版高中数学第四章导数应用22最大值最小值问题一学案北师大版选修11Word格式文档下载.docx
《版高中数学第四章导数应用22最大值最小值问题一学案北师大版选修11Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学第四章导数应用22最大值最小值问题一学案北师大版选修11Word格式文档下载.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
（3）比较极值与端点函数值大小，确定最值．
跟踪训练1 求函数f（x）＝ex（3－x2），x∈[2,5]的最值．
命题角度2 含参数的函数求最值
例2 已知a是实数，函数f（x）＝x2（x－a）．
（1）若f′
（1）＝3，求a的值及曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[0,2]上的最大值．
反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化．所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．
跟踪训练2 已知a为常数，求函数f（x）＝－x3＋3ax（0≤x≤1）的最大值．
类型二 由函数的最值求参数
例3 设函数f（x）＝lnx＋，m>
0，求f（x）的最小值为2时m的值．
反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值（范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
跟踪训练3 设f（x）＝－x3＋x2＋2ax.当0<
a<
2时，f（x）在[1,4]上的最小值为－，求f（x）在该区间上的最大值．
类型三 与最值有关的恒成立问题
例4 已知函数f（x）＝（x＋1）lnx－x＋1.
若xf′（x）≤x2＋ax＋1恒成立，求a的取值范围．
反思与感悟 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可．
一般地，可采用分离参数法．λ≥f（x）恒成立⇔λ≥[f（x）]max；
λ≤f（x）恒成立⇔λ≤[f（x）]min.
跟踪训练4 已知函数f（x）＝ax4lnx＋bx4－c（x＞0）在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．若对任意x＞0，不等式f（x）≥－2c2恒成立，求c的取值范围．
1．函数f（x）＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是（ ）
A．f
（2），f（3）B．f（3），f（5）
C．f
（2），f（5）D．f（5），f（3）
2．函数f（x）＝x3－3x（|x|<
1）（ ）
A．有最大值，但无最小值
B．有最大值，也有最小值
C．无最大值，但有最小值
D．既无最大值，也无最小值
3．函数f（x）＝x3－3ax－a在（0,1）内有最小值，则a的取值范围是（ ）
A．[0,1）B．（0,1）
C．（－1,1）D.
4．已知函数f（x）＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f（x）＋9≥0恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m≥B．m>
C．m≤D．m<
5．设函数f（x）＝2x3－9x2＋12x＋8c，若对任意的x∈[0,3]，都有f（x）<
c2成立，则实数c的取值范围．
1．求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；
若函数在一个开区间内只有一个极值，则这个极值就是最值．
2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论．
3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题．
答案精析
问题导学
知识点
思考1 极大值为f（x1），f（x3），极小值为f（x2），f（x4）．
思考2 存在，f（x）min＝f（a），
f（x）max＝f（x3）．
思考3 不一定，也可能是区间端点的函数值．
梳理
（1）连续不断
（2）①极值 ②各极值 端点 最大值 最小值
题型探究
例1 解
（1）因为f（x）＝2x3－12x，
所以f′（x）＝6x2－12＝6（x＋）（x－），
令f′（x）＝0，解得x＝－或x＝.
因为f（－2）＝8，f（3）＝18，
f（）＝－8，
f（－）＝8；
所以当x＝时，f（x）取得最小值－8；
当x＝3时，f（x）取得最大值18.
（2）f′（x）＝＋cosx，令f′（x）＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因为f（0）＝0，f（2π）＝π，
f（）＝＋，
f（）＝－.
所以当x＝0时，f（x）有最小值0；
当x＝2π时，f（x）有最大值π.
跟踪训练1 解 ∵f（x）＝3ex－exx2，
∴f′（x）＝3ex－（exx2＋2exx）
＝－ex（x2＋2x－3）
＝－ex（x＋3）（x－1）．
∵在区间[2,5]上，
f′（x）＝－ex（x＋3）（x－1）<
0，
∴函数f（x）在区间[2,5]上是减少的，
∴当x＝2时，函数f（x）取得最大值
f
（2）＝－e2；
当x＝5时，函数f（x）取得最小值
f（5）＝－22e5.
例2 解
（1）f′（x）＝3x2－2ax.
因为f′
（1）＝3－2a＝3，
所以a＝0.又当a＝0时，f
（1）＝1，
f′
（1）＝3，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为3x－y－2＝0.
（2）令f′（x）＝0，
解得x1＝0，x2＝.
当≤0，即a≤0时，f（x）在[0,2]上是增加的，
从而f（x）max＝f
（2）＝8－4a.
当≥2，即a≥3时，f（x）在[0,2]上是减少的，
从而f（x）max＝f（0）＝0.
当0<
<
2，即0<
3时，
f（x）在上是减少的，
在上是增加的，
从而f（x）max＝
综上所述，
f（x）max＝
跟踪训练2 解 f′（x）＝－3x2＋3a
＝－3（x2－a）．
若a≤0，则f′（x）≤0，函数f（x）在[0,1]上是减少的，
所以当x＝0时，f（x）有最大值f（0）＝0；
若a>
0，则令f′（x）＝0，解得x＝±
.
由x∈[0,1]，则只考虑x＝的情况．
①当0<
1，即0<
1时，
当x变化时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
（0，）
（，1）
f′（x）
＋
－
f（x）
2a
故f（x）max＝f（）＝2a；
②当≥1，即a≥1时，f′（x）≥0，函数
f（x）在[0,1]上是增加的，当x＝1时，
f（x）有最大值f
（1）＝3a－1.
综上，当a≤0，x＝0时，f（x）有最大值0；
1，x＝时，f（x）有最大值2a；
当a≥1，x＝1时，f（x）有最大值3a－1.
例3 解 因为f′（x）＝（x>
0），
所以当x∈（0，m）时，f′（x）<
0，f（x）在（0，m）上是减少的，
当x∈（m，＋∞）时，f′（x）>
0，f（x）在（m，＋∞）上是增加的，
所以当x＝m时，f（x）取得极小值，也是最小值，即极小值为2.
即f（m）＝lnm＋＝2，
所以m＝e.
跟踪训练3 解 f′（x）＝－x2＋x＋2a，
令f′（x）＝0，得两根x1＝，
x2＝.
当x∈（－∞，x1），（x2，＋∞）时，
f′（x）<
0；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）>
所以f（x）在（－∞，x1），（x2，＋∞）上是减少的，在（x1，x2）上是增加的．
2时，有x1<
1<
x2<
4，
所以f（x）在[1,4]上的最大值为f（x2）．
又f（4）－f
（1）＝－＋6a<
即f（4）<
f
（1），
所以f（x）在[1,4]上的最小值为
f（4）＝8a－＝－，
故a＝1，x2＝2，
从而f（x）在[1,4]上的最大值为
f
（2）＝.
例4 解 f′（x）＝＋lnx－1＝lnx＋，xf′（x）＝xlnx＋1，而xf′（x）≤x2＋ax＋1（x＞0）等价于lnx－x≤a.
令g（x）＝lnx－x，则g′（x）＝－1.
当0＜x＜1时，g′（x）＞0；
当x≥1时，g′（x）≤0，x＝1是
g（x）的最大值点，∴g（x）≤g
（1）＝－1.
综上可知，a的取值范围是.
跟踪训练4 解 由题意，知
f
（1）＝－3－c.
因此b－c＝－3－c，从而b＝－3.
所以对f（x）求导，得
f′（x）＝4ax3lnx＋ax4·
－12x3
＝x3（4alnx＋a－12）．
由题意，知f′
（1）＝0，
即a－12＝0，得a＝12.
所以f′（x）＝48x3lnx（x＞0），
令f′（x）＝0，得x＝1.
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）为减函数；
当x＞1时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数．
所以f（x）在x＝1处取得极小值f
（1）＝－3－c，
并且此极小值也是最小值．
所以要使f（x）≥－2c2（x＞0）恒成立，
只需－3－c≥－2c2即可．
整理，得2c2－c－3≥0，
解得c≥或c≤－1.
所以c的取值范围是（－∞，－1]∪.
当堂训练
1．B 2.D 3.B 4.A
5．解 ∵f′（x）＝6x2－18x＋12
＝6（x－1）（x－2），
∴当x∈（0,1）时，f′（x）>
当x∈（1,2）时，f′（x）<
当x∈（2,3）时，f′（x）>
0.
∴当x＝1时，f（x）取极大值
f
（1）＝5＋8c.
又f（3）＝9＋8c>
∴当x∈[0,3]时，f（x）的最大值为
f（3）＝9＋8c.
∵对任意的x∈[0,3]，
有f（x）<
c2恒成立，
∴9＋8c<
c2，即c<
－1或c>
9.
故c的取值范围为
（－∞，－1）∪（9，＋∞）．
升级会员 