版高考数学理高分计划一轮狂刷练第3章 三角函数解三角形 36a Word版含答案解析Word格式.docx

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b.故选A.

3．（2017·

湖南长郡中学六模）若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，则等于（　　）

A．2B．3C.D.

解析　由2bsin2A＝asinB，得4bsinAcosA＝asinB，由正弦定理得4sinBsinAcosA＝sinAsinB，∵sinA≠0，且sinB≠0，∴cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋4b2－b2，∴a2＝4b2，∴＝2.故选A.

4．（2017·

衡水中学调研）在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则＝（　　）

A．1B．2C．－2D.

答案　B

解析　不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故cosC＝＝－，故＝＝＝2，故选B.

5．在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2＋c2＝a2＋bc.若sinBsinC＝，△ABC的形状（　　）

A．等边三角形B．不含60°

的等腰三角形

C．钝角三角形D．直角三角形

解析　在△ABC中，由余弦定理，可得cosA＝，由已知，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝.

∵0<

A<

π，故A＝.

∵A＋B＋C＝π，A＝，∴C＝－B.

由sinBsinC＝，得sinBsin＝.

即sinB＝.

sinBcosB＋sin2B＝，

sin2B＋（1－cos2B）＝，

sin2B－cos2B＝1，∴sin＝1.

又∵－<

2B－<

，

∴2B－＝，即B＝.

∴C＝，也就是△ABC为等边三角形．故选A.

6．（2014·

江西高考）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝（a－b）2＋6，C＝，则△ABC的面积是（　　）

A．3B.C.D．3

解析　c2＝（a－b）2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

∵C＝，∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②

由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×

6×

＝，故选C.

7．（2018·

上海杨浦质量调研）设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为（　　）

A．（，）B．（1，）C．（，2）D．（0,2）

解析　由＝＝，得b＝2cosA.

<

A＋B＝3A<

π，从而<

.

又2A<

，所以A<

所以<

，<

cosA<

，所以<

b<

.故选A.

8．（2014·

全国卷Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（　　）

A．5B.C．2D．1

解析　S△ABC＝AB·

BCsinB＝×

1×

sinB＝，∴sinB＝，∴B＝45°

或135°

.若B＝45°

，则由余弦定理得AC＝1，∴△ABC为直角三角形，不符合题意，因此B＝135°

，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·

BCcosB＝1＋2－2×

×

＝5，∴AC＝.故选B.

9．（2018·

辽宁五校第一次联考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，则△ABC一定是（　　）

A．锐角三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等腰或者直角三角形

解析　由两直线平行可得bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2A＝sin2B，又A、B∈（0，π），且A＋B∈（0，π），所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A＋B＝，则△ABC是直角三角形，故选C.

10．（2017·

武昌调研）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2bsinC，则tanA＋tanB＋tanC的最小值是（　　）

A．4B．3C．8D．6

解析　a＝2bsinC⇒sinA＝2sinBsinC⇒sin（B＋C）＝2sinBsinC⇒tanB＋tanC＝2tanBtanC，又根据三角形中的三角恒等式tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC（注：

tanA＝tan（π－B－C）＝－tan（B＋C）＝－，

即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC）⇒tanBtanC＝，

∴tanAtanBtanC＝tanA·

＝（tanA＝m），令m－2＝t⇒＝t＋＋4≥8，当且仅当t＝，即t＝2，tanA＝4时，取等号．故选C.

二、填空题

11．（2015·

重庆高考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.

答案　4

解析　由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.

12．（2018·

河北唐山一模）在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且A－C＝90°

，则cosB＝________.

答案　

解析　∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.

∴2sinB＝sinA＋sinC.

∵A－C＝90°

，∴2sinB＝sin（90°

＋C）＋sinC.

∴2sinB＝cosC＋sinC.

∴2sinB＝sin（C＋45°

）．①

∵A＋B＋C＝180°

且A－C＝90°

，∴C＝45°

－，代入①式中，2sinB＝sin.

∴2sinB＝cos.

∴4sincos＝cos.

∴sin＝.

∴cosB＝1－2sin2＝1－＝.

13．（2018·

沈阳监测）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4S＝a2－（b－c）2，b＋c＝8，则S的最大值为________．

答案　8

解析　由题意得4×

bcsinA＝a2－b2－c2＋2bc.

又a2＝b2＋c2－2bccosA，代入上式得2bcsinA＝－2bccosA＋2bc，

即sinA＋cosA＝1，sin＝1，

又0<

π，∴<

A＋<

，∴A＋＝，

∴A＝，S＝bcsinA＝bc，又b＋c＝8≥2，

当且仅当b＝c时取“＝”，∴bc≤16，

∴S的最大值为8.

14．（2017·

浙江高考）已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.

答案　　

解析　依题意作出图形，如图所示，

则sin∠DBC＝sin∠ABC.

由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2，

则cos∠ABC＝，sin∠ABC＝.

所以S△BDC＝BC·

BD·

sin∠DBC

＝×

2×

＝.

因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－＝

＝，所以CD＝.

由余弦定理，得cos∠BDC＝＝.

B级

三、解答题

15．（2018·

郑州质检）已知△ABC的外接圆直径为，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°

（1）求的值；

（2）若a＋b＝ab，求△ABC的面积．

解　

（1）因为＝＝＝2R＝，

所以a＝sinA，b＝sinB，c＝sinC.

所以＝＝.

（2）由c＝sinC，得c＝×

＝2，

c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab，又a＋b＝ab，

所以（ab）2－3ab－4＝0，解得ab＝4或ab＝－1（舍去），所以S△ABC＝absinC＝×

4×

16．（2017·

湖北四校联考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0.

（2）若cosC＝，求sinB的值．

解　

（1）因为sin2A＋sinAsinB－6sin2B＝0，sinB≠0，

所以2＋－6＝0，得＝2或＝－3（舍去）．

由正弦定理得＝＝2.

（2）由余弦定理得cosC＝＝.①

将＝2，即a＝2b代入①，得5b2－c2＝3b2，

得c＝b.

由余弦定理cosB＝，得

cosB＝＝，

则sinB＝＝.

17．（2018·

海淀区模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.满足2acosC＋ccosA＝b.

（1）求角C的大小；

（2）求sinAcosB＋sinB的最大值．

解　

（1）由正弦定理及2acosC＋ccosA＝b，

得2sinAcosC＋sinCcosA＝sinB.

在△ABC中，A＋B＋C＝π，

∴A＋C＝π－B，即sin（A＋C）＝sinB.

∴2sinAcosC＋sinCcosA＝sin（A＋C）＋sinAcosC＝sinB＋sinAcosC＝sinB，

∴sinAcosC＝0，

又∵0<

π，0<

C<

π，

∴sinA>

0.

∴cosC＝0，

∴C＝.

（2）由

（1）得C＝，

∴A＋B＝，即A＝－B.

∵sinAcosB＋sinB＝cos2B＋sinB＝－sin2B＋sinB＋1＝－2＋.

B<

∴当sinB＝，即B＝时，

sinAcosB＋sinB取得最大值.

18．已知等腰三角形ABC满足AB＝AC，BC＝2AB，点D为BC边上一点且AD＝BD.

（1）求tan∠ADB的值；

（2）若CD＝，求S△ABC.

解　

（1）如图，设AB＝AC＝a，AD＝BD＝b，由BC＝2AB得，BC＝a.

在△ABC中，由余弦定理得，

cos∠ABC＝＝

＝，

∴∠ABC是锐角，

则sin∠ABC＝＝.

在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·

BDcos∠ABD，

得b2＝a2＋b2－ab，解得a＝b.

由正弦定理＝，得＝，解得sin∠ADB＝，

又2b2>

a2，∴∠ADB为锐角，

∴cos∠ADB＝＝，tan∠ADB＝2.

（2）由已知可得

＝2a，①

由

（1）可知a＝b，②

联立①②得a＝2，b＝.

过A作AH⊥BC于H，则H为BC的中点，易求得DH＝.

则tan∠ADB＝＝2.

∴AH＝，

∴S△ABC＝×