平面向量的基本定理及坐标运算基础知识点+典型例题Word文档下载推荐.docx

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不妨设，则，

由平行向量基本定理，得与平行，这与假设矛盾，因此，，即，．

4‘证明，，三点共线或点在线上的方法：

已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为……①，并且满足①式的点一定在上．

证明：

设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数，使，

∴

设点满足等式，则，即在上．

其中①式可称为直线的向量参数方程式

5.向量的中点的向量表达式：

点是的中点，则．可推广到中，若为边中点，则有存在．

二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：

1.向量的直角坐标：

如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．

向量的坐标表示：

在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；

反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标．

3.向量的直角坐标运算：

设，，则

①；

②；

③

①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；

②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．

4.坐标含义：

若，，则向量；

即：

一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．

5.用平面向量坐标表示向量共线条件：

设，，则就是两个向量平行的条件．

若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．

典型例题

一．选择题（共11小题）

1．（2018•新课标Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（　　）

A．﹣B．﹣C．+D．+

【解答】解：

在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

=﹣=﹣

=﹣×

（+）

=﹣，

故选：

A．

2．（2018•城关区校级模拟）在△ABC中，点D在BC边上，且，则（　　）

A．B．C．D．

在△ABC中，点D在BC边上，且，

=+==+=，

所以x=，y=．

B．

3．（2018•资阳模拟）平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（　　）

A．B．2C．D．

∵，．

∴=，∴⇒

则λ+μ=．

D．

4．（2018•黄浦区一模）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（　　）

A．B．

C．D．

作为基底不共线即可，

共线，

不共线，

C．

5．（2018•吉林三模）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）

A．，B．，

C．，D．，

选项A，可得0×

（﹣2）﹣0×

1=0，故，不可作基底，故错误；

选项B，可得2×

（﹣）﹣（﹣3）×

=0，故，不可作基底，故错误；

选项C，可得3×

10﹣5×

6=0，故，不可作基底，故错误；

选项D，可得﹣1×

7﹣2×

5≠0，故不平行，故可作基底，故正确．

6．（2018春•薛城区校级期末）如图，已知=，=，=3，用、表示，则等于（　　）

A．+B．+C．+D．+

==；

7．（2018春•尧都区校级期末）如图所示，在△ABC中，BD=2CD，若，，则=（　　）

=+=+=+（﹣）=+=，

8．（2018•三明二模）已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（　　）

A．B．2C．3D．4

平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，

可得m=﹣4，

|+|=|（﹣1，﹣2）|=．

9．（2018•梅河口市校级二模）若向量，，则=（　　）

A．B．5C．20D．25

向量，，=（﹣3，4）

则==5．

10．（2018•咸阳二模）设向量和满足：

，，则=（　　）

A．B．C．2D．3

∵，；

∴，，两式相减得：

；

∴．

11．（2018•东莞市模拟）已知，点B的坐标为（2，3），则点A的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣3）B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（5，9）

，点B的坐标为（2，3），

设A（x，y），

∴（2﹣x，3﹣y）=（3，6），

即2﹣x=3，3﹣y=6，

解得x=﹣1，y=﹣3，

∴A（﹣1，﹣3），

二．解答题（共9小题）

12．在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D．使得=+，若存在，说明D点位置：

若不存在，说明理由．

∵E是AC的中点，

∴=（+），

则=+

=+•（+）

=+；

又∵=﹣=+﹣

=﹣

=（﹣）

=，

∴A，C，D三点共线，且D是线段AC的三等分点（靠近C的那个）．

13．已知△ABC中，对于任意实数t，=t（+），证明：

点P始终在∠ACB的平分线上．

【解答】证明：

都是单位向量，即长度为1，并且与同向，与同向，

如图，在AC上取|CD|=1，CB上取|CE|=1，作平行四边形CDFE；

则该平行四边形为菱形，

∴对角线CF为∠ACB的平分线，且，与共线；

∴点P始终在∠ACB的平分线上．

14．已知：

平行四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，点E为线段OB中点，完成下列各题（用于填空的向量为图中已有有向线段所表示向量）．

（1）当以{，}为基底时，设=，=，

用，表示=　　；

（2）设点MN分别为边DC，BC中点．

①当以{，}为基底时，设=，=，

用，表示，则=　+　．

②当以{，}为基底时，设=，=，用，表示：

=　　，=　　，=　　．

（1）=；

，，∴；

（2）①依题意；

②，；

⇒，，；

．

15．过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D、E，设=，=．

（1）用，表示向量；

（2）若=x，=y，且xy≠0，求+的值．

（1）G为△ABC的重心；

∴；

（2）根据条件，；

=

=；

又D，G，E三点共线；

16．如图，△ABC中，点E、F、G分别在边BC、AC、AB上，且===，设=，=．

（1）用、表示向量；

（2）证明：

++=0．

（1）∵===，∴==（）=+．

（2）===，

==+=﹣（）=﹣+=﹣+，

==﹣﹣=﹣﹣．

∴++=﹣+﹣﹣=．

17．若AD与BE分别为△ABC的边，BC与AC上的中线AD交BE于点O，=，=，试用，表示．

如图，B，D，C三点共线，所以向量∥，∴存在实数λ，使；

∴=；

同理，A，E，C三点共线，所以存在实数μ，使；

∴，解得λ=μ=2；

18．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（﹣2，3）．

（1）求+2﹣3；

（2）设=3，=﹣2，求及M、N点的坐标．

（1）∵A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（﹣2，3），

∴=（﹣3，5），=（﹣4，2），=（1，1），

∴+2﹣3=（﹣3，5）+2（﹣4，2）﹣3（1，1）=（﹣10，6），

（2）设M、N点的坐标为（x，y），（m，n），

∴=（x﹣3，y﹣2），=（m﹣3，n﹣2），=（﹣2，﹣4），

∵=3，=﹣2，

∴，或，

解得，或，

∴M、N点的坐标为（﹣3，﹣10），（2，1），

∴=（5，11）．

19．已知向量=（1，﹣3），=（3，0），求下列向量的坐标：

（1）+；

（2）﹣3．

（1）∵向量=（1，﹣3），=（3，0），

∴+=（4，﹣3）．

（2）﹣3=（，﹣）﹣（9，0）=（﹣，﹣）．

20．已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），=t1+t2．

（1）证明：

当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、P三点共线；

（2）试求当t1、t2满足什么条件时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．

（1）由题意知，t1=1，代入=t1+t2得，

=+t2，则﹣=t2，即=t2，

所以当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、P三点共线；

（2）设P的坐标是（x，y），

由O（0，0），A（1，2），B（4，5）得，=（1，2），=（3，3），

因为=t1+t2，所以（x，y）=t1（1，2）+t2（3，3），

解得x=t1+3t2，y=2t1+3t2，

若四边形OABP能成为平行四边形，

如图所得，，

即（1，2）=（4﹣t1﹣3t2，5﹣2t1﹣3t2），

所以，得，解得，

所以当t1=0、t2=1时，O、A、B、P能组成一个平行四边形．