中考数学压轴试题复习第二部分专题一由比例线段产生的函数关系问题Word文件下载.docx

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二是不规则图形的面积通过割补进行计算；

三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；

四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．

前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．

一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．

关于面积的最值问题，有许多经典的结论．

例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．

例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．

例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．

例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．

例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．

例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．

图1图2图3

例12014年湖南省常德市中考第26题

如图1，图2，已知四边形ABCD为正方形，在射线AC上有一动点P，作PE⊥AD（或延长线）于E，作PF⊥DC（或延长线）于F，作射线BP交EF于G．

（1）在图1中，正方形ABCD的边长为2，四边形ABFE的面积为y，设AP＝，求y关于的函数表达式；

（2）GB⊥EF对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；

（3）请根据图2证明：

△FGC∽△PFB．

动感体验

请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P在射线AC上运动，可以体验到，EM和FN把正方形ABCD分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F四点共圆．

思路点拨

1．四边形ABFE可以用大正方形减去两个直角三角形得到．

2．画直线EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．

图文解析

（1）如图3，延长EP交BC于M，延长FP交AB于N，那么四边形AEPN和四边形CFPM是正方形．

由AP＝，可得正方形AEPN的边长为．所以FC＝DE＝．

由于S△DEF＝＝，S△BCF＝＝，

所以y＝S四边形ABFE＝S正方形ABCD－S△DEF－S△BCF

＝4－－＝．

图3图4

（2）如图4，因为tan∠EFP＝，tan∠PBN＝，且PE＝NP，PF＝NB，所以

∠EFP＝∠PBN．

又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN＝90°

，所以∠2＋∠EFP＝90°

．所以GB⊥EF．

（3）如图5，由于GB⊥EF，∠BCF＝90°

，所以B、C、G、F四点共圆．

所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB．

又因为∠CGF＝∠CGB＋90°

，∠BFP＝∠CFB＋90°

，所以∠CGF＝∠BFP．

所以△FGC∽△PFB．

图5图6图7

考点伸展

如图6，由于tan∠EFP＝tan∠PBN，所以∠EFP＝∠PBN．

又因为∠PBN＋∠1＝90°

，所以∠EFP＋∠1＝90°

．

因此这种情况下，依然有BG⊥EF．

第

（1）题还有更简便的割补办法：

如图7，连结EN．

由于S四边形NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝，

S△AEN＝，所以y＝S四边形ABFE＝S四边形NBFE＋S△AEN＝．

例22014年湖南省湘潭市中考第25题

如图1，△ABC为等边三角形，边长为a，点F在BC边上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）求证：

△BDF∽△CEF；

（2）若a＝4，设BF＝m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取得最大值；

（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF＝，求此圆的直径（用含a的式子表示）．

图1

请打开几何画板文件名“14湘潭25”，拖动点F在BC上运动，观察S随m变化的图像，可以体验到，当F运动到BC的中点时，S取得最大值．还可以看到，圆的直径就是直角三角形AEF的斜边．

1．用割补法求四边形ADFE的面积比较简单．

2．当A、D、F、E四点共圆时，由于∠EDF＝∠EAF，那么在△ACF中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形．

（1）如图1，因为∠B＝∠C＝60°

，∠BDF＝∠CEF＝90°

，所以△BDF∽△CEF．

（2）如图2，当等边三角形ABC的边长a＝4时，S△ABC＝．

在Rt△BDF中，∠B＝60°

，BF＝m，所以，．

所以S△BDF＝＝．

在Rt△CEF中，∠C＝60°

，CF＝4－m，所以，．

所以S△CEF＝＝．

因此S＝S四边形ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF

＝＝＝．

所以当m＝2时，S取得最大值，最大值为．此时点F是BC的中点（如图3）．

（3）如图4，由于A、D、F、E四点共圆，所以∠EAF＝∠EDF．

因为∠AEF＝90°

，所以AF是圆的直径．

在Rt△EAF中，由于tan∠EAF＝＝，设EF＝，EA＝2x．

在Rt△ECF中，∠C＝60°

，所以．因此EC＝x．

由AC＝EA＋EC＝a，得2x＋x＝a．所以x＝．

所以在Rt△EAF中，EF＝，EA＝，由勾股定理，得圆的直径AF＝．

图2图3图4

第

（2）题也可以求△ADF与△AEF的面积和．

由于，，所以AD＝，S△ADF＝．

由于，，所以AE＝，S△AEF＝．

因此S＝S△ADF＋S△AEF＝＝．

例32014年湖南省郴州市中考第25题

如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，∠B＝60°

，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE＝1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．

（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？

（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；

（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？

图1

请打开几何画板文件名“14郴州25”，拖动点N在BC上运动，可以体验到，重叠部分是正方形存在两种情况，等腰三角形CPD也存在两种情况．

1．用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来．

2．重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H落在AB上，和点G落在AC上．

3．等腰三角形CPD不存在DP＝DC的情况，因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点．

（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN＝0．

而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．

图2图3

（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：

①当HM在AD的左侧时，正方形MNGH的大小不变，边长为1，S＝1．

如图3，当H落在AB上时，BM＝HMtan30°

＝．所以≤t＜4．

②如图4，当HM在AD上时，正方形的边长为t－3，S＝（t－3）2．

如图5，当G落在AC上时，AH＝HGtan30°

＝．

由AD＝，得．解得．所以4≤t≤．

图4图5

（3）等腰三角形CPD存在两种情况：

①如图6，当PC＝PD时，点P在DC的垂直平分线上，N是DC的中点．

此时t＝3＋6＝9．

②如图7，当CP＝CD＝12时，在Rt△CPN中，由cos30°

＝，得．此时t＝．

图6图7

当点G落在AC上时，CG∶AG的比值是多少呢？

如图5，．

例42015年湖南省常德市中考第25题

如图1，曲线y1是抛物线的一部分，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且表达式为（x≤3），曲线y2与曲线y1关于直线x＝3对称．

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线y2的表达式；

（2）过点C作CD//x轴交曲线y1于点D，连结AD，在曲线y2上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标；

（3）设直线CM与轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线y2上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

图1

请打开几何画板文件名“15常德25”，拖动点P运动，可以体验到，由于M、N两点间的水平距离是定值，因此当PE最大时，△PMN的面积最大．

1．由A、C、D的坐标可以得到△ACD是底角为30°

的等腰三角形，于是可知直线MN（直线CN）与y轴的夹角为30°

2．过点P作x轴的垂线交MN于E，那么△PMN分割为有公共底边PE的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值．

（1）由，得A（－1,0）、B（3,0）、C（0,）．

因为A（－1,0）、B（3,0）关于直线x＝3的对称点为A′（7,0）、B（3,0），所以抛物线y2的表达式为（x＞3）．

（2）由CD//x轴，可知C、D关于抛物线y1的对称轴x＝1对称，所以D（2,）．

如图2，由A（－1,0）、C（0,）、D（2,），可得AC＝DC＝2．因此点C在AD的垂直平分线上．

如果四边形ACDM的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM是菱形，此时点M在x轴上，不在抛物线y2上．因此只存在MC垂直平分AD的情况．

如图2，如图3，过点A、M分别作x轴的垂线，与直线CD分别交于点G、H，那么

∠ADG＝∠CMH．

由于tan∠ADG＝＝，所以∠ADC＝30°

．因此．

设M，那么．

整理，得x2－13x＋24＝0．解得．所以点M的横坐标为．

（3）如图2，如图3，由于∠ADC＝30°

，当CM⊥AD时，∠OCN＝30°

所以ON＝OC＝1，N（1,0）．

所以直线CN为．

如图4，过点P作x轴的垂线，垂足为K，PK交MN于E，过点M作y轴的垂线交PK于F．

所以S△PMN＝S△PME＋S△PNE＝．

因为MF＋NK为定值，因此当PE最大时，△PMN的面积最大．

设P，E，那么

PE＝＝

所