隐函数与参数方程求导法则Word格式文档下载.doc

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二元方程F（x，y）=x+y-a=0（a>

0）在A=[-a，a]确定两个连续的（B=[0，+）与

B=（-，0]）隐函数。

事实上，，由二元方程对应唯一一个=,且

与，且

于是，二元方程F（x，y）=x+y-a=0在A=[-a，a]确定了两个连续的隐函数。

与。

这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周，如图5.5

由此可见，所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系“明显”的函数，例如，

，，，等等，就是显函数。

在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。

值得注意的是，有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。

关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。

本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。

直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。

由于二元方程确定的隐函数，有

.

应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。

下面举例说明隐函数的求导法则：

例1求方程确定的隐函数的导数。

解方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有

，

，

解得隐函数的导数.

例2求方程确定的隐函数的导数。

解方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有

，

解得隐函数的导数

例3证明过双曲线上一点的切线方程是

.

（1）

证明首先求过点的切线斜率,即求双曲线确定的隐函数的导数在点的值.

，.

解得.在点的切线斜率.从而，切线方程是

或

.

因为点在双曲线上，所以.于是，所求得切线方程是

.

当时，有.过双曲线上点的切线方程是，也满足

（1）式.

例4证明抛物线上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于.

证明在抛物线上任取一点，即.求抛物线在点的切线斜率.由隐函数求导法则，有

或.

从而斜率.在点的切线方程是

.

它在轴与轴上的截距分别是与.于是，二截距之和是

（）+（）

====.

求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。

将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。

适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：

例5求函数的导数。

解等号两端取绝对值的对数，有

.

由隐函数的求导法则，有

，

即

例6求幂指函数的导数。

解将幂指函数等号两端取对数，有

.

按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有

，

由此得到

.

例7求函数的导数.

解等号两端取绝对值的对数，有

由求导数法则，有

，

.

二、参数方程求导法则

参数方程的一般形式是

若与都可导，且，又存在反函数，则是的复合函数，即

，.

由复合函数与反函数的求导法则，有

这就是参数方程的求导公式。

例8求椭圆上一点的切线斜率.

解法一点在上半椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是

，.

则

解法二由隐函数求导法，有

或，

解法三将椭圆化为参数方程

.

点对应的参数.由参数方程求导法，有

则

例9设炮弹的弹头初速度是，沿着与地面成角的方向抛射出去，求在时刻时弹头的运动方向（忽略空气阻力，风向等因素）.

解已知弹头关于时间的弹道曲线的参数方程是

其中是重力加速度（常数）.由参数方程的求导法，有

设在时刻弹头的运动方向与地面的夹角为，有

或