第二章 专题强化四 动态平衡问题 平衡中的临界极值问题.docx

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第二章专题强化四动态平衡问题平衡中的临界极值问题

专题强化四　动态平衡问题　平衡中的临界、极值问题

目标要求　1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.2.会分析平衡中的临界与极值问题．

题型一　动态平衡问题

1．动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态．

2．常用方法

（1）解析法

对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变量与自变量的函数表达式（通常为三角函数关系），最后根据自变量的变化确定因变量的变化．

（2）图解法

此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况．一般按照以下流程分析：

（3）相似三角形法

在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例求解（构建三角形时可能需要画辅助线）．

图解法

例1　（多选）如图1所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（　　）

图1

A．斜面对球的支持力逐渐增大

B．斜面对球的支持力逐渐减小

C．挡板对小球的弹力先减小后增大

D．挡板对小球的弹力先增大后减小

答案　BC

解析　对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误．

解析法

例2　如图2所示，在竖直放置的穹形支架上，一根长度不变且不可伸长的轻绳通过轻质光滑滑轮悬挂一重物G.现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）．则在此过程中绳中拉力大小（　　）

图2

A．先变大后不变B．先变大后变小

C．先变小后不变D．先变小后变大

答案　A

解析　对滑轮受力分析如图甲所示，由于跨过滑轮的绳子拉力一定相等，即F1＝F2，由几何关系易知绳子拉力与竖直方向夹角相等，设为θ，可知：

F1＝F2＝①

如图乙所示，设绳长为L，由几何关系

＋＝L，

即sinθ＝＝②

其中d为两端点间的水平距离，由B点向C点移动过程中，d先变大后不变，因此θ先变大后不变，由①式可知绳中拉力先变大后不变，故A正确．

相似三角形法

例3　（2020·山西大同市开学考试）如图3所示，AC是上端带光滑轻质定滑轮的固定竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在C点，另一端B悬挂一重力为G的物体，且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力F拉绳，开始时∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°.此过程中，轻杆BC所受的力（　　）

图3

A．逐渐减小B．逐渐增大

C．大小不变D．先减小后增大

答案　C

解析　以结点B为研究对象，分析受力情况，如图所示，根据平衡条件可知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反．根据相似三角形得＝，且F合＝G，则有FN＝G，现使∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，即FN不变，则轻杆BC所受的力大小不变，C正确，A、B、D错误．

1.（单个物体的动态平衡问题）（多选）（2020·广东惠州一中质检）如图4所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，已知A的圆半径为球B的半径的3倍，球B所受的重力为G，整个装置处于静止状态．设墙壁对B的支持力为F1，A对B的支持力为F2，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则F1、F2的变化情况分别是（　　）

图4

A．F1减小B．F1增大

C．F2增大D．F2减小

答案　AD

解析　法一：

解析法

以球B为研究对象，受力分析如图甲所示，可得出F1＝Gtanθ，F2＝，当A向右移动少许后，θ减小，则F1减小，F2减小，故A、D正确．

法二：

图解法

先根据平衡条件和平行四边形定则画出如图乙所示的矢量三角形，在θ角减小的过程中，从图中可直观地看出，F1、F2都减小，故A、D正确．

2．（多个物体的动态平衡问题）（多选）（2019·全国卷Ⅰ·19）如图5所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中（　　）

图5

A．水平拉力的大小可能保持不变

B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加

C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加

答案　BD

解析　对N进行受力分析如图所示，因为N的重力与水平拉力F的合力和细绳的拉力FT是一对平衡力，从图中可以看出水平拉力的大小逐渐增大，细绳的拉力也一直增大，选项A错误，B正确；M的质量与N的质量的大小关系不确定，设斜面倾角为θ，若mNg≥mMgsinθ，则M所受斜面的摩擦力大小会一直增大，若mNg

题型二　平衡中的临界、极值问题

1．临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等．临界问题常见的种类：

（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力．

（2）绳子恰好绷紧，拉力F＝0.

（3）刚好离开接触面，支持力FN＝0.

2．极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．

3．解题方法

（1）极限法：

首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小．

（2）数学分析法：

通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图像），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）．

（3）物理分析方法：

根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值．

例4　如图6所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C点悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点可施加力的最小值为（重力加速度为g）（　　）

图6

A．mgB.mgC.mgD.mg

答案　C

解析　对C点进行受力分析，由平衡条件可得绳CD对C点的拉力FCD＝mgtan30°.对D点进行受力分析（如图），绳CD对D点的拉力F2＝FCD＝mgtan30°，故F2为恒力，F1方向不变，由平衡条件可知，F1与F3的合力F2′一定与F2等大反向，当F3垂直于绳BD时，F3最小，由几何关系可知，此时F3＝F2sin60°，即F3＝mg，选项C正确．

例5　如图7所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

图7

（1）物体与斜面间的动摩擦因数；

（2）这一临界角θ0的大小．

答案　

（1）　

（2）60°

解析　

（1）如图甲所示，未施加力F时，对物体受力分析，由平衡条件得mgsin30°＝μmgcos30°

解得μ＝tan30°＝

（2）设斜面倾角为α，受力情况如图乙所示，由平衡条件得：

Fcosα＝mgsinα＋Ff′

FN′＝mgcosα＋Fsinα

Ff′＝μFN′

解得F＝

当cosα－μsinα＝0，即tanα＝时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0＝α＝60°.

课时精练

1.（2020·河南驻马店市第一学期期终）质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上，用水平力F拉着绳的中点O，使OA段绳偏离竖直方向一定角度，如图1所示．设绳OA段拉力的大小为FT，若保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中（　　）

图1

A．F先变大后变小，FT逐渐变小

B．F先变大后变小，FT逐渐变大

C．F先变小后变大，FT逐渐变小

D．F先变小后变大，FT逐渐变大

答案　C

解析　对结点O受力分析如图所示，当保持O点位置不变，则当力F的方向顺时针缓慢旋转至竖直方向的过程中，由图可知F先减小后增大，FT一直减小，故选C.

2.（多选）如图2所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的细绳悬挂于O点，A球固定在O点正下方，当小球B平衡时，细绳所受的拉力为FT1，弹簧的弹力为F1；现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2（k2＞k1）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时细绳所受的拉力为FT2，弹簧的弹力为F2.则下列关于FT1与FT2、F1与F2大小的比较，正确的是（　　）

图2

A．FT1＞FT2B．FT1＝FT2

C．F1＜F2D．F1＝F2

答案　BC

解析　以B为研究对象，分析受力情况，如图所示．由平衡条件可知，弹簧的弹力F和细绳的拉力FT的合力F合与其重力mg大小相等、方向相反，即F合＝mg，由三角形相似得＝＝.当弹簧劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故AB的长度增加，而OB、OA的长度不变，故FT1＝FT2，F2>F1，故A、D错误，B、C正确．

3．（多选）（2016·全国卷Ⅰ·19）如图3，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则（　　）

图3

A．绳OO′的张力也在一定范围内变化

B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化

C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化

D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化

答案　BD

解析　由于物块a、b均保持静止，各绳角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力FT′＝mag，所以物块a受到的绳的拉力保持不变．滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：

FTcosβ＋Ff＝Fcosα，Fsinα＋FN＋FTsinβ＝mbg.其中FT和mbg始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．

4.（2020·安徽黄山市高三期末）如图4所示，在水平放置的木棒上的M、N两点，系着一根不可伸长的柔软轻绳，绳上套有一光滑小金属环．现将木棒绕其左端逆时针缓慢转动一个小角度，则关于轻绳对M、N两点的拉力F1、F2的变化情况，下列判断正确的是（　　）

图4

A．F1和F2都变大

B．F1变大，F2变小

C．F1和F2都变小

D．F1变小，F2变大

答案　C

解析　由于是一根不可伸长的柔软轻绳，所以绳子的拉力相等．木棒绕其