小升初数学讲义高频考点和题型精准聚焦讲与练立体图形典型应用题做题方法技巧一 全国通用.docx

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小升初数学讲义高频考点和题型精准聚焦讲与练立体图形典型应用题做题方法技巧一全国通用

小升初数学高频考点与题型精准聚焦讲与练

★★小升初高频考点和题型精准聚焦★★

聚焦小升初立体图形应用题

精准聚焦小升初高频考点

我们是认真的！

千淘万漉虽辛苦，吹尽黄沙始到金

温馨提示：

聚焦小升初立体图形典型应用题做题方法技巧

（一）

精雕细琢，只为不失1分！

题不再多，有“用”则灵！

要记住！

“苍蝇腿上的肉也是肉啊！

”

★★小升初立体图形高频考点典型应用题

（一）★★

1、小升初立体图形高频考点应用题理论知识内容储备：

⑴、长方体的体积＝长×宽×高＝a×b×h＝abh。

⑵、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长＝a³。

⑶、圆柱的体积＝底面积×高＝∏r²h。

⑷、圆锥的体积＝底面积×高×1/3＝1/3∏r²h。

☛圆锥的高＝圆锥的体积×3÷∏r²

圆锥半径r²＝圆锥的体积×3÷∏÷h

圆锥的高一定，圆锥的体积和半径的平方成正比例。

圆锥的半径一定，圆锥的体积和高不成比例。

圆锥的半径的平方一定，圆锥的体积和高成正比例。

★规律知识小结：

必须牢记：

知道圆锥的体积去求其它的条件，如高、底面的半径，首先要用圆锥的体积×3，小升初必考内容，值得关注！

★⑸、物体放在水里（必须是完全浸没）排开水的体积就等于放入水中的物体的体积。

◆⑹、完全浸没于水中的物体的体积等于容器内上升或下降的水的体积。

结论成立的前提条件是：

物体完全浸没于水中，否则结论不成立！

如：

2、小升初立体图形高频考点典型应用题例题解析：

例1、物理实验课中，张老师将一个底面直径是20厘米，高为15厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是40厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？

（8分）

【聊城市东昌中学2018年小升初应用题真题】

做题思路方法简析：

完全浸没在水里的物体的体积等于物体排开水的体积，据此可知，全部浸没在水里的金属圆锥体的体积就等于排开的那部分水的体积。

因为水是盛放在圆柱形水槽中，所以水槽中上升的那部分水的体积就等于圆锥的体积。

方法一：

根据等量关系列方程

解：

设上升的水的高度为x厘米，根据题意，可得：

3.14×（40÷2）²×x＝3.14×（20÷2）²×15×，为计算的简便和杜绝错误，等式两边先同时除以3.14，得：

20²×x＝10²×5，即：

x＝500÷400＝1.25

答：

水槽的水面会升高1.25厘米。

方法二：

根据等量关系用算术法解

解：

3.14×（20÷2）²×15×÷[3.14×（40÷2）²】

＝3.14×100×5÷[3.14×400］

＝1.25（厘米）

答：

水槽的水面会升高1.25厘米。

例2、一个圆柱的底面半径是20厘米，里面盛的水高是80厘米。

现将一个底面周长是62.8厘米的圆锥完全沉入水中，水面比原来升高了,圆锥的高是多少？

（10分）

【聊城市东昌中学2018年小升初应用题真题】

做题思路方法简析：

上升的水的体积就等于完全浸没于水中的物体的体积，据此可知，圆柱形容器中上升的水的体积就是完全浸没于水中的圆锥体的体积。

方法一：

根据等量关系列方程

解：

设圆锥的高为x厘米，根据题意，可得：

3.14×20²×（80×）＝3.14×（62.8÷3.14÷2）²×x×，为计算简便和杜绝错误，等式两边同时除以3.14，得：

400×5＝x,x＝2000×,x＝60

答：

圆锥的高是60厘米。

方法二：

根据等量关系用算术法解

解：

3.14×20²×（80×）×3÷[3.14×（62.8÷3.14÷2）²］

＝3.14×400×5×3÷[3.14×100］

＝6000÷100

＝60（厘米）

答：

圆锥的高是60厘米。

做题思路方法心得：

本题中排开水的体积等于圆锥的体积，即圆锥的体积就等于排开水的体积，而圆锥的体积是底面积乘高×，所以知道排开水的体积来求圆锥的高，排开水的体积，千万不要忘了×3；其次为最少地减少运算失误，建议首先对等式两边同时除以公有的“因数”3.14，这在计算量较大的运算过程中，是非常必要和明智的。

例3、一张长方形硬纸片长为16厘米，宽为12厘米，从四个角各剪掉一个边长为3厘米的正方形，然后折成一个无盖的盒子，这个盒子至少用了多少平方厘米的硬纸片？

它的容积有多少立方厘米？

做题思路方法简析：

长方形硬纸片，从4个角各剪掉一个边长为3厘米的正方形，折成一个无盖的盒子，这是一个无盖的长方体，长方体的长为16－3－3＝10厘米，宽为12－3－3＝6厘米，高为3厘米，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，而在本题中，长方体的无盖盒子的表面积少了一个底面的面积，长方体的容积＝长×宽×高，只要求出相应的条件，根据题意代入上述公式，即可求解。

解：

长方体的长为：

16－3－3＝10厘米，长方体的宽为：

12－3－3＝6厘米，高为：

3厘米，它的表面积为：

（10×6＋10×3＋6×3）×2－10×6＝（60＋30＋18）×2－60＝108×2－60＝216－60＝156（平方厘米），容积为：

10×6×3＝180（立方厘米）

答：

这个盒子至少用了156平方厘米的硬纸片，它的容积有180立方厘米。

例4、把一个高3分米的圆柱底面平均分成若干个扇形，然后把圆柱切开，拼成一个近似的长方体，长方体的表面积比圆柱的表面积增加了120平方厘米，原来圆柱的表面积是多少平方厘米？

（4分）

【聊城市实验中学2019年小升初应用题真题】

做题思路方法简析：

圆柱的表面积＝圆柱的侧面积＋两个底面圆的面积＝2∏rh＋2∏r²，从题中可知圆柱的高h＝3分米已知，所以只要再求出圆的半径，再代入圆柱的表面积公式即可求解。

因为圆柱进行切割拼成长方体后，长方体的表面积比圆柱的表面积多出了长方体的左右两个长方形的面积，长方形的宽＝圆柱底面的半径r，长方形的长为圆柱的高3分米＝30厘米（做题首先要看单位是否统一！

），∴120＝2hr,∴r＝120÷2h＝120÷（2×30）＝2厘米，半径求出，代入圆柱表面积公式即可。

方法一：

解：

3分米＝30厘米，r＝120÷2÷30＝2厘米，

S表＝2∏rh＋2∏r²

＝2×3.14×2×30＋2×3.14×2²

＝376.8＋25.12

＝401.92（平方厘米）

答：

原来圆柱的表面积是401.92平方厘米。

方法二：

充分利用我们已经总结的“小升初高频考点知识内容储备”总结的公式，圆柱的表面积=2∏r×（h＋r）,只要你记住了，代入即可。

S表＝2∏r×（h＋r）＝2×3.14×2×（30＋2）＝12.56×32＝401.92（平方厘米）

答：

原来圆柱的表面积是401.92平方厘米。

例5、一个圆锥形小麦堆，底面周长是12.56米，高是2.4米，如果每立方米小麦重750千克，小麦的出粉率为80%，这堆小麦能磨多少千克面粉？

（4分）

【聊城市实验中学小升初2018年应用题真题】

做题思路方法简析：

出粉率＝面粉÷小麦的总重量×100%，∴面粉的重量＝小麦的总重量×出粉率×100%，要求小麦“能磨出多少千克面粉”，出粉率知道，只要求出小麦的重量即可，小麦的重量等于小麦的体积乘以它的比重即可，比重“每立方米重750千克”已知，故只要求出圆锥形小麦堆的体积即可，而小麦堆的体积可根据圆锥形小麦堆的体积公式去求即可。

解：

r＝12.56÷3.14÷2＝2米，V圆锥＝3.14×2²×2.4×＝10.048立方米，小麦堆的重量：

10.048×750＝7536千克，磨的面粉的重量：

7536×80%＝6028.8（千克）

答：

这堆小麦能磨出6028.8千克的面粉。

例6、一个底面内直径为8分米的圆柱形无盖水桶，高为6分米，做这个水桶需要多少铁皮？

（接口处忽略不计）如果水桶装有60%的水，则装的水有多少升？

做题思路方法简析：

根据题意可知，题目第一问求的是水桶的表面积，但缺少了一个底面圆的面积；第二问求的是水桶的容积，代入体积公式，并换算成容积单位即可。

解：

S圆柱＝2∏rh＋∏r²＝2×3.14×（8÷2）×6＋3.14×（8÷2）²

＝150.72＋50.24

＝200.96（平方分米）

V圆柱＝∏r²h＝3.14×（8÷2）²×6＝3.14×16×6＝50.24×6＝301.44（立方分米）

301.44×1×60%＝301.44×60%＝180.864（升）

答：

这个水桶需要200.96平方分米的铁皮；装的水有180.864升。

例7、聊城公路局正对各道路进行整修工程，某工地现有一个圆锥形沙堆，底面积是28.26平方米，高是3.5米。

若用这堆沙在15米的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？

（8分）

【聊城市文轩中学小升初2019年应用题真题】

做题思路方法简析：

方法一：

根据等量关系用算术法解答

根据题意可知，圆锥形沙堆的沙子全部铺在了公路上，所以沙子的体积没有改变，只是由圆锥形演变成了长方体，所以圆锥的体积等于长方体的体积，根据此等量关系可以求解。

解：

2厘米＝0.02米，28.26×3.5×÷（15×0.2）＝28.26×3.5×÷3＝28.26×3.5×1/9＝10.99（米）

答：

能铺10.99米。

方法二：

根据等量关系用方程法解答

根据题意可知，圆锥形沙子的体积和长方体形状沙子的体积应该相等，据此可列方程进行解答。

解：

设能铺x米，2厘米＝0.02米，根据题意可得：

28.26×3.5×＝15×0.2×x

32.97＝3x

x＝32.97÷3

x＝10.99

答：

能铺10.99米。

例8、星期天小明请8个好朋友到家里玩，妈妈买来汇源果汁招待同学们，汇源果汁在长方体盒子中，长15厘米，宽8厘米，高是20厘米。

给每个同学倒了一满杯（杯子是圆柱形），杯子的底面积是28.26平方厘米，高是8厘米，招待客人后，小明自己还有饮料喝吗？

（8分）

【聊城市东昌中学2018年小升初应用题真题】

做题思路方法简析：

根据题意可知，小明是否还有饮料可喝，只要算出8满杯圆柱形饮料的容积和长方体形状盒子的容积，进行比较即可知道结果。

长方体的体积为：

15×8×20＝2400（立方厘米），8杯圆柱形饮料的体积为：

28.26×8×8＝1808.64（立方厘米），因为2400＞1808.64，所以招待客人后，小明自己还有饮料喝。

解：

15×8×20＝2400（立方厘米），28.26×8×8＝1808.64（立方厘米）＜2400（立方厘米）

答：

招待客人后，小明自己还有饮料喝。

例9、甲、乙两个圆柱形水桶，甲桶的半径是10厘米，乙桶的半径是8厘米，高都是24厘米，如果把乙桶装满水倒入甲桶，那么甲桶中水深多少厘米？

（6分）

【临沂市2019年小升初应用题真题】

做题思路方法简析：

根据题意可知，把甲桶的水倒入乙桶，水的体积未变，所以可根据这一等量关系来列式求解。

解：

3.14×8²×24÷（3.14×10²）

＝（3.14×64×24）/（3.14×100）

＝64×24÷100

＝15.36（厘米）

答：

甲桶中水深15.36厘米。

做题方法技巧心得：

●★在计算的过程中，一定要学会这种约掉公因数的方法，这样计算不但省时省力，而且不容出错，尤其是写成分数的形式，再进行约分，更会让改卷老师刮目相看！

例10、要做一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸（无盖），底面半径是20厘米，高是30厘米，

⑴、至少需要多少平方分米的钢化玻璃？

（8分）

⑵、将做好的鱼缸里装入15厘米高的水，小明将一颗珊瑚放进鱼缸后发现水面升高了5厘米，请你算算珊瑚石的体积是多少？

（7分）

【聊城市东昌中学2018年小升初应用题真题】

做题思路方法简析：

⑴、根据题意可知，“至少需要多少平方分米的钢化玻璃”，求的是圆柱形钢化玻璃鱼缸的表面积，但要注意这个