圆 综合培优练习题 解答题含答案Word文档格式.docx

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8．已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，且DA：

AB＝1：

2．

（1）求∠CDB的度数；

（2）在切线DC上截取CE＝CD，连接EB，判断直线EB与⊙O的位置关系，并证明．

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，∠CAD＝45°

（1）若AB＝4，求弧CD的长；

（2）若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：

PD是⊙O的切线．

10．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若∠P＝30°

，求∠B的度数．

11．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．

AC平分∠DAB；

（2）求证：

△PCF是等腰三角形；

（3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O的半径长．

12．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝35°

，求∠P的度数．

13．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE．

（1）求AC、AD的长；

（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AC平分∠BAD，点E为AB的延长线上一点，且∠ECB＝∠CAD．

（1）①填空：

∠ACB＝　　，理由是　　；

②求证：

CE与⊙O相切；

（2）若AB＝6，CE＝4，求AD的长．

15．如图，已知AB是⊙的直径，AC是弦，点P是BA延长线上一点，连接PC，BC．∠PCA＝∠B

（2）若PC＝6，PA＝4，求直径AB的长．

16．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°

，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．

PA是⊙O的切线；

（2）若AB＝4+，BC＝2，求⊙O的半径．

17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°

，OC∥AD，AD交BC的延长线于D，AB交OC于E．

（2）若AE＝2，CE＝4．求图中阴影部分的面积．

参考答案

1．

（1）证明：

连接OC，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠OAC，

∵PC＝PF，

∴∠PCF＝∠PFC，

∵＝，AB是⊙O的直径，

∴DE⊥AB，

∴∠OAC+∠AFH＝90°

，

∵∠PDF＝∠AFH，

∴∠PFC+∠OAC＝90°

∴∠PCF+∠AC0＝90°

即OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：

当C，D在半圆弧上的三等分点时，四边形ADCO是菱形，

连接DC，OC，OD，

则＝＝，

∴∠COD＝∠DOA＝60°

∵OC＝OD＝OA，

∴△OAD与△OCD是等边三角形，

∴OC＝OD＝OA＝AD＝CD，

∴四边形ADCO为菱形．

2．

（1）证明：

连接AD．

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°

∴AD⊥BC，

又∵AB＝AC，

∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，

∵∠CAD+∠DAE＝180°

，∠CBE+∠DAE＝180°

∴∠CAD＝∠CBE，

∴∠BAC＝2∠CBE．

（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝CD＝BC＝4，

∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠CBE，

∴△CAD∽△CBE，

∴＝，

∴CE＝，

∴AE＝CE﹣AC＝﹣5＝，

∵AB是直径，

∴∠E＝90°

∴BE＝＝＝．

3．

（1）证明：

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠OCB，

∵∠B＝∠D，

∴∠BCO＝∠D．

（2）∵BA是直径，AB⊥CD，

∴CE＝ED，

∵OC＝OA＝5，AE＝2，

∴OE＝3，

∵∠CEO＝90°

∴CE＝＝4，

∴CD＝2CE＝8，

故答案为8．

4．

（1）证明：

连接OD，

∵OB＝OD，

∴∠3＝∠B，

∵∠B＝∠1，

∴∠1＝∠3，

在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°

∴∠4＝180°

﹣（∠2+∠3）＝90°

∴OD⊥AD，

则AD为圆O的切线；

（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，

∵OF⊥BD

∴DF＝BF＝BD＝3

∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°

°

∴AD＝＝2

∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°

∴△BFO∽△ACD

∴

即

∴OB＝

∴⊙O的半径为．

5．

（1）证明：

∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°

∴∠A＝∠ADO＝30°

∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°

∴∠ODB＝180°

﹣∠DOB﹣∠B＝90°

∵OD是半径，

∴BD是⊙O的切线；

（2）∵∠DOB＝60°

∴∠AOD＝120°

∵AO＝8，

∴OA、OD与围成的扇形的面积＝＝π．

6．

（1）证明：

∵OD⊥BC，

∴∠CBD＝∠DCB，

∵∠DFE+∠EDF＝90°

∴∠EDF＝90°

﹣∠DFE，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝（180°

﹣∠AOD）＝90°

﹣∠AOD，

∴90°

﹣∠DFE＝90°

∴∠DEF＝∠AOD，

∵∠DFE＝∠ADC+∠DCB＝∠ADC+∠CBD，

∴∠ADC+∠CBD＝∠AOD；

∴BE＝CE，＝，

∴BD＝CD，

∵OA＝OD，

∴∠ADO＝∠OAD，

∵PA切⊙O于点A，

∴∠PAO＝90°

∴∠OAD+∠DAP＝90°

∵∠PFA＝∠DFE，

∴∠PFA+∠ADO＝90°

∴∠PAF＝∠PFA，

∴PA＝PF．

7．解：

（1）MN是⊙O切线．

理由：

连接OC．

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A，∠BCM＝2∠A，

∴∠BCM＝∠BOC，

∵∠B＝90°

∴∠BOC+∠BCO＝90°

∴∠BCM+∠BCO＝90°

∴OC⊥MN，

∴MN是⊙O切线．

（2）由

（1）可知∠BOC＝∠BCM＝60°

∴∠AOC＝120°

在RT△BCO中，OC＝OA＝6，∠BCO＝30°

∴BO＝OC＝3，BC＝3，

∴S阴＝S扇形OAC﹣S△OAC＝﹣•6＝12π﹣9．

8．解：

（1）连接OC，∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD＝90°

设⊙O的半径为R，则AB＝2R，

∵DA：

2，

∴DA＝R，DO＝2R．

∴A为DO的中点，

∴AC＝DO＝R，

∴AC＝CO＝AO，

∴三角形ACO为等边三角形

∴∠COD＝60°

，即∠CDB＝30°

（2）直线EB与⊙O相切．

证明：

由

（1）可知∠CDO＝30°

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB＝30°

．∴∠CBD＝∠CDB．

∴CD＝CB．

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCE＝90°

∴∠ECB＝60°

又∵CD＝CE，

∴CB＝CE．

∴△CBE为等边三角形．

∴∠EBA＝∠EBC+∠CBD＝90°

∴EB是⊙O的切线．

9．解：

（1）连接OC，OD，

∵∠COD＝2∠CAD，∠CAD＝45°

∴∠COD＝90°

∵AB＝4，

∴OC＝AB＝2，

∴的长＝×

π×

2＝π；

（2）∵＝，

∴∠BOC＝∠AOD，

∵∠COD＝90°

∴∠AOD＝45°

∴∠ODA＝∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA+∠OAD＝180°

∴∠ODA＝67.5°

∵AD＝AP，

∴∠ADP＝∠APD，

∵∠CAD＝∠ADP+∠APD，∠CAD＝45°

∴∠ADP＝∠CAD＝22.5°

∴∠ODP＝∠ODA+∠ADP＝90°

∴PD是⊙O的切线．

10．解：

∵PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径，

∵∠P＝30°

∴∠AOP＝60°

∴∠B＝∠AOP＝30°

11．

（1）证明：

∵PD为⊙O的切线，

∴OC⊥DP，

∵AD⊥DP，

∴OC∥AD，

∴∠DAC＝∠OCA，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴AC平分∠DAB；

（2）证明：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝45°

∴∠BOE＝2∠BCE＝90°

∴∠OFE+∠OEF＝90°

而∠OFE＝∠CFP，

∴∠CFP+∠OEF＝90°

∵OC⊥PD，

∴∠OCP＝90°

，即∠OCF+∠PCF＝90°

而∠OCF＝∠OEF，

∴∠PCF＝∠CFP，

∴△PCF是等腰三角形；

（3）解：

连结OE．

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°

∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°

∴∠BOE＝90°

，即OE⊥AB，

设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，

在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2，

∴r2+（6﹣r）2＝

（2）2，

解得，r1＝4，r2＝2，

当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意），

当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去），

∴⊙O的半径r＝4．

12．解：

∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°

∵∠BAC＝35°

，OA＝OB，

∴∠BAC＝∠OBA＝35°

∴∠PAB＝∠PBA＝55°

∴∠P＝180°

﹣∠PAB﹣∠PBA＝70°

即∠P的度数是70°

13．解：

（1）