百校联盟届高三TOP20四月联考全国II卷数学理试题Word版含答案Word格式文档下载.docx

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8.已知，则不等式的解集为（）

9.已知数列中，，则（）

A．1028B．1026C.1024D．1022

10.已知，若存在点，使得，则的取值范围为（）

11.已知函数，则函数在上的所有零点之和为（）

12.在三棱锥中，，平面和平面所成角为，则三棱锥外接球的体积为（）

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知函数则．

14.已知的展开式中所有项的系数之和为16，则展开式中含项的系数为．（用数字

作答）.

15.抛物线的焦点为，其准线为直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的角平分线所在的直线斜率是．

16.已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2），求数列的前项和.

18.如图所示，在三棱台中，和均为等边三角形，四边形为直角梯形，平面，，分别为的中点.

（1）求证:

平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.某企业有甲、乙两条生产线生产同一种产品，为了检测两条生产线产品的质量情况，随机从两条生产线生产的大量产品中各抽取了40件产品作为样本，检测某一项质量指标值，得到如图所示的频率分布直方图，若，亦则该产品为示合格产品，若，则该产品为二等品，若，则该产品为一等品.

（1）用样本估计总体的思想，从甲、乙两条生产线中各随机抽取一件产品，试估计这两件产品中恰好一件为二等品，一件为一等品的概率；

（2）根据图1和图2，对两条生产线从样本的平均值和方差方面进行比较，哪一条生产线更好；

（3）从甲生产线的样本中，满足质量指标值在的产品中随机选出3件，记为指标值在中的件数，求的分布列和数学期望•

20.已知为圆上一动点，圆心关于轴的对称点为，点分别是线段上的点，且.

（1）求点的轨迹方程；

（2）直线与点的轨迹只有一个公共点，且点在第二象限，过坐标原点且与垂直的直线与圆相交于两点，求面积的取值范围.

21.已知函数的导函数为，且，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的最大值；

（2）证明：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线，直线，以原点为极点，轴正半轴为极轴（取相同的长度单位）建立极坐标系.

（1）写出曲线和直线的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求线段的长度.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.

数学（理）试题答案

一、选择题

1-5:

ACDCB6-10:

BDBDC11、12：

CA

二、填空题

13.014.15.16.

三、解答题

17.

（1）由题意知，当时，，

又因为，且，

则，

所以，

又成等差数列，

则，所以，解得，

所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，故.

设的公差为，则，

解得，

所以.

（2）由

（1）得，

，

两式相减得，

整理得.

18.

（1）取的中点，连接，

因为平面，平面，

所以平面，

因为三棱台中，，

因为，所以平面平面，因为平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，

所以，

因为，

所以平面，所以，

因为为直角梯形，

所以为正方形，所以，

所以两两互相垂直，分别以为轴建立空间直角坐标系，

由，得，

设平面的一个法向量为，

由得，

令，得，

由得

所以

由图观察可知，平面与平面所成二面角为钝角，所以其余弦值为.

19.

（1）由频率分布直方图可知，甲生产线中二等品的概率为，

—等品的概率为，

乙生产线中二等品的概率为，

一等品的概率为，

所以两件产品中一件为二等品，一件为一等品的概率为.

（2）设两条生产线样本的平均值分别为，则，

由频率分布直方图可知，甲生产线的数据较为分散，乙生产线的数据较为集中，所以甲生产线的数据方差大于乙生产线的数据方差，所以乙生产线更好.

（3）甲生产线样本质量指标值在的件数为，

质量指标值在的件数为，

由题意可知的取值为0，1，2，3；

所以的分布列为：

的数学期望.

20.

（1）因为，所以为的中点，因为，所以，所以点在的垂直平分线上，所以，

因为，所以点在以为焦点的椭圆上，

因为，所以，

所以点的轨迹方程为.

（2）由得，，

因为直线与椭圆相切于点，

所以，即，

即点的坐标为，

因为点在第二象限，所以，

所以点的坐标为，

设直线与垂直交于点，则是点到直线的距离，

设直线的方程为，

则

当且仅当，即时，

有最大值，

即面积的取值范围为.

21.

（1）因为，所以，

解得则，

令，得，令得，

所以当时，.

（2）由

（1）得的最大值为0，

从而，

要证，

即，

故只需证，

即证成立；

令

令，则，

因为单调递增，所以当时，，单调递减，即单调递减.

当时，，单调递增，即单调递增，

因为，，

由零点存在定理可知，，使得，

故当或时，单调递增；

当时，单调递减，

所以的最小值是或.

故当时，，所以原不等式成立.

22.

（1）依题意，曲线，即，

将代入上式得，

因为直线，直线，

故直线的极坐标方程为.

（2）设两点对应的极径分别为，

在中，

令得，，

23.

（1）当时，由，

得，

当时，由，得；

综上所述，的解集为.

（2）不等式，

即为，

即关于的不等式恒成立，而，

当且仅当时等号成立，所以，

解得或，

解得或.

所以的取值范围是.