备战数学一轮复习热点难点专题12让抽象函数不再抽象.docx

备战数学一轮复习热点难点专题12让抽象函数不再抽象.docx

《备战数学一轮复习热点难点专题12让抽象函数不再抽象.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战数学一轮复习热点难点专题12让抽象函数不再抽象.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

备战数学一轮复习热点难点专题12让抽象函数不再抽象

专题12让抽象函数不再抽象

考纲要求:

抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识.

函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考查.

函数的周期性要紧扣周期函数的定义.要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.

函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是中心对称.

基础知识回顾:

一、解析式问题：

1.换元法：

即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

2.凑配法：

在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。

3.待定系数法：

先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

4.利用函数性质法:

主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.

5、方程组法：

通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。

二、求值问题

三、定义域问题

四、值域问题

五、判断函数的奇偶性：

六、单调性问题

一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）

八、对称性问题

九、周期问题

十.四类抽象函数解法

1、线性函数型抽象函数

线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。

2、指数函数型抽象函数

3、对数函数型抽象函数

对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。

4、幂函数型抽象函数

幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

应用举例:

招数一：

赋值法

【例1】【河南省南阳市第一中学2018届高三实验班第一次考试】为定义在上的不等于0的函数，，且任意，有，则下列式子中成立的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

招数二：

函数的奇偶性和单调性的应用

【例2】定义在上的单调递减函数:

对任意都有，．

（Ⅰ）判断函数的奇偶性，并证明之；

（Ⅱ）若对任意，不等式（为常实数）都成立，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，，．

若，，比较的大小并说明理由．

【答案】（Ⅰ）为上的奇函数；证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）；

（Ⅰ）解:

为上的奇函数

证明：

取得

∴

取得

即：

对任意都有

∴

∴为上奇函数

（Ⅱ）∵

∴

∵在上单减

∴在上恒成立

∴

∴在上恒成立

在上恒成立

∴当时，

∴

即

同理：

∴。

招数三：

抽象函数的周期性

【例3】【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】设定义在上的函数满足，若，则=__________．

【答案】.

考点：

函数的周期性.

招数四：

抽象函数综合题目

【例4】【湖北省荆州中学2018届高三第二次月考】已知函数满足：

①对任意的，都有；②对任意的都有.则______________．

【答案】66

实战演练:

1．已知定义在上的函数满足，且，则（）

A.2B.－2C.1D.－1

【答案】A

【解析】,,函数的周期为，故，故选A.

2．已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（　　）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】∵奇函数满足f

（2）=0,

∴f（−2）=−f

（2）=0.

对于{x|f（x−2）>0},当x−2>0时,f（x−2）>0=f

（2），

∵x∈（0,+∞）时,f（x）为减函数，

∴0

∴2

当x−2<0时,不等式化为f（x−2）<0=f（−2），

∵当x∈（0,+∞）时,f（x）为减函数，

∴函数f（x）在（−∞,0）上单调递减，

∴−2

综上可得：

不等式的解集为{x∣0

故选D.

3．设函数f（x）的定义域为（－3,3），

满足f（－x）＝－f（x），且对任意x，y，都有f（x）－f（y）＝f（x－y），当x<0时，f（x）>0，f

（1）＝－2.

（1）求f

（2）的值；

（2）判断f（x）的单调性，并证明；

（3）若函数g（x）＝f（x－1）＋f（3－2x），求不等式g（x）≤0的解集．

【答案】

（1）f

（2）＝－4；

（2）见解析；（3）（0,2].

（3）由g（x）≤0得f（x－1）＋f（3－2x）≤0，

所以f（x－1）≤－f（3－2x）．

又f（x）满足f（－x）＝－f（x），

所以f（x－1）≤f（2x－3），

又f（x）在（－3,3）上单调递减，

所以解得0

故不等式g（x）≤0的解集是（0,2]．

点睛：

本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域（－3,3）.

4．【山东省寿光现代中学2018届高三上学期开学考试】已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立.

（1）判断在上的单调性，并证明它；

（2）解不等式.

【答案】

（1）是定义在上的增函数.

（2）

【解析】【试题分析】

（1）运用单调性的定义：

任取，且，则，借助已知可得，即，由于，所以，则是上的增函数；

（2）借助

（1）的结论将不等式不等式化为，通过解不等式使得问题获解：

（2）由

（1）可得在递增，可得不等式，即为，即，解得.则解集为.

点睛：

本题旨在考查函数的奇偶性、单调性等基本性质及综合运用。

求解第一问时，先运用单调性的定义任取，且，求差，借助已知可得，即确定，由于，所以，则是上的增函数；解答第二问时，先借助

（1）的结论将不等式不等式化为，再通过解不等式组使得问题获解。

5．设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：

①对任意正数，都有；②当时，；③.

（1）求，的值；

（2）证明在上是减函数；

（3）如果不等式成立，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ））.

（Ⅱ）

∴

∴在上为减函数．

（Ⅲ）由条件

（1）及（Ⅰ）的结果得：

，其中，

由（Ⅱ）得：

，解得的范围是）

点晴：

本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.

6．【河南省南阳市第一中学2018届高三第一次考试】设是定义域为上的奇函数且在上为增函数.

（1）若，，试判断的符号；

（2）若，解关于的不等式.

【答案】

（1）

（2）

试题解析：

解：

（1）∵，，∴，一正一负.

不妨设，，则.取，

∵函数在上为增函数，

则；取，同理，∴.

又函数在上为奇函数，

∴，∴.

7．【河南省郑州外国语学校2018届高三上学期第一次月考】已知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①、是定义域中的数时，有；

②是定义域中的一个数）；

③当时，．

（1）判断与之间的关系，并推断函数的奇偶性；

（2）判断函数在上的单调性，并证明；

（3）当函数的定义域为时，

①求的值；②求不等式的解集．

【答案】

（1）略

（2）在上是增函数；

（3），不等式的解集是．

8．已知函数是定义在上的增函数，对于任意的，都有，且满足.

（1）求的值；

（2）求满足的的取值范围.

【答案】

（1），；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）根据已知条件，只需取，便可求出f

（1）；取，便可求出f（4）．

（2）根据已知条件可以得到：

，根据已知的条件解这个不等式即可．

试题解析：

（1）取，得，则

取，得，则

（2）由题意，，故解得，

点睛：

本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中的易错点是容易忽视定义域.

9．定义在上的函数对任意的，满足条件：

，且当时，.

（1）求的值；

（2）证明：

函数是上的单调增函数；

（3）解关于的不等式.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

【解析】试题分析：

（1）因为定义在R上的函数，令令,可得.

（2）抽象函数的单调性一般用定义证明，，只需判断与1的大小比较。

（3）由

（1）可知,所以不等式变形为f（0）,又由

（2）知是上的单调增函数，所以。

（Ⅱ）证明：

设，，则，

由题意知，，

所以

，

即，

所以函数是R上的单调增函数．

（Ⅲ）解：

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知函数是R上的单调增函数，且，

不等式，即，源:

]

故，解得.

所以不等式的解集为.

10．定义在上的函数对任意的，满足条件：

，且当时，.

（1）求的值；

（2）证明：

函数是上的单调增函数；

（3）解关于的不等式.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）.

（Ⅱ）证明：

设，，则，

由题意知，，

所以

，

即，

所以函数是R上的单调增函数．