北京市西城区届高三模拟测试二模数学理试题Word版含答案Word格式.docx

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则椭圆的离心率是

7．函数．则“”是“，使”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

8．在直角坐标系中，对于点，定义变换：

将点

变换为点，使得其中．这样变

换就将坐标系内的曲线变换为坐标系内的曲线．

则四个函数，，，

在坐标系内的图象，变换为坐标系内

的四条曲线（如图）依次是

（A），，，

（B），，，

（C），，，

（D），，，

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：

本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．已知圆的参数方程为（为参数），则圆的面积为____；

圆心到直线

的距离为____．

10．的展开式中的系数是____．

11．在△中，，，，则____．

12．设等差数列的前项和为．若，，则数列的通项公式可以是____．

13．设不等式组表示的平面区域为．若直线上存在区域上的点，则

实数的取值范围是____．

14．地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：

安全出口编号

A，B

B，C

C，D

D，E

A，E

疏散乘客时间（s）

120

220

160

140

200

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是____．

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求的定义域；

（Ⅱ）若，且，求的值．

16．（本小题满分14分）

如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点，使得平面？

请说明理由．

17．（本小题满分13分）

在某地区，某项职业的从业者共约8.5万人，其中约3.4万人患有某种职业病．为了解这种职业病与某项身体指标（检测值为不超过6的正整数）间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了100名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：

（Ⅰ）求样本中患病者的人数和图中a，b的值；

（Ⅱ）在该指标检测值为4的样本中随机选取2人，求这2人中有患病者的概率；

（III）某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；

若检测值小于，则判断其未患有这种职业病．从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病．写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率（只需写出结论）．

18．（本小题满分14分）

已知直线与抛物线相切于点．

（Ⅰ）求直线的方程及点的坐标；

（Ⅱ）设在抛物线上，为的中点．过作轴的垂线，分别交抛物线和直线于，．记△的面积为，△的面积为，证明：

．

19．（本小题满分13分）

已知函数，曲线在处的切线经过点．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设，求在区间上的最大值和最小值．

20．（本小题满分13分）

数列：

的各项均为整数，满足：

，且，其中．

（Ⅰ）若，写出所有满足条件的数列；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）证明：

数学（理科）参考答案及评分标准

2018.5

一、选择题：

本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．C2．A3．D4．B

5．D6．C7．A8．A

本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．，10．11．

12．（答案不唯一）13．14．D

注：

第9题第一空3分，第二空2分.

本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

解：

（Ⅰ）因为函数的定义域是，

所以的定义域为．………………4分

（Ⅱ）

………………5分

………………6分

………………7分

．………………8分

由，得．………………9分

因为，所以，………………10分

所以，或．………………11分

解得，或（舍去）．………………13分

（Ⅰ）因为，且，

所以四边形为平行四边形，

所以．……2分

因为平面，……3分

所以平面．……4分

（Ⅱ）在平面内，过作．

因为平面平面，平面平面，

又平面，，

所以平面，

所以，，．

如图建立空间直角坐标系．………………5分

由题意得，，，，，．

所以，．

设平面的法向量为，

则即

令，则，，所以．………………7分

平面的一个法向量为，………………8分

则．

所以二面角的余弦值．………………10分

（Ⅲ）线段上不存在点，使得平面，理由如下：

………………11分

解法一：

令，则，，所以．………………13分

因为，

所以平面与平面不可能垂直，

从而线段上不存在点，使得平面．………………14分

解法二：

线段上不存在点，使得平面，理由如下：

…………11分

假设线段上存在点，使得平面，

设，其中．

设，则有，

所以，，，从而，

所以．………………13分

因为平面，所以．

所以有，

因为上述方程组无解，所以假设不成立．

所以线段上不存在点，使得平面．………………14分

（Ⅰ）根据分层抽样原则，容量为100的样本中，患病者的人数为人．…2分

，

．………………4分

（Ⅱ）指标检测数据为4的样本中，

有患病者人，未患病者人．………………6分

设事件A为“从中随机选择2人，其中有患病者”．

则，………………8分

所以．………………9分

（Ⅲ）使得判断错误的概率最小的．………………11分当时，判断错误的概率为．………………13分

（Ⅰ）由得．………………2分

依题意，有，且．

解得．………………3分

所以直线的方程为．………………4分

将代入，解得，

所以点的坐标为．………………5分

（Ⅱ）设，则，所以．………………7分

依题意，将直线分别代入抛物线与直线，

得，．………………8分

因为，………10分

，………………12分

又为中点，所以两点到直线的距离相等，

所以．………………14分

（Ⅰ）的导函数为，………………2分

所以．

依题意，有，

即，………………4分

解得．………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

当时，，，所以，故单调递增；

当时，，，所以，故单调递减．

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．………………8分

因为，所以最大值为．………………9分

设，其中．………………10分

则，

故在区间上单调递增．………………11分

所以，即，………………12分

故最小值为．………………13分

（Ⅰ）满足条件的数列为：

；

．………………3分

（Ⅱ）．………………4分

否则，假设，因为，所以．又，因此有

这与矛盾！

所以．………………8分

（Ⅲ）先证明如下结论：

，必有.

否则，令，

注意左式是的整数倍，因此．

所以有：

所以．………………10分

因此有：

将上述个不等式相加得，①

又，②

两式相减即得．………………13分