计算方法教案完整Word下载.docx
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3、本课程与各课程的关系：
由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，学生必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程，同时，学习此课程还必须具备计算机系统的初步知识，掌握一门常用的高级语言，如：
BASIC、PASCAL、C语言等，并须具备一定的编程能力。
4、本课程的特点：
（1）面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。
即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
（2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，而且都是建立在相应数学理论基础上的。
（3）有好的计算复杂性。
时间复杂性好是指节省时间；
空间复杂性好是指节省存储量。
这也是建立算法时要研究的问题，因为它关系到算法能否在计算机上完成。
（4）要有数值实验。
即任何一种算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
计算方法最基本的立足点是容许误差，在误差容许的范围内对某一数学问题进行近似计算，得到能满足要求的近似结果。
现实世界中误差是普遍存在的，由于世界上没有绝对精确的量具（绝对精确的量具是没有刻度的），因此人类通过量具采集的数据都是近似值，另一方面，我们的生产、实验工具都不是绝对精确的，这就使得人类在生产和科学实验中必需容许误差。
计算机的应用可以分为二个方面，即数值计算和非数值计算。
利用计算机进行数值计算的过程如下图所示：
在上图中，计算方法的任务是：
由建立的数学模型给出可编程并由计算机能完成的计算方法，然后编程和上机求解。
由于计算方法是编程后可由计算机求解的近似计算方法，如何确保近似解的精度显得尤为重要，必须深入讨论有关误差的基本概念和基本理论，为近似计算的精度分析打下基础。
1、误差的来源（种类）
误差的来源主要有以下四种
（1）模型误差：
建立数学模型时的误差。
例如：
在求重量的数学模型G=m*g中，重量G不是仅与质量和重力加速度有关，它还与温度、测量地点的海拔、地层结构等众多因素有关，为了使模型较为简单和实用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量对重量影响不大的次要因素，建立了上述重量的近似模型，由此产生了模型误差。
（2）观测误差：
采集数据时的误差。
采集数据时，通常是依靠仪器和量具，由于没有绝对精确的仪器和量具，因此采集的数据有误差，此误差称为观测误差。
（3）舍入误差：
由于计算机字长有限而产生的误差。
硬件再发展，计算机的字长总是有限的，在计算过程中，当数据的长度超过了计算机的字长时，计算机就会进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差。
（4）截断误差：
无限形式的有限化而产生的误差。
在计算中有时会运用无限形式的计算公式，例如台劳公式：
显然此公式无法进行计算，因此必需根据实际需要，从某一项起将后面的各项截断，即
由此产生的误差称为截断误差。
1.2绝对误差与相对误差、有效数字
为描述方便，首先约定x*是精确值x的近似值。
引入误差的概念，其目的是为了衡量近似值x*的好坏。
（1）绝对误差：
x*-x
由于精确值x通常无法确定，因此绝对误差无法计算，由此引入绝对误差限的概念。
绝对误差限：
绝对误差的一个上界。
即：
若|x*-x|≤e，则称e为x*的绝对误差限。
绝对误差限的性质是：
A.不唯一这是因为|x*-x|的上界是不唯一的。
B.可确定只要我们对x*的实际背景有一定的了解，就不难确定|x*-x|的上界。
例如，x*表示身高，则|x*-x|的上界可为3米。
当x*是你求出的，那么为了说明你的工作认真，你一定会将|x*-x|的上界估计得尽量小，因此在这种意义上绝对误差限可用来衡量x*的好坏。
由于绝对误差限没有考虑问题的规模，因此有时它也不能衡量x*的好坏。
x是地球与太阳的距离，y是分子中二个原子间的距离，若|x*-x|≤1公里，|y*-y|≤1厘米，则并不能说y*比x*精确。
由此引入相对误差和相对误差限的概念。
（2）相对误差：
（x*-x）/x*相对误差限：
相对误差绝对值的一个上界。
3、有效数字
这里我们必须搞清楚什么是有效数字以及如何确定x*有几位有效数字。
（1）有效数字的定义
若|x*-x|<
x*的某一位的半个单位，则称x*精确到这一位，并从这一位开始，一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。
此定义实际上定义了什么叫精确到某一位和什么叫有效数字。
若x*精确到小数点后第3位，即指|x*-x|≤0.5⨯10-3。
（2）有效数字的判定方法
方法一：
四舍五入
此方法首先确定x*是由x的哪一位四舍五入产生的，然后从这一位的前一位开始一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。
例1若x=0.872596,x*=0.87，求x*的有效位数。
解：
x*是由x的小数点后第三位四舍五入产生的，所以x*有二位有效数字。
注意，方法一判定有效数字很简单，但有时会失效。
例如，若x=0.272987x*=0.273102，此时无法用方法一确定x*的有效位数，原因是x*不是由x四舍五入产生的，在这种情况下，必须用有效数字的定义来确定x*的有效位数。
即
方法二：
用定义
此方法首先计算|x*-x|，再判断它小于等于x*的哪一位的半个单位，然后从近一位开始，一直到第一个不为零的数都是有效数字。
例2若x=0.62073，x*=0.6207，确定x*的有效位数。
因为|x*-x|≤0.0003≤0.5⨯10-4，x*精确到小数点后第4位，所以x*有四位有效数字。
例3若x=0.080199，x*=0.802，确定x*的有效位数。
因为|x*-x|=0.00001≤0.5⨯10-5，所以0.5⨯10-3，推出x*有三位有效数字。
例4若x=6.28936，x*=7.3132，确定x*的有效位数。
|x*-x|=0.02357≤0.5⨯10-1，所以x*有二位有效数字。
1.3近似数的简单算术运算
1.4数值计算中误差分析的一些原则
为保证计算结果的高精度，在进行数值计算时应遵循下述几个原则。
（1）在进行除法时，要避免除数的绝对值<
<
被除数的绝对值。
①为什么要“避免”？
若不“避免”，则除出的结果很大，由于计算机字长有限，它装不下，因此会进行四舍五入，一个很大的数进行四舍五入时舍去的部分也会很大，这会使舍入误差变大。
②怎样“避免”？
因为用户只关心最后的计算结果，当中间计算过程中出现了除数的绝对值<
被除数的绝对值时，就应该换一种计算方法，以避免这种情况的发生，以后我们将会针对具体的计算问题来讨论“避免”的方法。
（2）在进行减法时，要避免二个相近的数相减。
若不“避免”，就可能失去大量的有效数字，
若a=30001和b=30000都有五位有效数字，因为a-b=1，所以结果至多有1位有效数字。
②怎么“避免”？
“避免”的思路与第1个原则中“避免”的思路相同，须针对具体计算问题来讨论。
（3）要防止“大数吃小数”
①什么是“大数吃小数”？
我们用一个例子为说明。
计算8756294874，其中n=1020，0<
ai<
10-6。
此题是一个很大的数与很多很小的数相加，若采用将大数依次与a1,a2,⋯,an相加，由于计算机字长有限，因此在与ai相加时会进行四舍五入将ai舍去，这样，最后的结果仍是大数，这就是大数将a1,a2,⋯,an吃掉了。
②为什么要“避免”？
尽管每个小数都很小，但它们很多，可能它们的和比大数还大，而最后计算工结果为大数，显然误差可能很大。
③怎样“避免”？
有的同学提出先将小数相加，然后再与大数相加，这个思路是对的，但有一个漏洞，因为小数相加到一定程度也会变成大数，它也开始吃小数了。
可以采取分部相加的方法解决。
第2章非线性方程（组）的近似解法
2.1引言
方程f（x）=0的解称为方程的根。
也叫做函数f（x）的零点。
方程求根大致包括三个问题
（1）方程有没有根？
如果有根，有几个根？
（2）哪里有根？
求有根的区间，区间内的任意一点作为根的近似值。
（3）根的精确化，已知一个根的近似值后设法逐步把根精确化，直到足够精确为止。
本课程主要研究问题
（2）和（3）。
2.2根的隔离
求方程f（x）=0的解的近似值时，首先要确定若干个区间，使每个区间内只有的一个根，这个步骤称为根的隔离。
对一般的方程，根的隔离有两种方法
（1）试值法。
求出f（x）在若干点上的函数值，观察函数值符号变化的情况，从而确定隔根区间。
（2）作图法。
画出y=f（x）的草图，观察曲线y=f（x）与x轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。
例1.2.1讨论方程f（x）=2x3-4x2+4x+2=0的根的位置。
例1.2.2将方程xlog（x）=1的根进行隔离。
2.3对分法
设有方程f（x）=0在（ab）内有且仅有一个根x*，这时有f（a）f（b）<
0可用对分法求x*的近似值，方法如下
（1）准备：
计算区间（ab）两个端点的函数值f（a），f（b）
（2）对分：
取c=（a+b）/2为（ab）的中点，计算f（c）
（3）判断：
如果f（c）=0，则c为f（x）=0的根，否则检验：
若f（c）f（a）<
0，则方程的根位于[ac]内，用c代替b，
若f（c）f（b）<
0，则方程的根位于[cb]内，用c代替a。
（4）检验：
若|b-a|<
e（e为精度要求）此时计算结束x*=c，否则转
（2）。
例1.3.1用对分法求方程f（x）=x3+2x-5=0在[12]内的根，[e=10-5]。
有根区间
f=inline（'
x^3+2*x-5'
）
f
（1）,f
（2）
fplot（f,[12]）,gridon
1.00002.0000
1.00001.5000
1.25001.5000
1.25001.3750
1.31251.3750
1.31251.3438
1.32811.3438
1.32811.3359
1.32811.3320
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