二次函数知识点总结和题型总结文档格式.docx
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对称轴
性质
向上
轴
时,随的增大而增大；
时，随的增大而减小；
时，有最小值．
向下
时，随的增大而减小;
时，有最大值.
2.的性质：
上加下减。
时，随的增大而增大；
时,随的增大而减小；
时,有最小值．
3. 的性质:
左加右减。
X＝h
时，随的增大而增大;
时,随的增大而减小;
时，有最小值.
X=h
时,随的增大而增大;
时,有最大值．
4．的性质:
X=ｈ
时,有最小值.
时,有最大值.
二次函数的对称轴、顶点、最值
（技法:
如果解析式为顶点式y=a（ｘ－h）２+ｋ,则最值为ｋ；
如果解析式为一般式ｙ=ax2＋bx+c则最值为）
１.抛物线y＝２x２+４x+ｍ2－m经过坐标原点,则m的值为 。
2．抛物y=x2+bｘ+c线的顶点坐标为（1,3）,则ｂ＝ ，c＝ .
3．抛物线ｙ=x2+3x的顶点在（ ）
ﻩＡ.第一象限B.第二象限C．第三象限D.第四象限
4.若抛物线ｙ=ａx2－6x经过点（２，０）,则抛物线顶点到坐标原点的距离为（）
ﻩA. Ｂ. C. Ｄ.
5．若直线y＝ａｘ＋b不经过二、四象限,则抛物线y=ａｘ2＋bx＋c（）
ﻩA．开口向上,对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是ｙ轴
C．开口向下,对称轴平行于y轴 D．开口向上,对称轴平行于y轴
6．已知二次函数ｙ=ｍx2+（m-1）x+m-１有最小值为0,则m= 。
三、二次函数图象的平移
１． 平移步骤:
方法一:
⑴将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标;
⑵保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移；
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二:
⑴沿轴平移：
向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：
向左（右）平移个单位,变成（或）
函数y=ａx2+bｘ＋c的图象和性质例题:
１.抛物线y=x２+４ｘ+9的对称轴是 。
２.抛物线y=２ｘ2-12x＋2５的开口方向是 ,顶点坐标是 。
3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标:
（1）y=x2－2ｘ＋1;
（2）y=-3x2＋8x－2;
（3）y＝-ｘ2+x－4
４、把抛物线y=x2+bｘ+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得
图象的解析式是y=ｘ2－3x＋５，试求b、c的值。
5、把抛物线y=-2x２+4ｘ＋1沿坐标轴先向左平移２个单位,再向上平移3个单位，
问所得的抛物线有没有最大值,若有，求出该最大值；
若没有，说明理由。
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点:
开口方向,对称轴,顶点，与轴的交点，与轴的交点．
六、二次函数的性质
1.当时，抛物线开口向上,对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，有最小值.
2．当时，抛物线开口向下，对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而增大;
当时，随的增大而减小;
当时,有最大值．
例题：
函数y=a（x－h）2的图象与性质
１.填表：
抛物线
2．试说明函数y=（x-3）２ 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增
减性、最值）。
3．二次函数y=a（ｘ-h）2的图象如图：
已知a=,OA=OＣ,试求该抛物线的解
析式。
二次函数的增减性
1.二次函数y=３x２-6ｘ＋5,当x＞1时,y随x的增大而 ;
当x＜1时，y
随x的增大而 ；
当ｘ=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4ｘ2-mx＋５,当ｘ＞－2时,ｙ随x的增大而增大；
当x＜ -2时,y
随x的增大而减少;
则ｘ=１时,ｙ的值为 。
3.已知二次函数y=ｘ2-（m+1）x+1,当x≥1时，y随ｘ的增大而增大,则ｍ的取值范围是．
４．已知二次函数ｙ＝-x2＋3x+的图象上有三点A（x1,y１）,B（x2,y2）,Ｃ（x３,y3）且3<
x1＜ｘ２<
ｘ３，则y1,y２,y３的大小关系为 .
七、二次函数解析式的表示方法
１.一般式：
（，,为常数,）;
2．顶点式:
（,,为常数,）;
３．两根式:
（,，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意:
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点,即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
１.二次项系数
二次函数中,作为二次项系数，显然.
⑴当时,抛物线开口向上，的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大；
⑵当时,抛物线开口向下,的值越小，开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小．
２．一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴.
⑴在的前提下,
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,，即抛物线的对称轴就是轴；
当时,，即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时，,即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．
的符号的判定:
对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”
总结:
３.常数项
⑴当时,抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置.
总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
函数的图象特征与a、b、c的关系
１．已知抛物线y=ax２+bｘ+ｃ的图象如右图所示，则ａ、b、c的符号为（）
Ａ.ａ>
0,b＞0,c>
０ﻩﻩB．a>
０,ｂ>
０,c=０
C.ａ＞0，b<
0,c=0ﻩﻩD.a>
0，b<
０,c<
0ﻩ
2.已知抛物线y=ax２+bx+c的图象２如图所示,则下列结论正确的是（）
ﻩA.ａ+b＋c>
0ﻩﻩB.ｂ>
-２ａ
C.a-ｂ+c>
０ﻩD．c<
0
3.抛物线y=ax2＋bx＋c中,b＝4a,它的图象如图3,有以下结论:
①c>
0;
②a＋b+ｃ>
0③ａ－b+ｃ>
0④ｂ２-4ac<
0ﻩ⑤ａｂc<
０;
其中正确的为（ ）
Ａ．①②ﻩB.①④C．①②③ﻩﻩD．①③⑤
4.当b<
0是一次函数ｙ=ax+b与二次函数ｙ=ax2＋bx＋c在同一坐标系内的图象可能是（ ）
5.已知二次函数y＝ax2＋ｂx+c，如果a＞b＞ｃ，且a+b+ｃ=0,则它的图象可能是图所示的（ ）
6．二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象如图5所示,那么aｂc,b2-4aｃ,２a＋b,
ａ＋b＋c四个代数式中，值为正数的有（）
A.4个 Ｂ.３个C．2个 D.1个
7.在同一坐标系中,函数y=ax2+c与y= （a<
ｃ）图象可能是图所示的（ ）
A Ｂ C D
8.反比例函数y=的图象在一、三象限，则二次函数y=kx2-k２x-1c的图象大致为图中的（）
A Ｂ C D
9.反比例函数y=中,当ｘ>
０时,y随x的增大而增大,则二次函数ｙ＝ｋx2+２kx的图象大致为图中的（ ）
Ａ B C Ｄ
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式;
3．已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．
函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时,通常设解析式为一般式y=ａx2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（０，３）、B（１,3）、C（-1,1）三点,求该二
次函数的解析式。
2．已知抛物线过A（１，0）和B（4，0）两点，交ｙ轴于C点且ＢC＝5,求该二
次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标,或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时,通常设解析式为顶点式ｙ＝a（ｘ－h）２＋k求解。
３．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，-6），且经过点（２,－8）,求该二
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3）,且经过点P（2，0）点，求二
次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a（x-x１）（x-x２）。
5．二次函数的图象经过A（-１,0）,Ｂ（3，０）,函数有最小值-８,求该二次
函数的解析式。
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
１. 关
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