高中数学 122组合学案 新人教A版选修23Word文档下载推荐.docx

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3．排列的概念：

从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列

4．排列数的定义：

从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示

5．排列数公式：

（）

6阶乘：

表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定．

7．排列数的另一个计算公式：

=

8.提出问题：

示例1：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？

示例2：

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

引导观察：

示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课题：

组合．

二、讲解新课：

1组合的概念：

一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合

说明：

⑴不同元素；

⑵“只取不排”——无序性；

⑶相同组合：

元素相同

例1．判断下列问题是组合还是排列

（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？

有多少种不同的飞机票价？

（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？

（3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？

选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？

（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？

（5）10个人互通电话一次，共多少个电话？

问题：

（1）1、2、3和3、1、2是相同的组合吗？

（2）什么样的两个组合就叫相同的组合

2．组合数的概念：

从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．用符号表示．

例2．用计算器计算．

解：

由计算器可得

例3．计算：

（1）；

（2）；

（1）解：

＝35；

（2）解法1：

＝120．

解法2：

第二课时

3．组合数公式的推导：

（1）从4个不同元素中取出3个元素的组合数是多少呢？

启发：

由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数可以求得，故我们可以考察一下和的关系，如下：

组合排列

由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，可以分如下两步：

①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有个；

②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有种方法．由分步计数原理得：

＝，所以，．

（2）推广：

一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分如下两步：

①先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数；

②求每一个组合中m个元素全排列数，根据分步计数原理得：

＝．

（3）组合数的公式：

或

规定:

.

三、讲解范例：

例4．求证：

．

证明：

∵

＝

∴

例5．设求的值

解：

由题意可得：

，解得，

∵，∴或或，

当时原式值为7；

当时原式值为11．

∴所求值为4或7或11．

第三课时

例6．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：

（l）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？

（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？

分析：

对于

（1），根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；

对于

（2），守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．

（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有C｝手＝12376（种）.

（2）教练员可以分两步完成这件事情：

第1步，从17名学员中选出n人组成上场小组，共有种选法；

第2步，从选出的n人中选出1名守门员，共有种选法．

所以教练员做这件事情的方法数有

=136136（种）.

例7．

（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

（1）以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有

（条）.

（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有

（条）.

例8．在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件.

（1）有多少种不同的抽法？

（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？

（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？

（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有

=161700（种）.

（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有

=9506（种）.

（3）解法1从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第

（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有

+=9604（种）.

解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即

=161700-152096=9604（种）.

“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。

变式：

按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？

（1）甲、乙、丙三人必须当选；

（2）甲、乙、丙三人不能当选；

（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；

（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；

（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；

（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；

例9．

（1）6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？

（2）从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议，要求至少有2名男生和1名女生参加，有多少种选法？

问题可以分成2类：

第一类2名男生和2名女生参加，有中选法；

第二类3名男生和1名女生参加，有中选法

依据分类计数原理，共有100种选法

错解：

种选法引导学生用直接法检验，可知重复的很多

例10．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：

（直接法）小组构成有三种情形：

3男，2男1女，1男2女，分别有，，，

所以，一共有++＝100种方法．

解法二：

（间接法）

第四课时

组合数的性质1：

一般地，从n个不同元素中取出个元素后，剩下个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n-m个元素的组合数，即：

．在这里，主要体现：

“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想

又，∴

①规定：

；

②等式特点：

等式两边下标同，上标之和等于下标；

③此性质作用：

当时，计算可变为计算，能够使运算简化.

例如＝＝=xx；

④或．

2．组合数的性质2：

＝+．

一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：

一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m-1个元素与组成的，共有个；

不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．

∴＝+．

①公式特征：

下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；

②此性质的作用：

恒等变形，简化运算

例11．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，

（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

（1）,或，；

（2）；

（3）．

例12．

（1）计算：

（2）求证：

＝++．

（1）原式；

（2）右边左边

例13．解方程：

（2）解方程：

（1）由原方程得或，∴或，

又由得且，∴原方程的解为或

上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把和代入检验,这样运算量小得多.

（2）原方程可化为，即，∴，

∴，

∴，解得或，

经检验：

是原方程的解

第五课时

例14．证明：

。

原式左端可看成一个班有个同学，从中选出个同学组成兴趣小组，在选出的个同学中，个同学参加数学兴趣小组，余下的个同学参加物理兴趣小组的选法数。

原式右端可看成直接在个同学中选出个同学参加数学兴趣小组，在余下的个同学中选出个同学参加物理兴趣小组的选法数。

显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例15．证明：

…（其中）。

设某班有个男同学、个女同学，从中选出个同学组成兴趣小组，可分为类：

男同学0个，1个，…，个，则女同学分别为个，个，…，0个，共有选法数为…。

又由组合定义知选法数为，故等式成立。

例16．证明：

…。

左边=…=…，

其中可表示先在个元素里选个，再从个元素里选一个的组合数。

设某班有个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。

把这种选法按取到的人数分类（…），则选法总数即为原式左边。

现换一种选法，先选组长，有种选法，再决定剩下的人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有种，所以选法总数为种。

例17．证明：

由于可表示先在个元素里选个，再从个元素里选两个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。

对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。

若组长和副组长是同一个人，则有种选法；

若组长和副组长不是同一个人，则有种选法。

∴共有+种选法。

显然，两种选法是一致的，故左边=右边，