高中数学新教材必修第二册专题83 简单几何体的表面积与体积解析版Word文档格式.docx
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B.
（2）由三视图知，该几何体是一个直四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积为，高为，因此，这个四棱锥的体积为，故选：
A.
（3）根据三视图知，该几何体是平放的四棱柱，如图所示，且该四棱柱的底面为等腰梯形，
棱柱的高为4，它的体积为．故选：
C．
【举一反三】
1．（2019·
北京高一期末）已知圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则这个圆柱的体积是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】底面圆周长，，所以
故选：
A
2．（2019·
河北高三月考（理））圆锥的母线长是4，侧面积是，则该圆锥的高为（）
A．B．4C．3D．2
设母线为l，底面半径为r，高为h，则，，所以.答案选A
3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为（）
A.B.C.D.2
【答案】B
【解析】由底面边长为1和侧棱长为，可知高.
又因为底面积，所以正六棱锥体积.
故选B.
4．已知圆台上、下底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的体积为（）．
【答案】C
【解析】依题意知圆台上底面半径为，下底面半径为
如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长，由知道，则圆台的侧面积所以高
圆台的体积故选C
5．（2019·
四川绵阳中学高一月考）圆台上底半径为2，下底半径为6，母线长为5，则圆台的体积为（）
【解析】作出圆台的轴截面如图所示：
上底面半径，下底面半径，过做垂直，
则由故即圆台的高为3,
所以圆台的体积为.故选：
．
运用二表面积
【例2】
山西高二月考（文））已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为，则该圆柱的侧面积为（）
福建高三月考（文））《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（ ）
（3）（2019·
安徽高二期末（文））如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（）
（1）B
（2）D（3）D
（1）设圆柱的底面半径为．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为．因为该圆柱的体积为，，解得，所以该圆柱的侧面积为．
（2）根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，
∴几何体的表面积故选：
D．
（3）由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD＝4，AB＝2，四棱锥的高为2．
则其表面积为S．故选：
湖南高一期末）已知一个圆柱的高是底面圆半径的2倍，则该圆柱的侧面积与表面积的比值为（）
【解析】设圆柱底面圆的半径为，则高，该圆柱的侧面积为，表面积为，故该圆柱的侧面积与表面积的比值为.
湖南高三期末（文））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
故答案选A
3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）
A．倍B．3倍C．2倍D．5倍
【解析】由题意可知，如下图所示，设，则
所以圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为
即圆锥的侧面积是底面积的倍故答案选C
运用三球
【例3】
（1）由球O的球面上一点P作球的两两互相垂直的三条弦PA，PB，PC．已知，，，求球O的表面积和体积．
四川石室中学高三月考（文））已知球的内接圆锥体积为，其底面半径为1，则球的表面积为__________.
（3）正方体的外接球与内切球的半径之比为（）
（1）,
（2）（3）B
（1）以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体．
由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，所以，．
，．
（2）由圆锥体积为，其底面半径为，设圆锥高为
则，可求得
设球半径为，可得方程：
，解得：
本题正确结果：
（3）设正方体的边长为，画出图像如下图所示，设为正方体体对角线的交点，为上底的中心，所以正方体外接球的半径为，正方体内切球的半径为，故正方体的外接球与内切球的半径之比为，故选B.
1．已知一个高为的圆锥内接于一个体积为的球，在圆锥内又有一个内切球．求：
（1）圆锥的侧面积．
（2）圆锥内切球的体积．
（1）侧面积；
（2）
（1）作出轴截面,如下图所示：
则等腰三角形内接于圆,而圆内切于,设圆的半径为,由题意,得,,;
已知,连接,是直径,,
,
,,,
所以圆锥的侧面积;
（2）设圆锥的内切球的半径为,也即的内切圆的半径为，
的周长为,
又三角形的面积，所以，
;
圆锥的内切球的体积.
广东实验中学高三月考（理））三棱锥的底面是等腰三角形，，侧面是等边三角形且与底面垂直，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．
【解析】由题意，由余弦定理由正弦定理的外接圆半径等边三角形的高为3，设球的半径为球心到底面的距离为，则
所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：
20π．
3．已知棱长为的正方体，甲球是正方体的内切球，乙球是正方体的外接球，丙球与正方体的各棱都相切，则甲、乙、丙三球的表面积之比为（）．
【解析】由已知得甲球是正方体的内切球，示意图如下图，从中截面可以看出甲球的直径等于正方体的棱长，设甲球的半径为，则，所以，所以甲球的表面积为；
乙球是正方体的外接球，示意图如下图,从中截面可以看出乙球的直径等于正方体的体对角线长，设乙球的半径为，则，所以，所以乙球的表面积为；
丙球与正方体的各条棱相切，示意图如下图,从中截面可以看出丙球的直径等于正方体的面对角线长，设丙球的半径为，则，所以，所以丙球的表面积为；
所以，
强化练习
四川棠湖中学高二月考）一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为（ ）
A．1：
3B．1：
4C．1：
5D．1：
6
【解析】由题意可知：
几何体被平面ABCD平面分为上下两部分，
设正方体的棱长为2，上部棱柱的体积为：
；
下部为：
，截去部分与剩余部分体积的比为：
．故选：
A．
全国高三月考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
【解析】根据三视图可得对应的几何体为四棱锥，
它是正方体中去掉一个三棱锥和三棱柱，
又，到底面的距离为，故，
故选C.
3．（2019·
天水市第一中学高三月考（理））已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
【解析】由三视图知，该几何体有四分之一圆锥与三棱锥构成，故体积为，故选A.
4．（2019·
安徽省泗县第一中学高二期末（文））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．12B．15C．18D．21
【解析】根据三视图可得出该几何体为底面为直角梯形的直棱柱，底面积，故该几何体的体积，故选：
B．
5（2019·
广东高一期末）已知圆柱的轴截面为正方形，且该圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为
【解析】设圆柱的底面半径.因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为
因为该圆柱的侧面积为，所以，解得，
故该圆柱的体积为.故答案选C
6．（2019·
江西上高二中高二月考（理））圆锥的母线长为，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（）
【解析】一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图为半圆，
半圆的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径是，则得到，解得，这个圆锥的底面半径是，
圆锥的表面积为．故选：
7．（2019·
江苏高一期末）已知圆锥的底面半径为，母线与底面所成的角为，则此圆锥的侧面积为（）
【解析】由于圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，
所以母线长，故圆锥的侧面积；
故答案选B
8．（2019·
河北高一月考）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的表面积之比为（）
A．B．
C．D．
【解析】设球的半径为，圆柱的表面积。
圆锥的表面积，，，故。
球表面积，所以，故选A
9．（2018·
辽宁高一期末）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：
4，且该圆台的母线长为9，则截去的圆锥的母线长为（）
A.B.3C.12D.36
【解析】根据题意，设圆台的上、下底面的半径分别为r、R，
设圆锥的母线长为L，截得小圆锥的母线长为l，
∵圆台的上、下底面互相平行
∴，可得L=4l
∵圆台的母线长9，可得L﹣l=9
∴=9，解得L=12，
∴截去的圆锥的母线长为12-9=3
B
10．（2019·
新疆乌鲁木齐市第70中高一期末（理））圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面圆的半径为（ ）
A.3B.5C.6D.7
【答案】D
【解析】设圆台较小底面圆的半径为，由已知有另一底面圆的半径为，而圆台的侧面积公式为，选D.
11．（2019·
安徽高一期末）一个圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为________．
【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，其侧面积为，底面积为，
则，解得，，∴高＝＝＝，
∴＝＝．
12．（2018·
河北邢台一中高一月考（文））圆台的上下底面半径分别为1、2，母线与底面的夹角为60°
，则圆台的侧面积为________.
【解析】，
故答案为
13．（2018·
广州市培正中学高一单元测试）一个圆台的两底面的面积分别为，，侧面积为，则这个圆台的高为_____
【答案】4
【解析】圆台的两底面的面积分别为，，
所以，所以，
，所以，
所以，故答案是4.
14．（2017·
浙江高二期中）若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是，则这个圆台的侧面积是___________.
【解析】设上底半径为，则下底半径为，由母线与下底面所成的角是，轴截面是底角为的等腰梯形，因为圆台
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