全国初中数学竞赛预赛Word格式.docx

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倒数等于它本身的自然数是1，∴=1.

∴==0.

2.已知实数满足则代数式的值是【】

（A）（B）3（C）（D）7

【答】A．

两式相减得

3．如图，将表面展开图（图1）还原为正方体，按图2所示摆放，那么，图1

中的线段MN在图2中的对应线段是【】

（A）（B）（C）（D）

【答】C．

将图1中的平面图折成正方体，MN和线段c重合.不妨设图1中完整的正方形为完整面，△AMN和△ABM所在的面为组合面，则△AMN和△ABM所在的面为两个相邻的组合面，比较图2，首先确定B点，所以线段d与AM重合，MN与线段c重合.

4.已知二次函数的图象如图所示，则下列7个代数式，，，，，，中，其值为正的式子的个数为【】

（A）2个（B）3个（C）4个（D）4个以上

由图象可得：

，，，∴，，.

抛物线与轴有两个交点，∴.当=1时，，即.

当=时，，即.从图象可得，抛物线对称轴在直线=1的左边，即，∴.因此7个代数式中，其值为正的式子的个数为4个.

5.如图，Rt△OAB的顶点O与坐标原点重合，∠AOB=90°

，AO=2BO，当A点在反比例函数（x>

0）的图象上移动时，B点坐标满足的函数解析式为【】

（A）（x<

0）（B）（x<

0）

（C）（x<

0）（D）（x<

0）

【答】B．

如图，分别过点分别做轴的垂线，那么∽，则，故.

6．如图，四边形ABHK是边长为6的正方形，点C、D在边AB上，且AC=DB=1，点P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP，E、F分别为MN、QR的中点，连接EF，设EF的中点为G，则当点P从点C运动到点D时，点G移动的路径长为【】

（A）1（B）2（C）3（D）6

设KH中点为S，连接PE、ES、SF、PF、PS，可证明四边形PESF为平行四边形，

∴G为PS的中点,即在点P运动过程中，G始终为PS的中点，所以G的运行轨迹为△CSD的中位线,

∵CD=AB－AC－BD=6－1－1=4，∴点G移动的路径长为=2.

二、填空题（共6小题，每小题6分，共36分）

7．已知，化简得.

【答】．

∵，∴，，

原式=.

8.一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有6个，黄色玻璃球有9个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为.

设口袋中蓝色玻璃球有个，依题意，得，即=10，所以P（摸出一个红色玻璃球）=.

9.若，则=.

【答】8．

∵，∴.

则，即.∴

10．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°

，AB=2，将Rt△OAB绕O点顺时针旋转90°

得到Rt△OCD，则AB扫过的面积为.

∵Rt△OAB中，∠AOB=30°

，AB=2，

∴AO=CO=，BO=DO=4，

∴阴影部分面积==

==.

11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠BCD的平分线上时，CA1=.

【答】．

过A1作A1M⊥BC，垂足为M，设CM=A1M=x，则BM=4－x，

在Rt△A1BM中，

，

∴=，∴x=A1M=，

∴在等腰Rt△A1CM中，CA1=.

12．已知a、b、c、d是四个不同的整数，且满足a+b+c+d=5，若m是关于x的方程（x－a）（x－b）（x－c）（x－d）=2017中大于a、b、c、d的一个整数根，则m的值为.

【答】20．

∵（m－a）（m－b）（m－c）（m－d）=2017，且a、b、c、d是四个不同的整数，由于m是大于a、b、c、d的一个整数根，∴（m－a）、（m－b）、（m－c）、（m－d）是四个不同的正整数.∵2017=1×

2×

19×

53，

∴（m－a）+（m－b）+（m－c）+（m－d）=1+2+19+53=75.

又∵a+b+c+d=5，∴m=20.

三、解答题（第13题14分，第14题16分，第15题18分，共48分）

13.某学校为九年级数学竞赛获奖选手购买以下三种奖品，其中小笔记本每本5元，大笔记本每本7元，钢笔每支10元，购买的大笔记本的数量是钢笔数量的2倍，共花费346元，若使购买的奖品总数最多，则这三种奖品的购买数量各为多少？

设购买小笔记本x本，大笔记本y本，钢笔z支，

则有，.

易知0＜x≤69，0＜y≤49，0＜z≤34,……………………………………4分

∴，，即.

∵x，y，z均为正整数，≥0，即0＜z≤14

∴z只能取14，9和4.…………………………………………………8分

①当z为14时，=2，=28..

②当z为9时，=26，=18..

③当z为4时，=50，=8..

综上所述，若使购买的奖品总数最多，应购买小笔记本50本，大笔记本8本，钢笔4支.……………………………………………………………………14分

14.如图，在矩形ABCD中，AD=8，直线DE交直线AB于点E，交直线BC于F，AE=6.

（1）若点P是边AD上的一个动点（不与点A、D重合），设DP为x,四边形AEHP的面积为y,试求y与x的函数解析式；

（2）若AE=2EB.

①求圆心在直线BC上，且与直线DE、AB都相切的⊙O的半径长；

②圆心在直线BC上，且与直线DE及矩形ABCD的某一边所在直线都相切的圆共有多少个？

（直接写出满足条件的圆的个数即可.）

14、解：

（1）在Rt中，

…………………………………………………………5分

（2）①

∽.

………………………7分

若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的左侧，过点作于，则可设

.解得…………………10分

若⊙与直线DE、AB都相切，且圆心在AB的右侧，过点作于，则可设

解得

即满足条件的圆的半径为或6.…………………………………………13分

②6个.………………………………………………………………………………………16分

15.如图1，等腰梯形OABC的底边OC在x轴上，AB∥OC，O为坐标原点，OA=AB=BC，∠AOC=60°

，连接OB，点P为线段OB上一个动点，点E为边OC中点.

（1）连接PA、PE，求证：

PA=PE；

（2）连接PC，若PC+PE=，试求AB的最大值；

（3）在

（2）在条件下，当AB取最大值时，如图2，点M坐标为（0，－1），点D为线段OC上一个动点，当D点从O点向C点移动时，直线MD与梯形另一边交点为N，设D点横坐标为m，当△MNC为钝角三角形时，求m的范围.

（1）证明：

如图1，连接AE.

（2）∵PC+PE=，∴PC+PA=.

显然有OB=AC≤PC+PA=.……………7分

在Rt△BOC中,设AB=OA=BC=x，则OC=2x，OB=，

∴≤，∴≤2.

即AB的最大值为2.…………………………10分

（3）当AB取最大值时，AB=OA=BC=2，OC=4.

分三种情况讨论：

①当N点在OA上时，如图2，若CN⊥MN时，此时线段OA上N点下方的点（不包括N、O）均满足△MNC为钝角三角形.

过N作NF⊥x轴，垂足为F，

∵A点坐标为（1，），∴可设N点坐标为（，），则DF=a－m，NF=，FC=4－a.∵△OMD∽△FND∽△FCN，∴.

解得，，即当0<

<

时，△MNC为钝角三角形；

…14分

②当N点在AB上时，不能满足△MNC为钝角三角形；

………………15分

③当N点在BC上时，如图3，若CN⊥MN时，此时BC上N点下方的点（不包括N、C）均满足△MNC为钝角三角形.

∴当<

4时，△MNC为钝角三角形.

综上所述，当0<

或<

4时，△MNC为钝角三角形.…1