第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法1Word文档格式.docx

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由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组（3.8）的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组

（3.20）

其中是实常数矩阵，借助于线性代数中的约当（Jordan）标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.

由线性代数知识可知，对于任一矩阵，恒存在非奇异的矩阵，使矩阵成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换 

（3.21）

其中,将方程组（3.20）化为

（3.22）

我们知道，约当标准型的形式与矩阵A的特征方程

的根的情况有关.上述方程也称为常系数齐次方程组（3.20）的特征方程式.它的根称为矩阵的特征根.

下面分两种情况讨论.

（一）矩阵A的特征根均是单根的情形.

设特征根为这时

方程组（3.20）变为

（3.23）

易见方程组（3.23）有n个解

把这n个解代回变换（3.21）之中，便得到方程组（3.20）的n个解

这里是矩阵第列向量，它恰好是矩阵关于特征根的特征向量，并且由线性方程组所确定.容易看出，构成（3.20）的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式在时为.于是我们得到

定理3.11如果方程组（3.20）的系数阵A的n个特征根彼此互异，且分别是它们所对应的特征向量，则

是方程组（3.20）的一个基本解组.

例1试求方程组

的通解.

解它的系数矩阵是

特征方程是

即 

所以矩阵的特征根为．先求对应的特征向量

满足方程

即

可得.取一组非零解，例如令，就有.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是

故方程组的通解是

（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根

从上一讲我们已经知道，求解方程组

（3.20）

归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题．现在考虑复根情形．因为A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设是一对共轭根，由定理3.11，对应解是

其中是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现．

定理3.12如果实系数线性齐次方程组

有复值解其中与都是实向量函数，则其实部和虚部

证明因为是方程组（3.8）的解，所以

由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：

即,都是方程组（3.8）的解.证毕.

定理3.13如果是区间上的个线性无关的向量函数，是两个不等于零的常数，则向量函数组

（3.24）

在区间（a,b）上仍是线性无关的.

证明（反证法）如果（3.24）线性相关，那么依定义3.1存在个不全为零的常数，使得对区间上的所有皆有

所以

因为线性无关，从而

从上式可知，,因为,故.即所有常数都等于零，矛盾.证毕.

由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果是特征根，则其共轭也是特征根.由定理3.11，方程组（3.20）对应于的复值解形式是

这里是对应于的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方程组（3.20）对应于特征根的解，记作.现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为 

由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组（3.20）的解，并且由此得到的n个解仍组成基本解组.

例2求解方程组

解它的系数矩阵为

特征根为

先求对应的特征向量为

再求所对应的特征向量.它应满足方程组

用2i乘上述第一个方程两端，得

显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即

求它的一个非零解.不妨令则.于是对应的解是

故原方程组的通解为

（三）矩阵A的特征根有重根的情形

由定理3.11，我们已经知道，当方程组（3.20）的系数矩阵的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量.然而，当矩阵的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若是的重特征根，则由齐次线性方程组

所决定的线性无关特征向量的个数,一般将小于或等于特征根的重数.若=,那么矩阵对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同.若＜，由线性代数的知识，此时也可以求出个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵的列向量，可将矩阵化成若当标准型 

其中未标出符号的部分均为零无素，而

是阶约当块，是（3.20）的特征根，它们当中可能有的彼此相同.

于是，在变换（3.21）下方程组（3.20）化成

（3.25）

根据（3.25）的形式，它可以分解成为个可以求解的小方程组.

为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组（3.20）的基本解组所应具有的结构．对于一般情形，其推导是相似的.

设方程组

（3.26）

中是5.5矩阵，经非奇异线性变换其中且，将方程组（3.26）化为

（3.27）

我们假定

这时，方程组（3.27）可以分裂为两个独立的小方程组

（3.28）

（3.29）

在（3.28）中自下而上逐次用初等积分法可解得

同样对（3.29）可解得

这里是任意常数.由于在方程（3.28）中不出现在（3.29）中不出现．我们依次取

可以得到方程组（3.27）的五个解如下

从而 

（3.31）

是方程组（3.27）的一个解矩阵.又

所以（3.31）是方程组（3.27）的一个基本解矩阵.而（3.30）是（3.27）的一个基本解组.现在把（3.30）的每个解分别代入到线性变换中可得原方程组（3.26）的五个解，

而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为，若把上面五个解写成矩阵形式

则显然有.

至此我们已清楚地看到，若中有一个三阶若当块，是（3.26）的三重特证根，则（3.26）有三个如下形式的线性无关解，

（3.32）

其中每个是的至多二次多项式.因此（3.32）也可以写成如下形式

其中都是五维常向量.而对于中的二阶若当块，是（3.26）的二重根，它

所对应的（3.26）的两个线性无关解应是如下形式

其中也都是五维常向量.

最后，我们还应指出，对于方程组（3.20），若是的一个重特征根，则所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于，而且这些阶数的和恰好等于.这样，由以上分析我们得到

定理3.14设是矩阵的m个不同的特征根，它们的重数分别为.那么，对于每一个，方程组（3.20）有个形如

的线性无关解，这里向量的每一个分量为x的次数不高于的多项式.取遍所有的就得到（3.20）的基本解组.

上面的定理既告诉了我们当的特征根有重根时，线性方程组（3.20）的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.

引理3.1设n阶矩阵互不相同的特征根为，其重数分别是,,记维常数列向量所组成的线性空间为，则

（1）的子集合

是矩阵的维不变子空间，并且

（2）有直和分解

;

现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组.

定理3.15如果是（3.20）的重特征根，则方程组（3.20）有个形如

（3.33）

的线性无关解，其中向量由矩阵方程

（3.34）

所确定.取遍所有的，则得到（3.20）的一个基本解组.

证明由定理3.14知，若是（3.20）的重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20）有

消去，比较等式两端x的同次幂的系数（向量），有

（3.35）

注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同．（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材．

这样，在方程组（3.31）中，首先由最下面的方程解出，再依次利用矩阵乘法求出.由引理3.1得知，线性空间可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的，就可以由（3.34）最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由（3.31）逐次求出其余常向量，就得到（3.20）的n个解.记这n个解构成的解矩阵为，显然，是由（3.34）最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成，由引理3.1的2）矩阵中的各列构成了n维线性空间的一组基，因此，于是是方程组（3.20）的一个基本解组.

例3求解方程组

解系数矩阵为

特征方程为

特征根为其中对应的解是

下面求所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如

并且满足

由于

那么由可解出两个线性无关向量

将上述两个向量分别代入中，均得到为零向量.于是对应的两个线性无关解是

最后得到通解

例4求解方程组

解系数矩阵是

特征方程为 

有三重特征根

由定理3.15，可设其解形如

满足方程组

故可分别取

再将它们依次代入上面的方程，相应地求得为

为

于是，可得原方程组三个