过两个中间变量w和u复合而成的复合函数，因为

==，x≠-；

==,x≠-，

所以f（f（f（x）））=，x≠-1,-,-．

（2）反函数

定义6设A，B为实数集，映射f：

A→B的逆映射f-1称为y=f（x）的反函数．即：

若对每个y∈B，有惟一的x∈A，使y=f（x），则称x也是y的函数，记作f-1，即x=f-1（y），并称它为函数y=f（x）的反函数，而y=f（x）也称为反函数x=f-1（y）的直接函数．

从几何上看，函数y=f（x）与其反函数x=f-1（y）有同一图像．但人们习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数x=f-1（y）．常改写成y=f-1（x）．今后，我们称y=f-1（x）为y=f（x）的反函数．此时，由于对应关系f-1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y=f-1（x）与直接函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称，如图1-9所示．

图1-9

值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y=x2的定义域为（-∞，+∞），值域为［0，+∞），但对每一个y∈（0，+∞），有两个x值即x1=和x2=-与之对应，因此x不是y的