专题03 第十三章 轴对称解析版.docx

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专题03第十三章轴对称解析版

专题03：

第十三章轴对称

一、单选题

1．下列四个图形中，是轴对称图形的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】B

【解析】

根据轴对称图形的定义依次进行判断即可．把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能完全重合，那么这个是轴对称图形，因此第1，2，3是轴对称图形，第4不是轴对称图形．

【点睛】

本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义为解题关键．

2．如图，在中，，垂直平分，垂足为，交于，的周长为，的长为，则为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

由垂直平分，证明结合的周长为，可得：

求解，结合，从而可得答案．解：

垂直平分，

的周长为，

的长为，

故选：

．

【点睛】

本题考查的是三角形的周长，线段垂直平分线的性质，线段的和差关系，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．

3．对于任意△（见示意图）．若是△的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

延长FD到G，使DG=FD，根据角平分线和平角定义证得∠EDF=90°，即ED⊥FD，则ED垂直平分GF，根据线段垂直平分线的性质可得EF=EG，再证明△BDG≌△CDF，则有BG=CF，再根据三角形三边关系可得BE+BG﹥EG即可解答．解：

延长FD到G，使DG=FD，

∵、的角平分线分别交、于点，

∴∠ADE=∠BDE=∠ADB，∠ADF=∠CDF=∠ADC，

∵∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=（∠ADB+∠ADC）=90°，

∴ED⊥FD，又DG=DF，

∴ED垂直平分GF，

∴EF=EG，

∵是△的边上的中线，

∴BD=DC，又∠BDG=∠CDF，DG=DF，

∴△BDG≌△CDF（SAS），

∴BG=CF，

在△BEG中，∵BE+BG﹥EG，

∴BE+CF﹥EF，

故选：

D．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，熟练掌握相关知识的应用，延长FD使DG=FD是解答的关键．

4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接EF交AD于点G．下列结论：

①AD平分∠EDF；②AD⊥EF；③AG=DG；④∠AEF=∠ADF其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】

根据角平分线性质求出DE=DF，证△AED≌△AFD，推出AE=AF，再逐个判断即可．∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，

∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，

在Rt△AED和Rt△AFD中，

，

∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），

∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，

∴AD平分∠EDF；①正确；

∵AD平分∠BAC，

∵AE=AF，DE=DF，

∴AD垂直平分EF，

∴AD⊥EF；②正确；

∵AD⊥EF，AE不一定等于ED，

∴AG不一定等于DG；③错误；

∵AD⊥EF，DF⊥AC，

∴∠AEF+∠EAD=90，∠ADF+∠FAD=90，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∴∠AEF=∠ADF，④正确；

综上，①②④正确，共3个．

故选：

C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定和性质，角平分线性质的应用，能证明Rt△AED≌Rt△AFD是解此题的关键．

5．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2，由此得出下列判断：

①∠A＝∠A2；②A1B1＝A2B2；③AB∥A2B2.其中正确的是（　）

A．①②B．②③C．①③D．①②③

【答案】A

【解析】

根据图形对称的知识，可得△ABC≌△A1B1C1，结合图形平移的知识，知△A1B1C1≌△A2B2C2，A1B1∥A2B2，由△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2得△ABC≌△A2B2C2，再结合全等三角形的性质，即可得到答案.因为△ABC与△A1B1C1关于直线对称，

所以△ABC≌△A1B1C1.

因为△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2，

所以△A1B1C1≌△A2B2C2，A1B1∥A2B2，但AB与A2B2不平行.

∵△ABC≌△A1B1C1，△A1B1C1≌△A2B2C2，

∴△ABC≌△A2B2C2，

∴∠CAB=∠C2A2B2，A1B1=A2B2.

综上可得，①和②是正确的.

故答案选A.

【点睛】

本题考查了轴对称图形，解题的关键是结合关于直线对称的图形的性质进行求解.

6．如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（　　）

A．6B．4C．3D．2

【答案】B

【解析】

根据轴对称的性质得出AE+EF=HE+EF,再根据点到直线的距离垂线段最短得出当HF⊥AC时，HE+EF最小为HF，再根据三角形面积公式计算出AG，根据AH=AG即可得出结论.解：

作A关于CD的对称点H，

∵CD是△ABC的角平分线，

∴点H一定在BC上，且AE+EF=HE+EF

过H作HF⊥AC于F，交CD于E，

则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，

过A作AG⊥BC于G，

∵△ABC的面积为12，BC长为6，

∴AG＝4，

∵CD垂直平分AH，

∴AC＝CH，

∴S△ACH＝AC•HF＝CH•AG，

∴HF＝AG＝4，

∴AE+EF的最小值是4，

故选：

B．

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，能根据轴对称的性质正确构图，并根据点到直线的距离垂线段最短得出HF即为AE+EF的最小值是解决此题的关键.

7．如图，中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为　　

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

根据角平分线的性质、线段垂直平分线的性质可以推导出，进一步利用三角形的内角和即可求解．∵平分，

∴

∵垂直平分

∴

∴

∵在中，，

∴

故选：

A．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的内角和定理，属基础题目，结合图形细心推导即可．

8．如图，中，，，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作于点M，则（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】A

【解析】

如图（见解析），先根据角平分线的性质可得，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据垂直平分线的性质可得，又根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，设，从而可得，，最后根据建立等式求解即可得．如图，过点D作，交AC延长线于点N，连接BD、CD，

，AD平分，

，

在和中，，

，

，

OD垂直平分BC，

，

在和中，，

，

，

设，

，

，

又，

，

解得，

即，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．

9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：

①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（）

A．4B．3C．2D．1

【答案】B

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后证明△ADE与△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF，根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确．解：

平分，，，、为垂足，

，

，故①正确；

在与中，

，

，

，故②正确；

，，

垂直平分，故③正确；

与，与不一定相等，

不一定垂直平分，故④错误，

根据图形，，

平分时，，

与等高不等底，面积不相等，故⑤错误．

综上所述，①②③共3个正确．

故选：

．

【点睛】

本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积，是小综合题，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．

10．如图所示，，，．若，则的值为　　

A．1.5B．4C．2D．1

【答案】C

【解析】

如图（见解析），先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后利用直角三角形的性质可得，最后根据角平分线的性质即可得．如图，过点P作于点E，

，

，

，

在中，，

又，，，

，

故选：

C．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、角平分线的性质等知识点，通过作辅助线，利用直角三角形和角平分线的性质是解题关键．

11．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（）

①；②；③；④

A．①③④B．①③C．②④D．①②③

【答案】D

【解析】

①根据三角形的中线性质、三角形的面积公式即可得；②先根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据对顶角相等可得，由此即可得；③先根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，再根据角平分线的定义即可得；④根据等腰三角形的判定即可得．是的AC边上的中线，

，

与等底同高，

，则说法①正确；

CF是的角平分线，

，

，是高，

，

，

由对顶角相等得：

，

，则说法②正确；

，是高，

，

，

又，即，

，则结论③正确；

根据已知条件不能推出，

不能推出，则说法④错误；

综上，说法正确的是①②③，

故选：

D．

【点睛】

本题考查了三角形的中线、直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的性质是解题关键．

12．如图，∠BAC=90º，AB=AC=6，BE=2，DE=3，∠BDE=15º，点P在线段AE上，PD=DE，△ADQ是等边三角形，连接PQ交AC于点F，则PF的长为（）

A．2B．3

C．D．

【答案】A

【解析】

根据等腰直角三角形的性质得到∠B＝45°，根据三角形外角性质得到∠PED＝∠B＋∠BDE＝60°，推出△PDE是等边三角形，求得AP＝AB−BE−PE＝1，根据全等三角形的性质得到∠DPQ＝∠DEA＝60°，求得∠APF＝60°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，

∴∠B＝45°，

∵∠BDE＝15°，

∴∠PED＝∠B＋∠BDE＝60°，

∵PD＝DE，

∴△PDE是等边三角形，

∴∠EDP＝∠DEP＝∠EPD＝60°，PE＝DE＝3，

∴AP＝AB−BE−PE＝6-2-3=1，

∵△ADQ是等边三角形，

∴AD＝DQ，∠ADQ＝60°，

∴∠ADE＝∠PDQ，

∴△ADE≌△QDP（SAS），

∴∠DPQ＝∠DEA＝60°，

∴∠APF＝60°，

∵∠PAF＝90°，

∴∠AFP=30°，

∴PF＝2AP＝2，

故选：

A．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

二、填空题

13．如图，把长方形沿对折后使两部分重合，若，则______，_______．

【答案】

【