函数定义域与值域经典类型总结练习题含答案Word文件下载.docx
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是由定义域和对应关系（f）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：
{y|y=f（x）,x∈A}。
（2）明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。
二、求函数定义域
（一）求函数定义域的情形和方法总结
1已知函数解析式时：
只需要使得函数
⑥表达式中出现对数函数形式时：
自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；
自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（）
注：
（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
（形如：
）
练习
1、求下列函数的定义域：
⑴
1、
（1）
⑵
（2）
⑶
（3）
2.抽象函数（没有解析式的函数）
解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为：
（1）给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围；
（2）在同一个题中x不是同一个x；
（3）只要对应关系f不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f（x）的取值范围，及括号的取值范围。
例1：
已知f（x+1）的定义域为[-1,1]，求f（2x-1）的定义域。
解：
∵f（x+1）的定义域为[-1,1]；
（及其中x的取值范围是[-1,1]）
∴；
（x+1的取值范围就是括号的取值范围）
∴f（x）的定义域为[0,2]；
（f不变，括号的取值范围不变）
∴f（2x-1）中
∴
∴f（2x-1）的定义域为
2、设函数的定义域为，则函数的定义域为_、；
_______；
函数的定义域为________；
3、若函数的定义域为，则函数的定义域是；
函数的定义域为。
3.复合函数定义域
复合函数形如：
理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
例2：
分析：
由题目可以看出g（x）是由y=x+1、y=x-2和y=f（x）三个函数复合起来的新函数。
此时做加运算，所以只要求出f（x+1）和f（x-2）的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f（x+1）和f（x-2）的定义域的交集即可。
由f（x）的定义域为（-2,3），则
f（x+1）的定义域为（-3,2），f（x-2）的定义域为（0,4）；
，解得0<
x<
2
所以，g（x）的定义域为（0,2）.
（一）求函数值域方法和情形总结
1.直接观察法（利用函数图象）
一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值范围。
（1）求值域。
2.配方法
适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域范围内（以a<
0为例），此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；
对称轴在定义域的两边则根据单调性来求值域。
总结为三个要点：
（1）含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；
（2）a不为0时，讨论开口方向；
（3）注意区间，即讨论对称轴。
求
配方：
f（x）的对称轴为x=2在[1,5]中间
（端点5离x=2距离较远，此时为最大值）
所以，f（x）的值域为[2,11].
（2）求值域。
3.分式型
（1）分离常量法：
应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。
具体操作：
先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为。
由于分母不可能为0，则意思就是函数值不可能取到，
即：
函数f（x）的值域为.
⑶求值域
（2）利用来求函数值域：
适用于函数表达式为分式形式，并且只出现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用分离常量法是行不通，只有另想它法（有界变量法）。
例3：
求函数的值域.
由于不等于0，可将原式化为
即（由于）
只需,则有
所以，函数值域.
（4）求值域
（3）方程根的判别式法：
适用于分式形式，其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为分离常量，也不能利用上述方法。
对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。
例4：
求函数的值域
解：
由于函数的定义域为R，即
原式可化为
（由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：
这里只考虑有无根，并不考虑根为多少）
所以，
所以，函数值域为
练习：
求值域
（5）
4.换元法
通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以及可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。
而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。
换元的时候应及时确定换元后的元的取值范围。
例5：
令，带入原函数解析式中得
因为，
所以，函数的值域为.
（6）
一．选择题（共10小题）
1．（2007•河东区一模）若函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=的定义域为B，则使A∩B=∅的实数a的取值范围是（ ）
A．
（﹣1，3）
B．
[﹣1，3]
C．
（﹣2，4）
D．
[﹣2，4]
2．若函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（x+1）的定义域是（ ）
[﹣1，1]
[0，2]
[﹣2，0]
[0，1]
3．（2010•重庆）函数的值域是（ ）
[0，+∞）
[0，4]
[0，4）
（0，4）
4．（2009•河东区二模）函数的值域是（ ）
（0，+∞）
（0，2）
（0，）
5．已知函数y=x2+4x+5，x∈[﹣3，3）时的值域为（ ）
（2，26）
[1，26）
（1，26）
（1，26]
6．函数y=在区间[3，4]上的值域是（ ）
[1，2]
[3，4]
[2，3]
[1，6]
7．函数f（x）=2+3x2﹣x3在区间[﹣2，2]上的值域为（ ）
[2，22]
[6，22]
[0，20]
[6，24]
8．函数的值域是（ ）
{y|y∈R且y≠1}
{y|﹣4≤y＜1}
{y|y≠﹣4且y≠1}
R
9．函数y=x2﹣2x（﹣1＜x＜2）的值域是（ ）
[0，3]
[1，3]
[﹣1，0]
[﹣1，3）
10．函数的值域为（ ）
[2，+∞）
（0，2]
二．填空题
11．（2013•安徽）函数y=ln（1+）+的定义域为 _________ ．
12．（2012•四川）函数的定义域是 _________ ．（用区间表示）
13．求定义域：
．
14．函数y=x2+2x﹣1，x∈[﹣3，2]的值域是 _________ ．
15．函数y=10﹣的值域是 _________ ．
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